Prezentacja. Nierówność Cauchy’ego między średnią arytmetyczną i geometryczną można rozszerzyć do nierówności między średnimi. Harmoniczną, geometryczną, arytmetyczną i kwadratową. Nierówność Cauchy’ego między średnią arytmetyczną i geometryczną. Dla liczb dodatnich $a_1,a_2,\dots ,a_n$ zachodzi nierówność. $\sqrt[n]{a_1·a_2·\dots a_n}\le \frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}$ przy czym równość w powyższej nierówności zachodzi tylko, gdy $a_1=a_2=\dots =a_n$ Średnia arytmetyczna liczb dodatnich $a_1,a_2,\dots ,a_n$ to liczba $s_A=\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}$. Średnia geometryczna liczb dodatnich $a_1,a_2,\dots ,a_n$ to liczba $s_G=\sqrt[n]{a_1·a_2·\dots a_n}$. Średnia harmoniczna liczb dodatnich $a_1,a_2,\dots ,a_n$ to liczba $s_H=\frac{n}{{\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}}}$. Średnia kwadratowa liczb dodatnich $a_1,a_2,\dots ,a_n$ to liczba $s_K=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2}{n}}$. Między średnimi dla liczb dodatnich $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ zachodzą nierówności. $\frac{n}{{\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}}}\le \sqrt[n]{a_1·a_2·\dots a_n}\le \frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}\le \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2}{n}}$ przy czym nierówność w każdym przypadku zachodzi tylko, gdy $a_1=a_2=\dots a_n$. Zaprezentujemy jeden z dowodów geometrycznych nierówności między średnimi dla n równego dwa. Dane są odcinki x i y. ilustracja odcinków x i y. Załóżmy, że $x>y$. Skonstruujemy odcinki. $h=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}}$. $g=\sqrt{xy}$. $a=\frac{x+y}{2}$.
$k=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$. I pokażemy, że $h<g<a<k$. Równość dla $x=y$ jest oczywista. Dowód gdy $x<y$ jest analogiczny. Wyznaczmy punkty A, B, C tak, że. Ilustracja odcinków $AB=x+y$. $AC=x$. $BC=y$. Na ilustracji odcinka A B dorysowano okrąg. Oznaczmy D jako środek odcinka A B i naszkicujmy okrąg o średnicy A B. Wyznaczmy na okręgu punkt E tak, by $EC\perp AB$. Poprowadźmy odcinki CE i DE. Poprowadźmy styczną do okręgu w punkcie E. Wyznaczmy na stycznej punkt F taki, że $CF\perp EF$. Wyznaczmy na stycznej punkt G tak, by punkt E leżał na odcinku GF i $GE=DC$. Długość przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym jak zawsze mniejsza od długości przeciwprostokątnej. Zatem prawdziwa jest nierówność. $CF<CE<DE<DG$. Wykażemy, że nierówność ta odpowiada nierówności między średnimi dla liczb x i y. Zauważmy, że DE jest promieniem okręgu o średnicy $x+y$, więc $DE=a=\frac{x+y}{2}$ średnia arytmetyczna. Na ilustracji do prostych dorysowano trójkąty. Zauważmy, że trójkąt ACE i trójkąt ECB są podobne. Mają odpowiednio równe kąty. Zatem $\frac{AC}{CE}=\frac{CE}{CB}$, czyli $C{E}^2=AC·CB=x·y$. To oznacza, że $CE=g=\sqrt{AC·CB}=\sqrt{x·y}$. Średnia geometryczna. Zauważmy, że trójkąt DCE i trójkąt EFC są podobne i mają odpowiednio równe kąty. Zatem $\frac{DE}{CE}=\frac{CE}{FC}$. $FC=\frac{C{E}^2}{DE}=\frac{g^2}{a}=\frac{xy}{{\displaystyle \frac{x+y}{2}}}$ a to oznacza, że $FC=h=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}}$ średnia harmoniczna. Wiemy, że $GE=DC=\frac{x+y}{2}-y=\frac{x-y}{2}$. Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie GED. $D{G}^2=D{E}^2+G{E}^2$. $D{G}^2={\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x-y}{2}\right)}^2=\frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{4}=\frac{2x^2+2y^2}{4}=\frac{x^2+y^2}{2}$. Zatem $DG=k=\sqrt[2]{\frac{x^2+y^2}{2}}$ średnia kwadratowa.