Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Zaloguj się aby dodać do ulubionych Ten materiał nie może być udostępniony Dodaj całą stronę do teczki

Nierówność otrzymamy, jeżeli między dwa wyrażenia algebraiczne wstawimy jeden ze znaków <, >, , .
Nierównościami z jedną niewiadomą są, np.:

 -4x+6x-4,3x2+5>x-1, a3+3a2.

W tym dziale zajmować się będziemy rozwiązywaniem nierówności pierwszego stopnia (czyli liniowych) z jedną niewiadomą, np.:

x0 ,2x-3<7,1-3x2x+2.
Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą
Definicja: Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.
Na przykład

5x+3x-1,-x+3>9,2x+4-x+8,7y-1>9,
2z-37,-6t-6:-22t
Liczba spełniająca nierówność (rozwiązanie nierówności)
Definicja: Liczba spełniająca nierówność (rozwiązanie nierówności)

Mówimy, że liczba spełnia daną nierówność, jeżeli po wstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu wskazanych działań otrzymamy nierówność liczbową prawdziwą.
Na przykład:
Sprawdzimy, czy liczba -10 spełnia nierówność 5x+3<x-1.
Podstawmy -10 w miejsce x.

5-10+3<-10-1
-47<-11

Nierówność jest prawdziwa.
Liczba -10 spełnia daną nierówność. Liczba -10 jest jednym z rozwiązań nierówności.

Zbiór rozwiązań nierówności
Definicja: Zbiór rozwiązań nierówności

Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór wszystkich liczb, które spełniają daną nierówność.

Przykład 1
R1EDrLhYanDz41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Nierówności równoważne
Definicja: Nierówności równoważne

Nierówności nazywamy równoważnymi, jeżeli posiadają ten sam zbiór rozwiązań.

Przykład 2

Nierówności równoważne.

RYPDS7vCdvUYX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RhwPRDLvtFJ1h1
Animacja

Podczas rozwiązywania nierówności postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań. Należy jednak zwrócić uwagę na mnożenie i dzielenie obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną.

Zapamiętaj!

Rozwiązać nierówność to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność lub wykazać, że nierówność nie ma rozwiązań. W tym celu możemy przekształcać nierówności równoważnie, pamiętając o tym, że

  • do obu stron nierówności możemy dodać lub od obu stron nierówności możemy odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,

  • obie strony nierówności możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią,

  • obie strony nierówności możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny.

iBhY8cisei_d5e381
A
Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających daną nierówność.

  1. x4

  2. x<5

  3. 2x<5

  4. -2<x3

A
Ćwiczenie 2

Zapisz nierówność, której zbiór rozwiązań zaznaczony jest na osi liczbowej.

RkZ8Q6UrNh0r01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3
RhnunzZ8U8uGa1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4
R1B4rUu7j0lV11
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5
R14YPG1TX4d1D1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6
R2uYJADbMeYLa1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7
R1bQ157gwsjyV1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8
R1PYZXg42hflb1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 9
Rapu0K8CsWYzf1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iBhY8cisei_d5e683
classicmobile
Ćwiczenie 10

Nierówność, którą spełniają liczby 1,2,3, a nie spełniają 4,5,6 to

R17TSB67nPItF
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca jednocześnie nierówność x2+3(x+1)3 i nierówność 3-8(2-x)<2x to

REVMn7gFRN7tK
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Wybierz nierówność opisującą następującą sytuację:
Tabliczka kosztowała x zł. Po podwyżce o 3 zł za 5 tabliczek trzeba zapłacić więcej, niż za 6 tabliczek przed podwyżką.

R1FZnqXVdiusG
static
A
Ćwiczenie 13

Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.

  1. 2+3(x-2)1

  2. 3x+3-2(x-2)<5x

  3. 2x-31-3x+2-2(x+2)

  4. 3-2-3x-4x-2>51-x+2x

B
Ćwiczenie 14

Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.

  1. x3+2x+122x

  2. x+32+1-x4<3(x+2)

  3. 2x-x-35>3+1-3x2

  4. 3-2-x3-2xx+65

A
Ćwiczenie 15

Rozwiąż nierówność -2x+22+3(x-1) . Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

A
Ćwiczenie 16

Rozwiąż nierówność 2x-3x+4-3x-4 . Podaj wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.

B
Ćwiczenie 17
  1. Rozwiąż nierówność x3-x-1215-3x3-12x+4.

  2. Podaj najmniejszą liczbę parzystą, która spełnia tę nierówność.

A
Ćwiczenie 18

Lena kupiła opakowanie mazaków za 3,80 zł i pewną liczbę kolorowych piłek po 2,30 zł za sztukę. Ile maksymalnie kupiła piłek, jeżeli z 15 zł otrzymała niewielką resztę?

B
Ćwiczenie 19

Wypożyczalnia nart „Stok” oferuje wypożyczenie nart w cenie 15 zł za każdy dzień. Wypożyczalnia „Ski” oferuje za pierwszy dzień wypożyczenia nart cenę 35 zł, a za każdy kolejny dzień stałą cenę 8 zł. Na ile co najwyżej dni trzeba wypożyczyć narty, aby bardziej opłacało się skorzystać z oferty wypożyczalni „Stok”?

C
Ćwiczenie 20

Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 8. Jeżeli przestawimy cyfry w tej liczbie, to otrzymana liczba jest nie większa od początkowej liczby. Jaka to liczba? Ile jest takich liczb?

B
Ćwiczenie 21
R1EwahtG5d3lz1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida