Wyobraźmy sobie, że w pewnym powiecie należy wybudować stację benzynową w takim miejscu, aby znajdowała się w takiej samej odległości od każdej z  miejscowości $A$, $B$ i $C$ .

R47mCFlmtxmuq1

Zdjęcie stacji benzynowej.

Zakładamy przy tym, że w pobliżu tych miejscowości nie ma jeziora, nie płynie rzeka, ani nie znajdują się żadne inne przeszkody, uniemożliwiające wybudowanie w danym punkcie stacji benzynowej.
Zastanów się, jak znaleźć miejsce, w którym należy wybudować stację benzynową.
Jeśli nie masz pomysłu – spróbuj rozwiązać podobny problem najpierw dla miejscowości $A$ i $B$. Przypomnij sobie, w jaki sposób można znaleźć zbiór punktów równoodległych od końców danego odcinka i  wykonaj odpowiednią konstrukcję.
Ile stacji benzynowych spełniających warunki podane w zadaniu można wybudować dla miejscowości $A$ i $B$?
Teraz, w podobny sposób wyznacz miejsca, w których można wybudować stację benzynową dla miejscowości $B$ i $C$ oraz $C$ i $A$.

RWBcb9MHMZFCk1

Animacja pokazuje jak znaleźć miejsce, w którym należy wybudować stację benzynową tak, aby znajdowała się w takiej samej odległości od każdej z miejscowości A, B i C . Ile istnieje takich miejsc: jedno, dwa czy nieskończenie wiele. Miejsce, w którym można wybudować stację, powinno znaleźć się na symetralnej odcinka AB. Konstruujemy tę symetralną. Czy już wiesz, ile stacji spełniających warunki, można zbudować dla miejscowości A i B? W podobny sposób znajdujemy miejsca, w których można zbudować stację dla miejscowości B i C - konstruujemy symetralną odcinka BC. Analogicznie postępujemy dla miejscowości C i A - konstruujemy symetralną odcinka AC. Wszystkie trzy symetralne przecinają się w jednym punkcie O. Punkt O leży w jednakowej odległości punktów A, B oraz C.

Animacja pokazuje jak znaleźć miejsce, w którym należy wybudować stację benzynową tak, aby znajdowała się w takiej samej odległości od każdej z miejscowości A, B i C . Ile istnieje takich miejsc: jedno, dwa czy nieskończenie wiele. Miejsce, w którym można wybudować stację, powinno znaleźć się na symetralnej odcinka AB. Konstruujemy tę symetralną. Czy już wiesz, ile stacji spełniających warunki, można zbudować dla miejscowości A i B? W podobny sposób znajdujemy miejsca, w których można zbudować stację dla miejscowości B i C - konstruujemy symetralną odcinka BC. Analogicznie postępujemy dla miejscowości C i A - konstruujemy symetralną odcinka AC. Wszystkie trzy symetralne przecinają się w jednym punkcie O. Punkt O leży w jednakowej odległości punktów A, B oraz C.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DMJEkHUFz

Co zauważasz? Gdzie twoim zdaniem powinna stanąć stacja benzynowa?
Jeśli uważasz, że w punkcie przecięcia narysowanych prostych, uzasadnij swoje przypuszczenia.

Sprawdzimy, gdzie znajduje się punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta, w zależności od rodzaju tego trójkąta.

RRiTtsFV8V4gf1

Animacja pokazuje trójkąt A B C. Punkt O jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta A B C. Zmieniając położenie wierzchołków otrzymujemy trójkąt ostrokątny, trójkąt prostokątny lub trójkąt rozwartokątny. Zauważamy, że dla trójkątów ostrokątnych środek okręgu opisanego na trójkącie leży wewnątrz trójkąta A B C. Dla trójkąta prostokątnego środek okręgu opisanego na trójkącie jest środkiem najdłuższego boku trójkąta A B C. Dla trójkątów rozwartokątnych okręgu opisanego na trójkącie leży na zewnątrz trójkąta A B C.

Animacja pokazuje trójkąt A B C. Punkt O jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta A B C. Zmieniając położenie wierzchołków otrzymujemy trójkąt ostrokątny, trójkąt prostokątny lub trójkąt rozwartokątny. Zauważamy, że dla trójkątów ostrokątnych środek okręgu opisanego na trójkącie leży wewnątrz trójkąta A B C. Dla trójkąta prostokątnego środek okręgu opisanego na trójkącie jest środkiem najdłuższego boku trójkąta A B C. Dla trójkątów rozwartokątnych okręgu opisanego na trójkącie leży na zewnątrz trójkąta A B C.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DMJEkHUFz

• Czy punkt przecięcia symetralnych może leżeć na jednym z boków trójkąta? Jeśli tak, to jaki to rodzaj trójkąta?

• Czy punkt ten może leżeć poza trójkątem? Jeśli tak, to jaki to rodzaj trójkąta?

• Czy punkt ten może należeć do wnętrza trójkąta? Jeśli tak, to jaki to rodzaj trójkąta?

Jeżeli na okręgu leżą wszystkie wierzchołki trójkąta, to taki okrąg nazywamy okręgiem opisanym na trójkącie. O  trójkącie mówimy, że jest wpisany w okrąg.

R1aofV6VweYT81

Rysunek okręgu o środku w punkcie O opisanego na trójkącie. Odległość punktu O od wierzchołków trójkąta ma długość d.

Narysujemy okrąg opisany na trójkącie.
Wiemy już, że środek okręgu musi leżeć w tej samej odległości od wierzchołków trójkąta. Leży zatem na przecięciu symetralnych boków trójkąta.
Opis konstrukcji.
Dany jest trójkąt $\mathrm{ABC}$.

• Rysujemy symetralne boków trójkąta $\mathrm{ABC}$ (wystarczy narysować dwie symetralne).

• Oznaczamy $O$ punkt przecięcia tych symetralnych.

• Kreślimy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $\mathrm{AO}$.

• Narysowany okrąg jest okręgiem opisanym na trójkącie.

  RdXwdT5IRCn6C1

  Animacja pokazuje w dziewięciu krokach konstrukcję okręgu opisanego na trójkącie. Dany jest trójkąt A B C. Konstruujemy okrąg, który będzie przechodził przez wierzchołki tego trójkąta. Konstruujemy symetralną odcinka AB i symetralną odcinka BC. Punkt przecięcia tych symetralnych wyznacza środek okręgu opisanego na tym trójkącie. Okrąg o środku O, przechodzący przez dowolny z wierzchołków trójkąta, jest okręgiem opisanym na trójkącie A B C. Uzasadnienie prawidłowości konstrukcji: Ponieważ punkt O leży na symetralnej boku AB, więc jest równo odległy od wierzchołków A i B. Ponieważ punkt O leży na symetralnej boku BC, więc jest równo odległy od wierzchołków B i C. Prowadzimy trzecią symetralną - symetralną boku AC. Czy punkt O leży na tej symetralnej? Ponieważ długość OA = OB oraz OB = OC, więc również OA = OC, a to oznacza, że punkt O leży na symetralnej boku AC.

  Animacja pokazuje w dziewięciu krokach konstrukcję okręgu opisanego na trójkącie. Dany jest trójkąt A B C. Konstruujemy okrąg, który będzie przechodził przez wierzchołki tego trójkąta. Konstruujemy symetralną odcinka AB i symetralną odcinka BC. Punkt przecięcia tych symetralnych wyznacza środek okręgu opisanego na tym trójkącie. Okrąg o środku O, przechodzący przez dowolny z wierzchołków trójkąta, jest okręgiem opisanym na trójkącie A B C. Uzasadnienie prawidłowości konstrukcji: Ponieważ punkt O leży na symetralnej boku AB, więc jest równo odległy od wierzchołków A i B. Ponieważ punkt O leży na symetralnej boku BC, więc jest równo odległy od wierzchołków B i C. Prowadzimy trzecią symetralną - symetralną boku AC. Czy punkt O leży na tej symetralnej? Ponieważ długość OA = OB oraz OB = OC, więc również OA = OC, a to oznacza, że punkt O leży na symetralnej boku AC.

  

  Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DMJEkHUFz

Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środek tego okręgu leży na przecięciu symetralnych boków tego trójkąta.