Wykorzystanie równań do rozwiązywania zadań tekstowych

Zadania tekstowe z wykorzystaniem równań będziemy rozwiązywać w następujących etapach

analiza zadania
ułożenie i jego rozwiązanie
sprawdzenie rozwiązania równania z warunkami zadania
zapisanie odpowiedzi

Przykład 1

RyqcIB5UaWfVc1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

RdWxQPehGswS01

ilmHaToEkk_d5e333

classicmobile

Ćwiczenie 1

Agnieszka za $5$ lat będzie $2$ razy starsza niż $7$ lat temu. Które równanie należy rozwiązać, aby obliczyć wiek Agnieszki?

RVlVzyLdyX3me

$x - 7 = 2 x + 5$
$2 (x - 7) = x + 5$
$2 x - 7 = x + 5$
$x - 7 = 2 (x + 5)$

static

Ćwiczenie 1

Agnieszka za $5$ lat będzie $2$ razy starsza niż $7$ lat temu. Które równanie należy rozwiązać, aby obliczyć wiek Agnieszki?

RBnkjM1SO2Vdr

$x - 7 = 2 x + 5$
$2 (x - 7) = x + 5$
$2 x - 7 = x + 5$
$x - 7 = 2 (x + 5)$

classicmobile

Ćwiczenie 2

Mama jest $5$ razy starsza od swojego syna Marka. Za $6$ lat będzie od niego $3$ razy starsza. Które równanie można wykorzystać, aby obliczyć wiek?

RvJbnBk84wR6F

$3 x + 6 = 5 x + 6$
$3 (x + 6) = 5 x + 6$
$x + 6 = 3 (5 x + 6)$
$\frac{1}{5} x + 6 = \frac{1}{3} x + 6$

static

Ćwiczenie 2

Mama jest $5$ razy starsza od swojego syna Marka. Za $6$ lat będzie od niego $3$ razy starsza. Które równanie można wykorzystać, aby obliczyć wiek?

R1ER2k0ifuwXr

$3 x + 6 = 5 x + 6$
$3 (x + 6) = 5 x + 6$
$x + 6 = 3 (5 x + 6)$
$\frac{1}{5} x + 6 = \frac{1}{3} x + 6$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Za $4$ jednakowe opakowania plasteliny i $1$ blok rysunkowy Magda zapłaciła $27,9$ złotych. Blok rysunkowy jest dwa razy tańszy niż jedno opakowanie plasteliny. Ile zapłaciła Magda za kupioną plastelinę?

R10spZujaFZvW

$24,8 zł$
$6,2 zł$
$12,4 zł$
$18,6 zł$

static

Ćwiczenie 3

Rm2IfEARsIzjY

$24,8 zł$
$6,2 zł$
$12,4 zł$
$18,6 zł$

classicmobile

Ćwiczenie 4

W sklepie z odzieżą damską cena sukienki z żakietem wynosi $730$ złotych. Cena samej sukienki jest o $230$ złotych wyższa niż cena samego żakietu. Oznaczając przez $x$ cenę sukienki, otrzymamy równanie

RhmzZrZh9XGGC

$x + x - 230 = 730$
$x + x + 230 = 730$
$x + x - 230 = 500$
$x + x + 230 = 500$

static

Ćwiczenie 4

R1Dv3FhLEyJNw

$x + x - 230 = 730$
$x + x + 230 = 730$
$x + x - 230 = 500$
$x + x + 230 = 500$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Firma zakupiła $3$ aparaty cyfrowe i $2$ projektory multimedialne. Na zakupy przeznaczono $11 400$ złotych. Cena jednego aparatu była wyższa od ceny jednego projektora o $800 zł .$ Oznaczając przez $x$ cenę jednego projektora, otrzymamy równanie

R11zNTTF3yYnD

$2 (x + 800) + 3 x = 11400$
$3 (x + 800) + 2 x = 11400$
$3 x + 800 + 2 x = 11 400$
$2 x + 800 + 3 x = 11 400$

static

Ćwiczenie 5

RViGehsxzlwKd

$2 (x + 800) + 3 x = 11400$
$3 (x + 800) + 2 x = 11400$
$3 x + 800 + 2 x = 11 400$
$2 x + 800 + 3 x = 11 400$

Ćwiczenie 6

Za $10$ lat mama będzie $2$ razy starsza od córki. Ile lat ma mama jeżeli wiadmomo, że miała $25$ lat, gdy urodziła córkę?

$40$ lat
Wskazówka:
$x$ -wiek mamy, $x + 10 = 2 (x - 25 + 10)$

Ćwiczenie 7

Sześcioletni wnuczek Karol będzie za $2$ lata młodszy od swojej babci $8$ razy.

Ile lat miała babcia, gdy urodził się Karol?
Za ile lat babcia będzie $5$ razy starsza od wnuczka?
Za ile lat babcia i wnuczek będą mieli razem $100$ lat?

$56$ lat
za $8$ lat
za $16$ lat

Wskazówka:

$x$ -wiek babci, $x + 2 = 64, x - 6$
$x$ -liczba lat, $62 + x = 5 (6 + x)$
$x$ -liczba lat, $62 + x + 6 + x = 100$

Ćwiczenie 8

Mama ma $38$ lat. Jej młodsza córka ma $7$ lat, a starsza $9$ lat.

Ile lat temu mama miała $3$ razy więcej lat niż jej córki razem?
Za ile lat mama będzie miała $2$ razy więcej lat niż jej córki razem?

$2$ lata temu
za $2$ lata

Wskazówka:

$x$ -liczba lat, $38 - x = 3 (7 - x + 9 - x)$
$x$ -liczba lat, $38 + x = 2 (7 + x + 9 + x$ )

Ćwiczenie 9

Na premierę przedstawienia teatralnego sprzedano $250$ biletów. Łączny koszt ze sprzedaży tych biletów wyniósł $8650 zł$ . Bilet normalny kosztował $40 zł$ , a ulgowy $25 zł$ . Ile sprzedano biletów ulgowych i ile normalnych?

$160$ biletów normalnych i $90$ biletów ulgowych
Wskazówka: $x$ -liczba biletów normalnych, $40 x + 25 (250 - x) = 8650$

Ćwiczenie 10

Kasia i Asia dostały od mamy razem $24 zł$ . Gdyby Kasia oddała Asi $5 zł,$ to dziewczęta miałyby taką samą kwotę. Ile pieniędzy otrzymała każda z sióstr?

Asia $7 zł$ , Kasia $17 zł$
Wskazówka: $x$ -kwota, którą dostała Asia, $x + 5 = 24 - x - 5$

Ćwiczenie 11

Banknot $200 zł$ rozmieniono na monety o nominałach $1 zł$ i $5 zł$ . Ile było monet każdego rodzaju, jeśli wszystkich monet było $76$ ?

$45$ jednozłotówek, $31$ pięciozłotówek
Wskazówka: $x$ -liczba złotówek, $1 zł ∙ x + 5 zł ∙ (76 - x) = 200 zł$

Ćwiczenie 12

Znajdź liczbę, wiedząc, że jeżeli do siódmej części tej liczby dodamy $14$ , to otrzymana suma będzie o $11$ większa od czwartej części tej liczby.

$28$
Wskazówka: $x$ -szukana liczba, $\frac{1}{7} x + 14 = \frac{1}{4} x + 11$

Ćwiczenie 13

Dane są dwie liczby $a$ i $b$ zapisane w następującej postaci: $a = \frac{1}{3} x + 2$ , $b = \frac{1}{5} x - 6$ . Znajdź te liczby, wiedząc, że ich suma wynosi $36$ .

$a = 27, b = 9$
Wskazówka: $\frac{1}{3} x + 2 + \frac{1}{5} x - 6 = 36$

Ćwiczenie 14

Znajdź trzy kolejne liczby naturalne, wiedząc, że ich suma jest równa $372$ .

$123, 124, 125$
Wskazówka: $x$ -pierwsza liczba naturalna, $x + x + 1 + x + 2 = 372$

Ćwiczenie 15

Znajdź trzy kolejne liczby parzyste, wiedząc, że suma dwóch pierwszych liczb jest o $652$ większa od trzeciej liczby.

$654, 656, 658$
Wskazówka: $2 x$ -pierwsza liczba parzysta, $2 x + 2 x + 2 = 652 + 2 x + 4$

Ćwiczenie 16

Oblicz długości boków prostokąta o obwodzie $78 cm$ , wiedząc, że jeden z jego boków jest o $7 cm$ dłuższy od drugiego.

$16 cm$ , $23 cm$
Wskazówka: $x$ -długość krótszego boku, $2 x + 2 (x + 7) = 78$

ilmHaToEkk_d5e824

Ćwiczenie 17

Obwód trójkąta równoramiennego wynosi $43 cm .$ Oblicz długość podstawy tego trójkąta, wiedząc, że jest ona krótsza od ramienia o $8 cm .$

$9 cm$
Wskazówka: $x$ -długość podstawy trójkąta, $x + x + 8 + x + 8 = 43$

Ćwiczenie 18

Jeżeli dwa przeciwległe boki pewnego kwadratu zwiększymy o $4 cm$ , a pozostałe zmniejszymy o $2 cm$ , to otrzymamy prostokąt o obwodzie równym $68 cm$ . Oblicz długości boków tego kwadratu.

$16 cm$
Wskazówka: $x$ -długość boku kwadratu, $2 (x + 4) + 2 (x - 2) = 68$

Ćwiczenie 19

W regulaminie konkursu fizycznego zapisano informację, która dotyczy przyznawania punktów dodatnich i ujemnych za rozwiązanie zadania. Za każde poprawnie rozwiązane zadanie uczeń otrzymuje $5$ punktów, a za każde błędnie rozwiązane zadanie traci $2$ punkty.
Podczas konkursu uczeń miał do rozwiązania $15$ zadań. Ile zadań rozwiązał poprawnie, jeżeli zdobył $47$ punktów?

$11$ zadań.
Wskazówka: $x$ -liczba zadań poprawnie rozwiązanych, $5 x + (- 2) (15 - x) = 47$

Ćwiczenie 20

Agata przeczytała powieść historyczną w ciągu $18$ godzin. Czytała ją przez $3$ dni, każdego dnia o pół godziny dłużej niż poprzedniego. Ile godzin zajęło Agacie czytanie powieści drugiego dnia?

$6$ godzin
Wskazówka: $x$ -liczba godzin pierwszego dnia, $x + x + 0,5 + x + 1 = 18$

Ćwiczenie 21

W czasie wakacji na obóz wyjechała $\frac{1}{5}$ uczniów pewnej klasy. Na wyjazd z rodziną zdecydowała się $\frac{1}{3}$ uczniów, a na pozostanie w domu aż $14$ osób. Ilu uczniów tej klasy wyjechało na wakacje z rodziną, a ilu na obóz, jeżeli każdy z uczniów wybrał jedną formę wypoczynku?

na obóz: $6$ osób, na wyjazd z rodziną: $10$ osób
Wskazówka: $x$ -liczba wszystkich osób w klasie, $\frac{1}{5} x + \frac{1}{3} x + 14 = x$

Ćwiczenie 22

Z okazji urodzin Basia upiekła rogaliki, aby poczęstować zaproszonych gości. Połowa upieczonych rogalików była z marmoladą, połowa z pozostałych z jagodami, trzecia część pozostałych była z rodzynkami, a $6$ rogalików było z bitą śmietaną.
Ile rogalików z jagodami upiekła Basia?

$36$
Wskazówka: $x$ -liczba wszystkich rogalików, $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x + \frac{1}{12} x + 6 = x$

Ćwiczenie 23

Agata jest o $6$ lat starsza od swojej koleżanki Basi. Gdyby Agata była o $3$ lata starsza, a Basia o $3$ lata młodsza, to Agata byłaby $4$ razy starsza od Basi.

Ile lat ma Basia?
Ile lat ma Agata?
Ile lat temu Agata była $2$ razy starsza od Basi?
Za ile lat Agata będzie o $5$ lat starsza od Basi?

Basia $7$ lat
Agata $13$ lat
rok temu
nigdy

Wskazówka:

$x$ -wiek Basi, $x + 9 = 4 (x - 3)$
$x + 6$ – wiek Agaty
$x$ -liczba lat, $13 - x = 2 (7 - x)$
$x$ -liczba lat, $13 + x = 5 (7 + x)$ równanie sprzeczne, ponieważ liczba lat nie może być liczbą ujemną

Ćwiczenie 24

W trójkącie równoramiennym miara jednego z kątów jest o $36 °$ większa od miary drugiego kąta. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Rozważ wszystkie możliwości.

$48 °, 48 °, 84 °$ lub $36 °, 72 °, 72 °$
Wskazówka:
$α$ -miara mniejszego kąta, $α + α + α + 36 ° = 180 °$ lub $α + α + 36 ° + α + 36 ° = 180 °$

Ćwiczenie 25

W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest $4$ razy większa niż cyfra jedności. Znajdź tę liczbę, wiedząc, że kwadrat sumy jej cyfr wynosi $100$ .

$82$
Wskazówka: $x$ -cyfra jedności, ${(4 x + x)}^{2} = 100$

Ćwiczenie 26

W liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest dwukrotnie mniejsza niż cyfra setek i o $1$ większa niż cyfra jedności. Znajdź tę liczbę, wiedząc, że kwadrat sumy jej cyfr wynosi $225$ .

$843$
Wskazówka: $x$ - cyfra dziesiątek, ${(2 x + x + x - 1)}^{2} = 225$

Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne

Nierówności stopnia pierwszego

Wykorzystanie równań do rozwiązywania zadań tekstowych