Jaką wysokość powinien mieć ostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $10 \mathrm{cm}$, aby miał tę samą objętość co ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $12 \mathrm{cm}$ i wysokości $9 \mathrm{cm}$?

Rozwiązanie

Zacznijmy od policzenia objętości drugiego ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}·{12}^2·9=432$,

Niech $H$ – wysokość pierwszego ostrosłupa. Wtedy:

$432=\frac{1}{3}·{10}^2·H$,

$H=12,96 \left[\mathrm{cm}\right]$.

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równoramiennym, w którym kąt pomiędzy ramionami ma miarę $\alpha$ . Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{12}{15}$, a krawędź podstawy ma długość $18 \mathrm{cm}$.

Rozwiązanie

Przeanalizujmy rysunek i ścianę boczną trójkąta.

RmbOjD2j0SjBR

Ilustracja przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta ma długość 18, prawe ramię trójkąta ma długość $15x$. W trójkącie zaznaczono jego wysokość, ma ona długość $12x$ i dzieli podstawę na dwie równe części. Pomiędzy wysokością a prawym ramieniem trójkąta zaznaczono kąt i podpisano go $\frac{\alpha }{2}$.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy, że $x=1$, czyli krawędź boczna ma długość $15 \mathrm{cm}$, a wysokość ściany bocznej $12 \mathrm{cm}$.

Policzmy teraz wysokość ostrosłupa.

R1e2NbsRzTSTg

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa oznaczonej literą H, wysokości ściany bocznej o długości 12 oraz odcinka łączącego spodki obu wysokości o długości dziewięć.

$H=\sqrt{{12}^2-9^2}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$

$V=\frac{1}{3}·{18}^2·3\sqrt{7}=324\sqrt{7}$

Objętość ostrosłupa wyrażona jest za pomocą wyrażenia algebraicznego $27a^{3}b$. Ile wynosi wysokość ostrosłupa, jeśli jego przekątna podstawy ma długość $b$?

Rozwiązanie

Zacznijmy od przyjęcia założeń: $a>0$ i $b>0$.

Niech $H$ oznacza wysokość ostrosłupa.

$P_p=\frac{b·b}{2}=\frac{b^2}{2}$

$V=\frac{1}{3}{P}_p·H$

Mamy więc równanie:

$27a^{3}b=\frac{1}{3}·\frac{b^2}{2}·H$,

$162a^{3}b=b^{2}H$.

Stąd wysokość ostrosłupa wynosi:

$H=\frac{162a^3}{b}$.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości równej $8$, jeśli cosinus kąta między wysokością tego ostrosłupa a krawędzią boczną jest równy $\frac{4}{5}$.

Rozwiązanie

RDfU92xG9lSLy

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa oznaczonej literą H, której długość wynosi 8, krawędzi ściany bocznej oznaczonej literą x oraz odcinka łączącego spodek wysokości ostrosłupa z dolnym wierzchołkiem krawędzi bocznej, odcinek ten ma długość y. Pomiędzy tym odcinkiem a wysokością ostrosłupa zaznaczono kąt prosty. Pomiędzy wysokością ostrosłupa a krawędzią ściany bocznej zaznaczono kąt alfa.

Z definicji cosinusa mamy $\frac{4}{5}=\frac{8}{x}$,

$x=10$, więc $y=6$.

$P_p=\frac{12·12}{2}=72$

$V=\frac{1}{3}·72·8=192$

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $2P$, a wysokość jego ściany bocznej jest równa $h$. Wyznacz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie

Skoro pole podstawy wynosi $2P$, to krawędź podstawy ma długość $\sqrt{2P}$. Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1CiMf8hfApPp

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa oznaczonej literą wielkie H, wysokości ściany bocznej oznaczonej literą małe h oraz odcinka łączącego spodki obu wysokości o długości $\frac{\sqrt{2P}}{2}$.

Obliczmy wysokość ostrosłupa:

$H^2+{\left(\frac{\sqrt{2P}}{2}\right)}^2=h^2$,

$H^2=h^2-\frac{2P}{4}$,

$H^2=\frac{4h^2-2P}{4}$,

$H=\frac{\sqrt{4h^2-2P}}{2}$.

Objętość ostrosłupa wynosi więc:

$V=\frac{1}{3}·2P·\frac{\sqrt{4h^2-2P}}{2}=\frac{p}{3}\sqrt{4h^2-2P}$.

Jak zwiększy się objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy jego wysokość zwiększymy $3$ razy a krawędź podstawy $2$ razy?

Rozwiązanie

Niech $H$ – wysokość ostrosłupa,

$a$ – długość krawędzi podstawy.

Objętość wynosi $V=\frac{1}{3}{a}^2·H$.

Jeśli wysokość zwiększymy $3$ razy, a krawędź podstawy $2$ razy, to otrzymamy:

$V^{\text{'}}=\frac{1}{3}(2a{)}^2·3H=\frac{1}{3}·4a^2·3H=\frac{1}{3}·12a^{2}H=12V$,

co oznacza, że objętość zwiększyła się $12$ razy.

ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi