Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1JhLCRHovvTu

Dla jakiej wartości zmiennej $x$ rozkład normalny o parametrach: $a$ = 6, $σ$ = 0,7 osiąga wartość maksymalną? Podaj tę wartość maksymalną z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odpowiedź: $x$ = ............, $f (x)$ = ............

Funkcja $f (x)$ osiąga maksimum dla $x = a$ . Wartość funkcji wynosi

\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} = \frac{1}{0, 7 \sqrt{2 π}} \approx 0, 57

Ćwiczenie 2

R1QxrJQeqlmcA

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik pomiaru przekroczy wartość a) jednego, b) dwóch i c) trzech odchyleń standardowych? Przybliżone odpowiedzi podaj w procentach w wartościach całkowitych

Odpowiedzi:
a) ............%,
b) ............%,
c) mniej niż ............%

RYyEZSEosz9fj2

Ćwiczenie 3

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Ćwiczenie 4

R1YY3c9OIsytT

Wykonałeś 4 pomiary uzyskując następujące wyniki: 2, 5, 3, 6. Oblicz wartość średnią oraz średnią różnicę pomiędzy wartością średnią a wynikami poszczególnych pomiarów:

Odpowiedź:
wartość średnia: ............;
średnia różnica: .............

Wartość średnia: $(2 + 5 + 3 + 6) / 4 = 16 / 4 = 4$

Średnia różnica: $[(2 - 4) + (5 - 4) + (3 - 4) + (6 - 4)] / 4 = (- 2 + 1 - 1 + 2) / 4 = 0$

Średnia różnica jest zawsze zero, bo liczy się różnice wyników pomiarów względem średniej, która na podstawie tych samych pomiarów została wyznaczona. Właśnie dlatego dla wyznaczenia średniej odległości danych od średniej liczy się pierwiastek z sumy kwadratów różnic w celu oszacowania niepewności pomiarowych.

(Nb. pierwiastek z sumy kwadratów tych elementarnych odległości powinien kojarzyć się nam z twierdzeniem Pitagorasa, i słusznie. Związek tych odległości z „przyprostokątnymi” - ich wzajemna „prostopadłość” - to efekt ich niezależności.)

Ćwiczenie 5

RB8QYchEN2tW5

Wykonałeś 4 pomiary uzyskując następujące wyniki: 2, 5, 3, 6. Wyznacz dla nich niepewność standardową pojedynczego pomiaru (z dokładnością do dwóch cyfr znaczących) i niepewność standardową wartości średniej.

Odpowiedź:
niepewność standardowa pojedynczego pomiaru, $s_{x}$ = ............,
niepewność standardowa wartości średniej, $s_{\bar{x}}$ = .............

s_{x} = \sqrt{\frac{4 + 1 + 1 + 4}{3}} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \sqrt{3, 33} = 1, 8

s_{\overline{x}} = \frac{1, 8}{\sqrt{4}} = \frac{1, 8}{2} = 0, 9

Ćwiczenie 6

R1I55aSggN5ii

Wykonałeś 5 pomiarów uzyskując następujące wyniki: 3, 6, 5, 2, 7. Czy znając wartość średnią i wyniki czterech pierwszych pomiarów, możesz wyliczyć wartość piątego pomiaru?

Odpowiedź: Tak/Nie

Odpowiedź na tak postawione pytanie winna brzmieć „tak”. A gdyby ktoś pytał o uzasadnienie, można to udowodnić przez konstrukcję:

$średnia = (3 + 6 + 5 + 2 + 7) / 5 = 23 / 5 = 4, 6$

Odejmijmy teraz sumę pierwszych czterech wyników od pięciokrotności średniej:

$liczba pomiarów \cdot średnia - suma czterech wyników = 5 \cdot 4, 6 - (3 + 6 + 5 + 2) = 23 - 16 = 7$

Dostaliśmy piąty wynik z serii pomiarów. Warto to przepisać w oderwaniu od liczb, używając symboli. Widać z tego, że piąty (na przykład; bo całą konstrukcję można przeprowadzić dla dowolnego z tych pięciu wyników) pomiar nie jest pomiarem niezależnym - znając wartość średnią i wyniki czterech pomiarów - możemy go wyliczyć. To właśnie dlatego wzór na niepewność standardową pojedynczego pomiaru, liczoną względem wartości średniej, ma w mianowniku $n$ - 1.

Ćwiczenie 7

R1WGGWxBHQ25N

Wykonałeś pomiary i obliczyłeś wartość średnią oraz niepewność standardową pojedynczego pomiaru, uzyskując następujące wyniki: $\bar{x}$ = 20,4, $s_{x}$ = 4,6. Ile pomiarów potrzeba, aby niepewność wartości średniej była mniejsza niż 5%?

Odpowiedź: ............

\frac{s_{\overline{x}}}{\overline{x}} = 0, 05 \Rightarrow s_{\overline{x}} = 0, 05 \cdot \overline{x}; s_{\overline{x}} = 0, 05 \cdot 20, 4 = 1, 02

s_{\overline{x}} = \frac{s_{x}}{\sqrt{n}}; {(s_{\overline{x}})}^{2} = \frac{{(s_{x})}^{2}}{n} \Rightarrow n = {(\frac{s_{x}}{s_{\overline{x}}})}^{2}; n = {(\frac{4, 6}{1, 02})}^{2} = 20, 3

Ponieważ niepewność spada wraz ze zwiększaniem liczby pomiarów, zatem dla 20 pomiarów względna niepewność będzie wciąż większa niż 5%. Dopiero dla 21 pomiarów spadnie ona poniżej 5%.

Ćwiczenie 8

Gdy rzucasz rzutkami w tarczę, starasz się trafić w jej środek, jednak każdy rzut może być nieco odchylony w lewo lub prawo, a także w górę lub w dół. Jest to zatem eksperyment, którego wynik możesz opisać poprzez wartość średnią w centrum tarczy i pewną niepewność opisaną przez dwa odchylenia standardowe - jedno wzdłuż osi poziomej x i drugie wzdłuż osi pionowej y. Wynik taki jest zmienną losową opisaną dwuwymiarowym rozkładem normalnym. Spróbuj wyobrazić sobie taki rozkład. Ma on kształt:

R1eXmt7jnOKCM

symetrycznego mrowiska
krateru wulkanu
połówki piłki
stożka

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela