Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

W ćwiczeniach prócz wyboru odpowiedzi warto zapisać rozumowanie prowadzące do rozwiązania.

Do wszystkich ćwiczeń poza jednym zamieszczone są wskazówki oraz odpowiedź dające możliwość zapoznania się z przykładem zapisu prawidłowego rozumowania.

Ćwiczenie 1

RdDgoYB3SvMcQ

Uzupełnij, by uzyskać nierówność prawdziwą:

$9$ , $8$ , $12$ , $16$

Dla $a, b, c > 0$ zachodzi nierówność:

$(a + b) (b + c) (c + a) ⩾$ ............ $a b c$

Skorzystaj z nierówności Cauchy'ego:
dla $x, y > 0$ zachodzi nierówność $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}$ .

Wiemy, że
dla $x, y > 0$ zachodzi nierówność $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}$ ,
czyli $x + y \geq 2 \sqrt{x y}$ .

Korzystając trzykrotnie z tej nierówności, mamy: $L = (a + b) (b + c) (c + a) \geq 2 \sqrt{a b} \cdot 2 \sqrt{b c} \cdot 2 \sqrt{c a} =$
$= 8 \sqrt{a^{2} b^{2} c^{2}} = 8 a b c = P$ .

W puste miejsce należy więc wstawić liczbę $8$ .
Jeśli podstawimy $a = b = c = 1$ , to od razu widać, że dla pozostałych wartości ( $9$ , $12$ , $16$ ) nierówność nie jest prawdziwa.

R1JivH7RDjmkE2

Ćwiczenie 2

Podstawy trapezu mają długości

6

10

.
Przyporządkuj długości odpowiednich odcinków równoległych do podstaw do opisu. odcinek łączący środki ramion Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

\frac{15}{2}

, 3.

2 \sqrt{15}

, 4.

2 \sqrt{17}

odcinek dzielący trapez na dwa trapezy podobne Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

\frac{15}{2}

, 3.

2 \sqrt{15}

, 4.

2 \sqrt{17}

odcinek dzielący trapez na dwie części o równych polach Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

\frac{15}{2}

, 3.

2 \sqrt{15}

, 4.

2 \sqrt{17}

odcinek przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych Możliwe odpowiedzi: 1.

8

, 2.

\frac{15}{2}

, 3.

2 \sqrt{15}

, 4.

2 \sqrt{17}

Podstawy trapezu mają długości $6$ i $10$ .
Wskaż długości odpowiednich odcinków równoległych do podstaw.

odcinek łączący środki ramion
odcinek dzielący trapez na dwa trapezy podobne
odcinek dzielący trapez na dwie części o równych polach
odcinek przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych

Dwa kolejne ćwiczenia dotyczą tej samej funkcji, dlatego warto rozwiązać je łącznie. Na końcu znajdują się wskazówki i pełne rozumowanie oparte na nierówności Cauchy'ego (zadania można też rozwiązać korzystając z metod analizy matematycznej, ale to nie mieści się w zakresie bieżącej lekcji).

RHbXD8gnf8kyD2

Ćwiczenie 3

Dana jest funkcja $f (x) = x^{2} + \frac{16}{x}$ określona dla $x \in (0; \infty)$ .
Ustal, ile wynosi najmniejsza wartość funkcji.

$12$
$6$
$4$
$3$
$\frac{1}{2}$
$3 \sqrt[3]{2}$

Ćwiczenie 4

R1LeikuzoBLZw

Dana jest funkcja $f (x) = x^{2} + \frac{16}{x}$ określona dla $x \in (0; \infty)$ .
Ustal, dla jakiego argumentu funkcja osiąga wartość najmniejszą.

$2$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{8}$
$2 \sqrt{2}$
$2 \sqrt[3]{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Skorzystaj z nierówności Cauchy'ego.
Zauważ, że:
$f (x) = x^{2} + \frac{16}{x} = x^{2} + \frac{8}{x} + \frac{8}{x} = \frac{3 x^{2} + \frac{24}{x} + \frac{24}{x}}{3}$ .

Z nierówności Cauchy'ego:
$f (x) = x^{2} + \frac{16}{x} = x^{2} + \frac{8}{x} + \frac{8}{x} = \frac{3 x^{2} + \frac{24}{x} + \frac{24}{x}}{3} \geq$
$\geq \sqrt[3]{3 x^{2} \cdot \frac{24}{x} \cdot \frac{24}{x}} = \sqrt[3]{3^{3} \cdot 8 \cdot 8} = 12$ .

Równość zachodzi, gdy $3 x^{2} = \frac{24}{x}$ , czyli dla $x = 2$ .

Najmniejszą wartością funkcji $f (x)$ jest więc $12$ .
Najmniejsza wartość jest przyjmowana dla argumentu $x = 2$ .

Ćwiczenie 5

R2CO713R7ek33

Skorzystaj z nierówności Cauchy'ego.
Zauważ, że:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + \frac{y^{2} + z^{2}}{2} + \frac{z^{2} + t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + x^{2}}{2}$ .

Skorzystajmy czterokrotnie z nierówności Cauchy'ego:
$L = x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + \frac{y^{2} + z^{2}}{2} + \frac{z^{2} + t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + x^{2}}{2} \geq$
$\geq \sqrt{x^{2} y^{2}} + \sqrt{y^{2} z^{2}} + \sqrt{z^{2} t^{2}} + \sqrt{t^{2} x^{2}} = x y + y z + z t + t x = P$ .

Pierwsza nierówność została zatem wykazana.

Druga nie zawsze zachodzi - na przykład gdy podstawimy $x = y = z = t = 1$ otrzymamy sprzeczność.

Ćwiczenie 6

R1FxNWBVn4AkZ

Spróbuj postąpić analogicznie jak w poprzednim ćwiczeniu.

Zauważ, że:
$x^{3} + y^{3} + z^{3} + t^{3} = \frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3} + \frac{y^{3} + z^{3} + t^{3}}{3} + \frac{z^{3} + t^{3} + x^{3}}{3} + \frac{t^{3} + x^{3} + y^{3}}{3}$ .

Skorzystajmy czterokrotnie z nierówności Cauchy'ego: $L = x^{3} + y^{3} + z^{3} + t^{3} = \frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3} + \frac{y^{3} + z^{3} + t^{3}}{3} + \frac{z^{3} + t^{3} + x^{3}}{3} + \frac{t^{3} + x^{3} + y^{3}}{3} \geq$
$\geq \sqrt[3]{x^{3} y^{3} z^{3}} + \sqrt[3]{y^{3} z^{3} t^{3}} + \sqrt[3]{z^{3} t^{3} x^{3}} + \sqrt[3]{t^{3} x^{3} y^{3}} = x y z + y z t + z t x + t x y = P$ .

Nierówność jest zatem prawdziwa.

Ćwiczenie 7

RAFAYh3xYqTYG

Wśród podanych nierówności wskaż wszystkie, które są prawdziwe dla każdej liczby $a > 0$ .

$\sqrt[4]{x} - 2 x ⩽ \frac{3}{8}$
$\sqrt[4]{x} - 2 x ⩽ 2$
$\sqrt[4]{x} - 2 x ⩽ \frac{1}{2}$
$\sqrt[4]{x} - 2 x ⩽ \frac{1}{4}$

Wykaż za pomocą nierówności Cauchy'ego, że dla $a > 0$ zachodzi nierówność $2 a + \frac{3}{8} \geq \sqrt[4]{a}$ .

Wykażemy, że $2 a + \frac{3}{8} \geq \sqrt[4]{a}$ .

Skorzystajmy z nierówności Cauchy'ego:
$L = 2 a + \frac{3}{8} = 2 a + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8 a + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{4} \geq$
$\geq \sqrt[4]{8 a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt[4]{a} = P$ .

Wiemy, że równość w tej nierówności zachodzi gdy $8 a = \frac{1}{2}$ , czyli dla $a = \frac{1}{16}$ .

Prawdziwe są zatem nierówności:
$\sqrt[4]{a} - 2 a \leq \frac{3}{8}$
$\sqrt[4]{a} - 2 a \leq \frac{1}{2}$
$\sqrt[4]{a} - 2 a \leq 2$
przy czym w dwóch ostatnich równość zajść nie może.

Ćwiczenie 8

R1CzgFlo1aDNv

Dane są liczby $a, b, c > 0$ .
Ustal, która z poniższych nierówności jest zawsze prawdziwa.

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ⩾ \frac{9}{a + b + c}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ⩽ \frac{9}{a + b + c}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{9}{a + b + c}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{9}{a + b + c}$

Wykaż prawdziwość nierówności $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}$ .

Wykażemy prawdziwość nierówności
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}$ .

Przekształćmy nierówność równoważnie, mnożąc ją przez dodatni czynnik $a + b + c$ :
$\frac{a + b + c}{a} + \frac{a + b + c}{b} + \frac{a + b + c}{c} \geq 9$
$\frac{a}{a} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{b} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{c} \geq 9$
$3 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) + (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \geq 9$ .

Ostatnia nierówność jest oczywista, ponieważ zgodnie z nierównością Cauchy'ego dla dowolnych $x, y > 0$ zachodzi zależność $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ .

Nierówności słabej nie możemy zastąpić ostrą, ponieważ dla $a = b = c$ uzyskujemy równość.

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela