Objętość ostrosłupa

Learning objectives

• Calculating the volume of the pyramid.

Learning effect

• You can calculate the volume of the pyramid.

Prepare an empty box which has the shape of the regular quadrangular prism and several identical pyramidpyramidpyramid-shaped containers filled with water. The containers filled with water have exactly the same altitudes and bases as the prisms. Pour water out of the pyramidpyramidpyramid-shaped containers into the prism‑shaped box. Check how many containers you have emptied.

Conclusions:

• The prism‑shaped box held the water from three pyramidpyramidpyramid-shaped containers. So, the volume of the prism is three times larger than the volume of the pyramidvolume of the pyramidvolume of the pyramid.

• The volume of the pyramidvolume of the pyramidvolume of the pyramid is expressed with formula:

  $V=\frac{1}{3}{P}_p·h$

  where:
  PIndeks dolny p_p – the base area,
  h – the altitude of the pyramidaltitude of the pyramidaltitude of the pyramid.

Use the information to solve the tasks.

Task 1

R6L5pICOMWCPp1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

The base of the pyramidpyramidpyramid in the diagram is a rectangle. Calculate the volume of the pyramidvolume of the pyramidvolume of the pyramid.

R1RJlbyEonVQ71

Ilustracja przedstawia ostrosłup o wysokości 6 i kącie między ścianą i podstawą 60 stopni.

Task 2

R1Y29472usLUB

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Analyse the solution to this task. Then, solve the task in your notebook.

R15pATUVLHoDI1

Geogebra aplet - Ostrosłup. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Geogebra aplet - Ostrosłup. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DR43SyVyE

R1Mf9CGDOeZlB1

Rysunek przedstawia rzut ostrosłupa czworokątnego o podstawie prostokąta ABCD i wierzchołku S. Obok znajduje się trójkąt równoboczny ACS.

R198CHq5nFjGx1

Rysunek przedstawia rzut ostrosłupa czworokątnego o podstawie prostokąta ABCD i wierzchołku S. Na rysunku zaznaczono wysokość ostrosłupa H i przekątną AC. Obok znajduje się trójkąt równoboczny ACS o boku sześć pierwiastków z trzech i wysokości H. Pod spodem znajduje się rysunek prostokąta ABCD o bokach 2x i 3x i przekątnej długości sześć pierwiastków z trzech.

RtZnnQ6Xjs0tl1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

The base of pyramidpyramidpyramid ABCDS is the rectangle whose sides are in ratio 2 : 3. Triangle ACS is equilateral and its area equals $27\sqrt{3}$ dmIndeks górny 2². Calculate the volume of this pyramid.

Remember:

• The volume of the pyramidvolume of the pyramidvolume of the pyramid is expressed with formula:

  $V=\frac{1}{3}{P}_p·h$

  where:
  PIndeks dolny p_p – the base area,
  h – the altitude of the pyramidaltitude of the pyramidaltitude of the pyramid.

Do the consolidation tasks.

Exercises

Exercise 2

Calculate the volume of the regular quadrangular pyramid show in the diagram.

RtO7xwwqs3pKX

Ilustracja przedstawia ostroslup o krawędzi bocznej 4 pierwiastki z 2, wysokości ściany bocznej 7.

Show solution

$16\sqrt{5}$

Glossary

Keywords

altitude of the pyramidaltitude of the pyramidaltitude of the pyramid

base area of the pyramidbase area of the pyramidbase area of the pyramid

pyramidpyramidpyramid

total surface area of the pyramidtotal surface area of the pyramid total surface area of the pyramid – P = PIndeks dolny p_p + PIndeks dolny b_b
gdzie: 
PIndeks dolny p_p – pole podstawy
PIndeks dolny b_b – pole powierzchni bocznej

volume of the pyramidvolume of the pyramidvolume of the pyramid – wyraża się wzorem $V=\frac{1}{3}{P}_p·h$
gdzie:
PIndeks dolny p_p – pole podstawy ostrosłupa
h – wysokość ostrosłupa