Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z treścią animacji 3D. Zwróć uwagę na wykorzystanie trójkątów prostokątnych w ostrosłupach, twierdzenie Pitagorasa i trygonometrię. Pomagają one w obliczeniu objętości omawianych ostrosłupów.

RYmPvBb0RvrJC

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DaANfq6dU

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

Polecenie 2

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości $2 \sqrt{3}$ i krawędzi bocznej długości $5$ .

Obliczmy pole podstawy:

$P_{p} = {(2 \sqrt{3})}^{2} = 12$

Do obliczenia objętości brakuje nam wysokości ostrosłupa. Oznaczmy ją na rysunku jako $H$ .

R15cIZ60jUsYI

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wierzchołki podstawy to A B C D. Długość krawędzi podstawy wynosi 23. W podstawie zaznaczono jej przekątne. Wierzchołek górny ostrosłupa oznaczono literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość, spodek wysokości leży na przecięciu przekątnych podstawy i jest podpisany literą O. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy oznaczono jako kąt prosty. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość pięć.

Trójkąt $S O C$ jest prostokątny. Odcinek $O C$ jest połową przekątnej kwadratu.

$|O C| = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$H^{2} = 5^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}$

$H = \sqrt{25 - 6} = \sqrt{19}$

Objętość ostrosłupa wynosi więc:

$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{19} = 4 \sqrt{19}$

Przeczytaj

Sprawdź się