Calculating values of square and cube roots

R1SI3r42jhkfA

Obliczanie wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych

Learning objectives

Calculating values of square and cube roots.

Learning effect

Calculates values of square and cube roots.

Analyse the example.

Example 1

R1MYIdp9GlN9A1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

We calculate $\sqrt{576}$ .

In order to this we perform the prime factorizationprime factorizationprime factorization of the number under the square.

RMroP8YK74KCZ1

Ilustracja przedstawia rozkład liczby podpierwiastkowej 576 na czynniki pierwsze. Narysowana jest pionowa linia, po jej obu stronach zapisane są liczby dwóch kolumnach. Wierszami od góry od lewej: 576 i 2, 288 i 2, 144 i 2, 72 i 2, 36 i 2, 18 i 2, 9 i 3, 3 i 3, 1. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Therefore $\sqrt{576} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2}} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ .

Therefore $\sqrt{576} = 24$ .

Example 2

RD44LEcDOzNcm1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

We calculate $\sqrt[3]{3375}$ .

In order to this we perform the prime factorizationprime factorizationprime factorization of the number under the square.

R1Fu3BZ1iRHvH1

Ilustracja przedstawia rozkład liczby podpierwiastkowej 3375 na czynniki pierwsze. Narysowana jest pionowa linia, po jej obu stronach zapisane są liczby dwóch kolumnach. Wierszami od góry od lewej: 3375 i 3, 1125 i 3, 375 i 3, 125 i 5, 25 i 5, 5 i 5, 1. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Therefore $\sqrt[3]{3375} = \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt[3]{3^{3} \cdot 5^{3}} = \sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{5^{3}} = 3 \cdot 5 = 15$ .

Therefore $\sqrt[3]{3375} = 15 .$

Task 1

Calculate.

a) $\sqrt{676}$

b) $\sqrt{1024}$

Task 2

Calculate.

a) $\sqrt[3]{1728}$

b) $\sqrt[3]{5832}$

RumcrRL2KSFvn1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Consider if $\sqrt[3]{- 8}$ has the same value as $- \sqrt[3]{8}$ ?

Check your assumptions on examples.

Conclusion:

R1RqGgBGx1B1t1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

- For any number a there is the equality $\sqrt[3]{- a} = - \sqrt[3]{a} .$

Task 3

R10hL5YgXeXbB1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Insert proper sign in blank spaces <, >, =.

a) pierwiastek kwadratowy z sześćdziesięciu czterech [tu uzupełnij] pierwiastek trzeciego stopnia z sześćdziesięciu czterech
b) pierwiastek kwadratowy z trzydziestu sześciu [tu uzupełnij] pierwiastek trzeciego stopnia z czterdziestu dziewięciu
c) pierwiastek kwadratowy z czterech [tu uzupełnij] pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu
d) minus pierwiastek kwadratowy z trzydziestu sześciu [tu uzupełnij] minus pierwiastek trzeciego stopnia z minus dwustu szesnastu
e) pierwiastek trzeciego stopnia z minus tysiąca [tu uzupełnij] minus pierwiastek trzeciego stopnia z minus pięćset dwunastu

Task 4

R1G3A4luDldvh1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Calculate the value of the expression.

a) $\sqrt{36 + 48}$

b) $\sqrt{169} - \sqrt{121}$

c) $\sqrt[3]{8} + \sqrt{49}$

d) $\sqrt[3]{- 64} + \sqrt[3]{- 1000}$

e) $\sqrt[3]{\frac{1}{216}} + \sqrt{\frac{1}{36}} - \sqrt[3]{- 216} + \sqrt{36}$

f) $\sqrt{5 \frac{4}{9}} \cdot \frac{\sqrt{81}}{7}$

Task 5

R1BarhPcqCzTx1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Your task is to observe which values of square roots are expressed with rational numbers.

R1QPsXSoT5v6A1

R1IVJFAMIYRbO1

Na rysunku pokazana jest konstrukcja pierwiastka kwadratowego liczby naturalnej 1. Rysunek przestawia kwadrat o boku jeden z narysowaną przekątną kwadratu. Z wierzchołka kwadratu narysowany jest fragment łuku okręgu o promieniu równym przekątnej kwadratu. Powstał prostokąt o boku jeden i boku pierwiastek kwadratowy z dwóch. Nad rysunkiem prostokąta znajduje się napis "Square roots". Pod rysunkiem prostokąta znajduje się oś liczbowa z zaznaczonym punktem zero. Pod osią podpis "Cubic roots" i liczby jeden i pierwiastek sześcienny z dwóch. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R1aHSmw233a5k1

Na rysunku pokazana jest konstrukcja pierwiastka kwadratowego liczby naturalnej 1, 2, 3 i 4. Rysunek przestawia kwadrat o boku jeden z narysowaną przekątną kwadratu. Z wierzchołka kwadratu narysowany jest fragment łuku okręgu o promieniu równym przekątnej kwadratu. Na rysunku dorysowane są kolejne prostokąty: o bokach 1 i pierwiastek z trzech, jeden i dwa, jeden i pierwiastek z pięciu itd. Ostatni prostokąt ma boki jeden i pierwiastek z sześćdziesiąt cztery równy cztery. Nad rysunkiem prostokąta znajduje się napis "Square roots". Pod rysunkiem prostokąta znajduje się oś liczbowa z zaznaczonym punktem zero, jeden, dwa, trzy i pierwiastek sześcienny z sześćdziesiąt cztery równym cztery oraz podpis "Cube roots". — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Task 6

RZZbGKmAIdsnx1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Choose a number that is not a rational numberrational numberrational number.

$\sqrt{1 \frac{7}{9}}, \sqrt[3]{- 1331}, \sqrt{8}, \sqrt{196} .$

Task 7

An extra task:

Give an example of number $x$ , for which the value of the expression $\sqrt{x^{2} + 48}$ is a rational numberrational numberrational number.

Do the revision exercises.

Exercises

R1dBBFYIBC3bX

Exercise 1

The equality $\sqrt{1 - a} = \frac{3}{4}$ is true when a is equal to:

$\frac{1}{4}$
$\frac{7}{16}$
$- \frac{1}{4}$
$- \frac{7}{16}$

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Exercise 2

Wstaw w wolne miejsce taką liczbę, aby wartość wyrażenia pierwiastek trzeciego stopnia z [tu uzupełnij] była ułamkiem niewłaściwym.

Infinitely many solutions, for example $3 \frac{3}{8}$ .

Exercise 3

The value of the expression $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ is between which integers? Describe the solution in English.

R1OiLVS9KMZCq

Exercise 4

Match English terms with their Polish equivalents.

rozkład na czynniki pierwsze, pierwiastek kwadratowy, kwadrat liczby, liczba wymierna, pierwiastek sześcienny, sześcian liczby

square of a number
prime factorization
cube root of a number
square root of a number
cube of a number
rational number

RnLte8WuKbAQt1

Match Polish terms with their English equivalents.

liczba wymierna
prime factorization
kwadrat liczby
square of a number
pierwiastek sześcienny
rational number
sześcian liczby
cube of a number
rozkład na czynniki pierwsze
cube root of a number

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

cube of a number

sześcian liczby

RBnpFF0Be6xWK1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: cube of a number

cube root of a number

pierwiastek sześcienny

R1J2dP4s38Bzr1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: cube root of a number

prime factorization

rozkład na czynniki pierwsze

R2wDpU8lTM8pa1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: prime factorization

rational number

liczba wymierna

R1XLrKh335Uqv1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: rational number

square of a number

kwadrat liczby

RhUPmnaxze1tY1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: square of a number

square root of a number

pierwiastek kwadratowy

RIrHnzstlCnjo1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: square root of a number

Keywords

cube root of a numbercube root of a numbercube root of a number

prime factorizationprime factorizationprime factorization

rational numberrational numberrational number

square of a numbersquare of a numbersquare of a number

square root of a numbersquare root of a numbersquare root of a number

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords