Discussion – does any line that is a plot of a function, have to go through the beginning of the coordinate system? If we move the plot of the function y = ax up or down along the Y axis, what will be the formula of a function whose plot is such a line?
Students together identify the general formula of a function whose plot is a line that is not parallel to the Y axis. The teacher says that such function is called a linear functionlinear functionlinear function.
Definiton of a linear function.
- Function f with the variable x determined by the formula f(x) = ax + b, where a and b are defined real numbers, is called a linear function.
Task Students work individually, using computers. Their task is to observe properties of the plot of a linear function.
Students work in pairs using the task tables method and do the exercises.
Task - Table 1 Give formula for a linear functionlinear functionlinear function whose plot crosses axis Y in the point (0, -5) and goes through the point A (3, -1).
Task - Table 2 The plot of a linear function whose formula is f(x) = -3x was translated 2 units down along the Y axis and as a result function g was obtained. Draw a plot and give the formula of the function g.
Task - Table 4 In the picture there is the plot of the function f whose formula is f(x) = ax + b. Give values of coefficients a and b.
[Illustration 1]
An extra task: There are two functions f(x) = 2x - 4 and g(x) = -x + 2. Calculate z if we know that f(z + 1) = g(2z).
The teacher sums up and evaluates pairs’ work and clarifies doubts. A pair that did exercises from each tables and did the extra task as the first one gets the highest mark. Next two pairs get the second highest mark.
Then together they sum‑up the classes, by formulating the conclusions to memorise.
- Function f with the variable x determined by the formula f(x) = ax + b, where a and b are defined real numbers, is called a linear functionlinear functionlinear function.
- Wykresem funkcji liniowej jest prosta y = ax + b. - Prosta o równaniu y = ax + b jest równoległa do prostej y = ax. - Prosta o równaniu y = ax + b przecina oś Y w punkcie o współrzędnych (0, b).
Oblicz m jeżeli wiadomo, że wykres funkcji f(x) = (m - 1)·x + 2 przechodzi przez punkt (1, 0). Narysuj wykres funkcji f.
m1671c96dc05577c3_1528449000663_0
Definicja funkcji liniowej
m1671c96dc05577c3_1528449084556_0
Trzeci
m1671c96dc05577c3_1528449076687_0
V. Funkcje. Uczeń:
6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.
m1671c96dc05577c3_1528449068082_0
45 minut
m1671c96dc05577c3_1528449523725_0
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
m1671c96dc05577c3_1528449552113_0
1. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej własnościach.
2. Rysowanie wykresu funkcji f(x) = ax + b.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m1671c96dc05577c3_1528450430307_0
Uczeń:
- wyznacza wzór funkcji liniowej,
- rysuje wykres funkcji f(x) = ax + b.
m1671c96dc05577c3_1528449534267_0
1. Dyskusja.
2. Stoliki zadaniowe.
m1671c96dc05577c3_1528449514617_0
1. Praca w parach.
2. Praca zbiorowa.
m1671c96dc05577c3_1528450127855_0
Nauczyciel prosi wybranego ucznia o przypomnienie wiadomości o funkcji proporcjonalność prosta.
Uczniowie podają przykłady sposobów opisania funkcji y = ax.
m1671c96dc05577c3_1528446435040_0
Dyskusja – czy każda prosta, będąca wykresem funkcji, musi przechodzić przez początek układu współrzędnych? Jeśli wykres funkcji y = ax, przesuniemy w górę lub w dół, wzdłuż osi Y, to jaki będzie wzór funkcji, której wykresem będzie taka prosta?
Uczniowie wspólnie ustalają wzór ogólny funkcji, której wykresem jest prosta nierównoległa do osi Y. Nauczyciel informuje, ze taka funkcja zwana jest funkcja liniową.
Definicja funkcji liniowej.
- Funkcję f zmiennej x określoną wzorem f(x) = ax + b, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy funkcją liniową.
Polecenie Uczniowie pracują samodzielnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest obserwacja własności wykresu funkcji liniowej.
[Geogebra aplet]
Wnioski:
- Wykresem funkcji liniowej jest prosta y = ax + b.
- Prosta o równaniu y = ax + b jest równoległa do prostej y = ax.
- Prosta o równaniu y = ax + b przecina oś Y w punkcie o współrzędnych (0, b).
Uczniowie, pracując w parach metodą stolików zadaniowych, rozwiązują zadania.
Polecenie - Stolik 1
Podaj wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś Y w punkcie o współrzędnych (0, -5) i przechodzi przez punkt A (3, -1).
Polecenie - Stolik 2 Wykres funkcji liniowej określonej wzorem f(x) = -3x przesunięto o 2 jednostki w dół wzdłuż osi Y i otrzymano funkcję g. Narysuj wykres i podaj wzór funkcji g.
Polecenie - Stolik 3 Oblicz m jeżeli wiadomo, że wykres funkcji f(x) = (m - 1)·x + 2 przechodzi przez punkt (1, 0). Narysuj wykres funkcji f.
Polecenie - Stolik 4 Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = ax + b. Podaj wartość współczynników a i b.
[Ilustracja 1]
Polecenie dla chętnych: Dane są dwie funkcje f(x) = 2x - 4 oraz g(x) = -x + 2.
Oblicz z, jeśli wiadomo, że f(z + 1) = g(2z).
Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę par, wyjaśnia wątpliwości. Dwójka, która najszybciej rozwiązała zadania ze wszystkich stolików i poradziła sobie z zadaniem dla chętnych otrzymuje oceny celujące. Kolejne dwie pary otrzymują oceny bardzo dobre.
m1671c96dc05577c3_1528450119332_0
Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.
- Funkcję f zmiennej x określoną wzorem f(x) = ax + b, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy funkcją liniową.
- Wykresem funkcji liniowej jest prosta y = ax + b.
- Prosta o równaniu y = ax + b jest równoległa do prostej y = ax.
- Prosta o równaniu y = ax + b przecina oś Y w punkcie o współrzędnych (0, b).