Ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są identycznymi trójkątami równoramiennymi.
Zacznijmy od ogólnego wzoru na objętość ostrosłupa:
,
gdzie:
– pole podstawy,
– wysokość ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, zatem wzór na jego objętość możemy przedstawić następująco:
.
R1VgXXADUJCcn
Przykład 1
Jaką wysokość powinien mieć ostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości , aby miał tę samą objętość co ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości i wysokości ?
Rozwiązanie
Zacznijmy od policzenia objętości drugiego ostrosłupa:
,
Niech – wysokość pierwszego ostrosłupa. Wtedy:
,
.
Przykład 2
Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równoramiennym, w którym kąt pomiędzy ramionami ma miarę . Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że , a krawędź podstawy ma długość .
Rozwiązanie
Przeanalizujmy rysunek i ścianę boczną trójkąta.
RmbOjD2j0SjBR
Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy, że , czyli krawędź boczna ma długość , a wysokość ściany bocznej .
Policzmy teraz wysokość ostrosłupa.
R1e2NbsRzTSTg
Przykład 3
Objętość ostrosłupa wyrażona jest za pomocą wyrażenia algebraicznego . Ile wynosi wysokość ostrosłupa, jeśli jego przekątna podstawy ma długość ?
Rozwiązanie
Zacznijmy od przyjęcia założeń: i .
Niech oznacza wysokość ostrosłupa.
Mamy więc równanie:
,
.
Stąd wysokość ostrosłupa wynosi:
.
Przykład 4
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości równej , jeśli cosinus kąta między wysokością tego ostrosłupa a krawędzią boczną jest równy .
Rozwiązanie
RDfU92xG9lSLy
Z definicji cosinusa mamy ,
, więc .
Przykład 5
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe , a wysokość jego ściany bocznej jest równa . Wyznacz objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie
Skoro pole podstawy wynosi , to krawędź podstawy ma długość . Zróbmy rysunek pomocniczy.
R1CiMf8hfApPp
Obliczmy wysokość ostrosłupa:
,
,
,
.
Objętość ostrosłupa wynosi więc:
.
Zauważmy, że kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zależy od długości krawędzi podstawy oraz od długości jego wysokości.
Zwróćmy uwagę, co się dzieje, gdy zwiększamy tylko wysokość ostrosłupa (np. dwukrotnie), albo tylko długość krawędzi podstawy (również dwukrotnie). Wyciągnij wnioski.
Jaki ma to wpływ na objętość naszej bryły?
R1e76RNe40jiC
Przykład 6
Jak zwiększy się objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy jego wysokość zwiększymy razy a krawędź podstawy razy?
Rozwiązanie
Niech – wysokość ostrosłupa,
– długość krawędzi podstawy.
Objętość wynosi .
Jeśli wysokość zwiększymy razy, a krawędź podstawy razy, to otrzymamy:
,
co oznacza, że objętość zwiększyła się razy.
Słownik
ostrosłup prawidłowy czworokątny
ostrosłup prawidłowy czworokątny
ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi