Nierówność Cauchy'ego między średnią arytmetyczną i geometryczną można rozszerzyć do nierówności między średnimi harmoniczną, geometryczną, arytmetyczną i kwadratową.
Zapoznaj się z prezentacją multimedialną zawierającą informacje na ten temat i geometryczny dowód nierówności w najprostszym przypadku.
R1OqW5CdA6PXY1
Polecenie 2
Dany jest trapez o podstawach , oraz cztery odcinki , , , o końcach na ramionach trapezu równoległe do podstaw:
RstMyg2c3tRXh
przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych;
dzieli trapez na dwa trapezy podobne;
przechodzi przez środki ramion;
dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach.
Długość każdego z tych odcinków to jedna ze średnich długości podstaw. Wskaż, który odcinek odpowiada której średniej. Odpowiedź uzasadnij.
Po zsumowaniu , czyli długość jest średnią harmoniczną długości podstaw.
R1P3mxsFG5YCB
Trapezy i są podobne, zatem ich odpowiednie boki tworzą te same proporcje: , czyli , co daje średnią geometryczną długości podstaw.
RRLoonOctCE1F
Oznaczmy środki odcinków , i odpowiednio jako , i .
Skorzystamy z własności trójkąta, która mówi, że odcinek łączący środki ramion trójkąta jest równoległy do podstawy, a jego długość to połowa długości podstawy.
Z trójkąta wiemy, że i jest to odcinek równoległy do podstaw trapezu.
Analogicznie z trójkąta mamy i jest to odcinek równoległy do podstaw, czyli punkty , i są współliniowe.
Zatem - uzyskaliśmy średnią arytmetyczną.
RimyNJdBAouUZ
Oznaczmy wysokości trapezów i odpowiednio jako i .
Odcinek dzieli trapez na dwie części o równych polach, więc .
Przekształćmy układ tak, by wyznaczyć za pomocą i .