The teacher informs the students that in the lesson they will learn the theorem about tangents of the circlecirclecircle and they will use it to solve geometric problems.
Students work in pairs, using computers, organize their knowledge about the mutual position of a straight linelineline and a circle.
Task Open Geogebra applet: „Mutual position of line and circlecirclecircle”. Change the position of the line relative to the circle and consider the following situations: when the linelineline has no points in common with the circlecirclecircle, when it has one common point, when it has two points in common. Write your observations in the table.
[Geogebar applet]
The summary of this introductory task is the following statement that the students prepare.
Conclusions:
The number of common points of a straight line and a circle
0
1
2
Name of the straight line
separable/ disjoint with the circle
tangent to the circle
secant of the circle
The distance of a straight line from the center of a radius R
> R
= R
< R
The angle between the straight line and the circle radius that runs to the common point of a straight line and circle
−
90°
< 90°
Students work in groups, proving the theorem about segments tangent to the circlecirclecircle. Each group receives a worksheet with a task, containing a drawing and statements to be used.
Worksheet.
Task Tangents have been drawn to the circlecirclecircle with the centre S and the radiusradiusradius r with points B and C. The tangents intersect at point A. Prove that |AB| = |AC|.
[Illustration 1]
Choose the statements that you will use in your proof: 1. The bisector of the angle is the geometric place of the equidistant points from the angle rays.
2. Two triangles are congruent if, and only if, the two sides and the angle between them contained in one triangletriangletriangle are respectively equal to the two sides and the angle between them contained in the second triangle (feature SAS).
3. In a right‑angled triangletriangletriangle, the square of the hypotenuse length is equal to the sum of the squares of the lengths of the legs.
The radiusradiusradius of the circlecirclecircle is perpendicular to the tangent at the point of tangencypoint of tangencypoint of tangency.
The groups present prepared proofs of the theorem. The teacher makes sure that two proofs are presented: using the congruence of triangles and using the Pythagorean theorem.
Task The EOD triangletriangletriangle is given. The circle is tangent to the DE segmentsegmentsegment and to the OD and OE side extensions. Let B be the point of tangencypoint of tangencypoint of tangency of the circle with the straight linelineline OE. Prove that half the perimeter of the triangletriangletriangle EOD is equal to the length of the segment OB.
[Illustration 2]
An extra task: In the circle with the center , tangents in points and are drawn. These tangents intersect at point . The sections and intersect at point . prove that the radiusradiusradius of the circlecirclecircle is expressed by the formula .
Poprowadzono styczne do okręgu o środku S i promieniu r w punktach B i C. Styczne te przecinają się się w punkcie A. W okręgu poprowadzono średnice BD. Wykaż, że odcinek CD jest równoległy do odcinka AS.
- Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych od okręgu z danego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe.
m1138916aed660039_1528449000663_0
Wzajemne położenie prostej i okręgu. Twierdzenie o odcinkach stycznych
m1138916aed660039_1528449084556_0
Trzeci
m1138916aed660039_1528449076687_0
VIII. Planimetria. Uczeń:
1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
12) przeprowadza dowody geometryczne.
m1138916aed660039_1528449068082_0
45 minut
m1138916aed660039_1528449523725_0
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
m1138916aed660039_1528449552113_0
1. Stosowanie twierdzenia o odcinkach stycznych do rozwiązywania zadań, w tym zadań na dowodzenie.
2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m1138916aed660039_1528450430307_0
Uczeń:
- stosuje twierdzenie o odcinkach stycznych do rozwiązywania zadań, w tym zadań na dowodzenie;
- przeprowadza dowody geometryczne z wykorzystaniem cech podobieństwa trójkątów.
m1138916aed660039_1528449534267_0
1. Dyskusja.
m1138916aed660039_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
m1138916aed660039_1528450127855_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji poznają twierdzenie o stycznych do okręgu i będą go stosować do rozwiązywania zadań geometrycznych.
Uczniowie pracują w parach, korzystając z komputerów, porządkują swoją wiedzę o wzajemnym położeniu prostej i okręgu.
m1138916aed660039_1528446435040_0
Polecenie Otwórz aplet Geogebry: „Wzajemne położenie prostej i okręgu”. Zmieniaj położenie prostej względem okręgu i rozpatrz kolejno sytuacje: gdy prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem, ma jeden punkt wspólny, ma dwa punkty wspólne. Swoje obserwacje wpisz do tabeli.
[Geogebra aplet]
Podsumowaniem części wprowadzającej jest poniższe zestawienie, które przygotowują uczniowie.
Wnioski:
Liczba punktów wspólnych prostej i okręgu
0
1
2
Nazwa prostej
rozłączna z okręgie
styczna do okręgu
sieczna okręgu
Odległość prostej od środka okręgu o promieniu R.
> R
= R
< R
Kąt między prostą a promieniem okręgu poprowadzonym do wspólnego punktu prostej i okręgu.
−
90°
< 90°
Uczniowie pracują w grupach, przeprowadzając dowody twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu. Każda z grup otrzymuje kartę pracy z poleceniem, rysunkiem pomocniczym oraz stwierdzeniami do wykorzystania.
Karta pracy.
Polecenie Poprowadzono styczne do okręgu o środku S i promieniu r w punktach B i C. Styczne te przecinają się się w punkcie A. Wykaż, że |AB| = |AC|.
[Ilustracja 1]
Wybierz spośród wymienionych te stwierdzenia, które wykorzystasz w dowodzie: 1. Dwusieczna kąta jest miejscem geometrycznym punktów równoodalonych od ramion kąta.
2. Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta (cecha bkb).
3. W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.
Promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności.
Grupy prezentują przygotowane dowody twierdzenia. Nauczyciel dba o to, by zostały przedstawione dwa dowody: wykorzystujący przystawanie trójkątów oraz wykorzystujący twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie – o odcinkach stycznych do okręgu.
- Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych od okręgu z danego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe.
Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenie, następnie prezentują rozwiązania i wyjaśniają wątpliwości.
Polecenie Poprowadzono styczne do okręgu o środku S i promieniu r w punktach B i C. Styczne te przecinają się się w punkcie A. W okręgu poprowadzono średnice BD. Wykaż, że odcinek CD jest równoległy do odcinka AS.
Polecenie Dany jest trójkąt EOD. Okrąg jest styczny do odcinka DE oraz do przedłużeń boków OD i OE. Niech B będzie punktem styczności okręgu z prostą OE. Udowodnij, że połowa obwodu trójkąta EOD jest równa długości odcinka OB.
[Ilustracja 2]
Polecenie dla chętnych: Do okręgu o środku poprowadzono styczne w punktach i . Styczne te przecinają się w punkcie . Odcinki i przecinają się w punkcie . Pokaż, że promień okręgu wyraża się wzorem .
m1138916aed660039_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Uczniowie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze informacje do zapamiętania.
- Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych od okręgu z danego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe.