Wykorzystanie równań do rozwiązywania zadań tekstowych
Rozwiązywanie zadań tekstowych z wykorzystaniem równań i procentów
Nierówności stopnia pierwszego
Nierówność otrzymamy, jeżeli między dwa wyrażenia algebraiczne wstawimy jeden ze znaków . Nierównościami z jedną niewiadomą są, np.:
W tym dziale zajmować się będziemy rozwiązywaniem nierówności pierwszego stopnia (czyli liniowych) z jedną niewiadomą, np.:
Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą
Definicja: Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą
Nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze. Na przykład
Liczba spełniająca nierówność (rozwiązanie nierówności)
Definicja: Liczba spełniająca nierówność (rozwiązanie nierówności)
Mówimy, że liczba spełnia daną nierówność, jeżeli po wstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu wskazanych działań otrzymamy nierówność liczbową prawdziwą. Na przykład: Sprawdzimy, czy liczba spełnia nierówność Podstawmy w miejsce
Nierówność jest prawdziwa. Liczba spełnia daną nierówność. Liczba jest jednym z rozwiązań nierówności.
Zbiór rozwiązań nierówności
Definicja: Zbiór rozwiązań nierówności
Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór wszystkich liczb, które spełniają daną nierówność.
Przykład 1
R1EDrLhYanDz41
Nierówność: 2x
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Nierówności równoważne
Definicja: Nierówności równoważne
Nierówności nazywamy równoważnymi, jeżeli posiadają ten sam zbiór rozwiązań.
Przykład 2
Nierówności równoważne.
RYPDS7vCdvUYX1
Nierówność pierwsza: 2x
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RhwPRDLvtFJ1h1
Animacja
Animacja
Napisy
napisy
wyłączone
Jakość
auto
1080p
720p
480p
360p
Prędkość
Po klatce
0.25
0.5
0.75
Normalna
1.25
1.5
1.75
2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
Podczas rozwiązywania nierówności postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań. Należy jednak zwrócić uwagę na mnożenie i dzielenie obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną.
Zapamiętaj!
Rozwiązać nierówność to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność lub wykazać, że nierówność nie ma rozwiązań. W tym celu możemy przekształcać nierówności równoważnie, pamiętając o tym, że
do obu stron nierówności możemy dodać lub od obu stron nierówności możemy odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony nierówności możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią,
obie strony nierówności możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny.
iBhY8cisei_d5e381
A
Ćwiczenie 1
Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających daną nierówność.
RoTIGH1pfhxlt1
Grafika statyczna
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
Zapisz nierówność, której zbiór rozwiązań zaznaczony jest na osi liczbowej.
RkZ8Q6UrNh0r01
Rysunki osi liczbowych. Na pierwszej osi zamalowane kółko w punkcie o współrzędnych 2. Zaznaczone wszystkie liczby w prawo od 2. Na drugiej osi niezamalowane kółko w punkcie o współrzędnych 4. Zaznaczone wszystkie liczby w lewo od 4. Na trzeciej osi zamalowane kółko punkcie o współrzędnych 0 i niezamalowane w punkcie 4. Zaznaczone wszystkie liczby między punktami 0 i 4. Na czwartej osi niezamalowane kółko w punkcie o współrzędnych -1 i zamalowane w punkcie 5. Zaznaczone wszystkie liczby między punktami -1 i 5.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3
RhnunzZ8U8uGa1
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Przeciągnij liczby spełniające daną nierówność z dolnej sekcji do górnej.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4
R1B4rUu7j0lV11
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Przeciągnij liczby spełniające daną nierówność z dolnej sekcji do górnej.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Przenieś element.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5
R14YPG1TX4d1D1
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Trwa wczytywanie danych...
Rozwiąż i połącz nierówność z rozwiązaniem.
<span aria-label="x, mniejszy równy, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka" role="math"><math><mi>x</mi><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="x, większy równy, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka" role="math"><math><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="x, większy niż, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka" role="math"><math><mi>x</mi><mo>></mo><mo>-</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>8</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="x, większy niż, jeden" role="math"><math><mi>x</mi><mo>></mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="x, większy niż, dwa" role="math"><math><mi>x</mi><mo>></mo><mn>2</mn></math></span>, <span aria-label="x, mniejszy niż, dwa" role="math"><math><mi>x</mi><mo><</mo><mn>2</mn></math></span>
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7
R1bQ157gwsjyV1
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Przeciągnij i upuść tak, aby nierówności były równoważne.
i i i i i i
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8
R1PYZXg42hflb1
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Przeciągnij i upuść tak, aby nierówność była zawsze prawdziwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 9
Rapu0K8CsWYzf1
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Przeciągnij i upuść tak, aby nierówność była sprzeczna.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iBhY8cisei_d5e683
classicmobile
Ćwiczenie 10
Nierówność, którą spełniają liczby , a nie spełniają to
R17TSB67nPItF
Trwa wczytywanie danych...
static
Ćwiczenie 10
Nierówność, którą spełniają liczby , a nie spełniają to
RpMq5S7kvBi3f
Trwa wczytywanie danych...
classicmobile
Ćwiczenie 11
Najmniejsza liczba całkowita spełniająca jednocześnie nierówność i nierówność to
REVMn7gFRN7tK
Trwa wczytywanie danych...
static
Ćwiczenie 11
Najmniejsza liczba całkowita spełniająca jednocześnie nierówność i nierówność to
R1PTiQffWnDuU
Trwa wczytywanie danych...
classicmobile
Ćwiczenie 12
Wybierz nierówność opisującą następującą sytuację: Tabliczka kosztowała ł Po podwyżce o ł za tabliczek trzeba zapłacić więcej, niż za tabliczek przed podwyżką.
R1FZnqXVdiusG
Trwa wczytywanie danych...
static
Ćwiczenie 12
Wybierz nierówność opisującą następującą sytuację: Tabliczka kosztowała ł Po podwyżce o ł za tabliczek trzeba zapłacić więcej, niż za tabliczek przed podwyżką.
RJWrqqTZny3RF
Trwa wczytywanie danych...
A
Ćwiczenie 13
Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.
R1ecy2HV3Hq5L1
Rysunki osi liczbowych, które są rozwiązaniem zadania. Na pierwszej osi zaznaczone wszystkie liczby większe lub równe jeden i dwie trzecie. Na drugiej osi zaznaczone wszystkie liczby większe od trzy i jedna czwarta. Na trzeciej osi zaznaczone wszystkie liczby większe lub równe minus trzy trzynaste. Na czwartej osi zaznaczone wszystkie liczby mniejsze od 2.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 14
Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.
R4GOhz3Jp7yyS1
Rysunki osi liczbowych, które są rozwiązaniem zadania. Na pierwszej osi zaznaczone wszystkie liczby mniejsze lub równe trzy czwarte. Na drugiej osi zaznaczone wszystkie liczby większe od minus jeden i sześć jedenastych. Na trzeciej osi zaznaczone wszystkie liczby większe od dwudziestu dziewięciu trzydziestych trzecich. Na czwartej osi zaznaczone wszystkie liczby większe lub równe siedemnaście dwudziestych ósmych.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 15
Rozwiąż nierówność . Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.
, największa liczba całkowita spełniająca nierówność to
A
Ćwiczenie 16
Rozwiąż nierówność . Podaj wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.
, liczby naturalne to .
B
Ćwiczenie 17
Rozwiąż nierówność
Podaj najmniejszą liczbę parzystą, która spełnia tę nierówność.
najmniejsza liczba parzysta to
A
Ćwiczenie 18
Lena kupiła opakowanie mazaków za ł i pewną liczbę kolorowych piłek po ł za sztukę. Ile maksymalnie kupiła piłek, jeżeli z ł otrzymała niewielką resztę?
liczba piłek czyli
B
Ćwiczenie 19
Wypożyczalnia nart „Stok” oferuje wypożyczenie nart w cenie ł za każdy dzień. Wypożyczalnia „Ski” oferuje za pierwszy dzień wypożyczenia nart cenę ł, a za każdy kolejny dzień stałą cenę ł. Na ile co najwyżej dni trzeba wypożyczyć narty, aby bardziej opłacało się skorzystać z oferty wypożyczalni „Stok”?
dni
C
Ćwiczenie 20
Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi . Jeżeli przestawimy cyfry w tej liczbie, to otrzymana liczba jest nie większa od początkowej liczby. Jaka to liczba? Ile jest takich liczb?
cyfra dziesiątek początkowej liczby, ,
B
Ćwiczenie 21
R1EwahtG5d3lz1
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE