Deska Galtona to urządzenie do eksperymentów statystycznych, nazwane na cześć angielskiego naukowca Francisa Galtona. Składa się z pionowej deski z równo rozmieszczonymi na kształt trójkąta gwoździami wbitymi w jej górną połowę oraz dolnej połowy podzielonej na szereg równo rozmieszczonych prostokątnych szczelin. Przód urządzenia przykryty jest szklaną osłoną umożliwiającą podgląd zarówno gwoździ jak i rowków. Pośrodku górnej krawędzi znajduje się otwór, do którego można wrzucać kulki. Każda kulka spadając pionowo i uderzając w gwóźdź omija go z jednakowym prawdopodobieństwem z lewej jak i z prawej strony. Po wielu takich uderzeniach ostateczne położenie kulki jest całkowicie losowe.
Okazuje się, że kulki wpadające do poszczególnych przegródek pod deską tworzą histogram rozkładu dwumianowego, prawie równego rozkładowi normalnemu (rozkłady te byłyby równe dla nieskończonej liczby nieskończenie małych kulek i nieskończenie dużej liczby przegródek). Deska Galtona ilustruje więc sposób powstawania w naturze rozkładu normalnego pod wpływem drobnych losowych odchyleń.
Symulacja demonstruje działanie deski Galtona. Najlepiej jest z niej korzystać na pełnym ekranie.
R8rppg23OlatO
1
Polecenie 1
Ustaw w symulacji jak najmniejszą liczbę przedziałów i rozmiar kulek. Zastanów się, dlaczego w takim przypadku nie uzyskujemy histogramu rozkładu normalnego?
Dzieje się tak, gdyż kulki są zbyt małe i nie trafiają w gwoździe. Zatem liczba losowych odchyleń jest zbyt mała.
Polecenie 1
RSqfMh8mUaOd8
1
Polecenie 2
Ustaw w symulacji liczbę przedziałów równą 19 i jak największy rozmiar kulek. Jaki wniosek możesz wyciągnąć z obserwacji symulacji?
Kulki są zbyt duże, by przecisnęły się między gwoździami. Wniosek płynący z obserwacji poczynionych w obu poleceniach jest taki, że rozmiar kulek musi być odpowiednio dobrany do konstrukcji deski.
Polecenie 2
RiLih1sOR6QMN
1
Polecenie 3
Ustaw w symulacji liczbę przedziałów równą 15 i jak największy rozmiar kulek. Jaki wniosek możesz wyciągnąć z obserwacji symulacji?
Kulki „ślizgają” się wzdłuż linii prostych wyznaczonych przez gwoździe. Uzyskany histogram jest całkowicie niezgodny z histogramem rozkładu normalnego. Dzieje się tak, gdyż kulki nie uderzają centralnie pionowo w gwoździe, lecz pod pewnym kątem, który zmienia zamierzone 50‑procentowe prawdopodobieństwo minięcia gwoździa z każdej ze stron.
Polecenie 3
Rt9ssLzJ1Soi1
1
Polecenie 4
Zaproponuj na podstawie swoich obserwacji najwłaściwsze parametry symulacji tak, by uzyskać histogram jak najbardziej zbliżony do histogramu rozkładu normalnego.
By kulki uderzały pionowo w gwoździe, nie mogą mieć składowej poziomej prędkości po minięciu każdej linii gwoździ. Muszą zatem być jak największe (o średnicy prawie równej poziomej odległości między gwoździami). Ponadto, odległości między rzędami gwoździ muszą być jak największe, by wektor prędkości kulki podczas uderzenia w następny gwóźdź był skierowany jak najbardziej pionowo. Zwróć uwagę, że wraz ze wzrostem liczby przedziałów pionowa odległość między gwoździami rośnie w stosunku do poziomej odległości. Ten stosunek jest największy dla liczby przedziałów równej 25. Mając ustaloną liczbę przedziałów należy dobrać jak największy rozmiar kulek (równy 8). Uruchom symulację dla takich parametrów i po pewnym czasie kliknij przycisk „Podaj parametry”, by zobaczyć na tle histogramu krzywą rozkładu normalnego o średniej i wariancji takiej samej, jak średnia i wariancja histogramu zliczeń kulek.