Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami zastosowania twierdzenia o odcinkach stycznych przedstawionymi w animacji.

RobFn3NRHDjxS

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DQNMfg8lk

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący zastosowania twierdzenia o odcinkach stycznych.

Polecenie 2

Dany jest trójkąt o bokach: $3$ , $4$ , $5$ . Wyznacz długości odcinków, na jakie boki trójkąta zostały podzielone przez punkty, w których okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do jego boków.

Trójkąt ten jest prostokątny, zatem jeden z odcinków stycznych ma długość równą promieniowi $r$ okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zatem $s_{1} = r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ .

Pozostałe odcinki stycznych mają więc długość: $s_{2} = 4 - r = 3$ , $s_{3} = 3 - r = 2$ .

Polecenie 3

Przez punkty $A$ , $B$ poprowadzono styczne do danego okręgu, które przecięły się w punkcie $P$ . Wyznacz długość promienia tego okręgu, jeśli $|A P| = 4$ oraz $|∢ A P B| = 45 °$ .

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RSnyseimn1GiY

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Poprowadzono dwie proste, przecinające się w punkcie P i styczne do okręgu w punktach A i B. Na prostej stycznej do okręgu w punkcie B, zaznaczono punkt C, znajdujący się na przedłużeniu odcinka AO. ∠APC wynosi 45 stopni.

Wtedy $|C P| = 4 \sqrt{2} = |C B| + |B P| = r + 4$ .

Stąd $r = 4 \sqrt{2} - 4$ .

Polecenie 4

W trapez prostokątny $A B C D$ o krótszej podstawie $C D$ równej $3$ wpisano okrąg o promieniu $2$ , styczny do odpowiednich ramion trapezu w punktach $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , jak na rysunku.

RgemIcYBfafWg

Na ilustracji przedstawiono trapez prostokątny ABCD, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono cztery punkty styczności obu figur. Punkt R, leżący na górnej podstawie trapezu. Punkt Q, leżący na prawym ramieniu. Punkt P leżący na dolnej podstawie, oraz punkt S na lewym ramieniu.

Wyznacz różnicę długości $|B Q| - |C Q|$ .

Zauważmy, że $|R C| = 3 - |D R| = 3 - 2 = 1 = |C Q|$ .

Trójkąt $B O C$ jest prostokątny oraz odcinek $O Q$ jest promieniem okręgu.

Zatem ${|O Q|}^{2} = |C Q| \cdot |B Q|$ , czyli $2^{2} = 1 \cdot |B Q|$ .

Stąd $|B Q| - |C Q| = 4 - 1 = 3$ .

Przeczytaj

Sprawdź się