Deska Galtona to urządzenie do eksperymentów statystycznych, nazwane na cześć angielskiego naukowca Francisa Galtona. Składa się z pionowej deski z równo rozmieszczonymi na kształt trójkąta gwoździami wbitymi w jej górną połowę oraz dolnej połowy podzielonej na szereg równo rozmieszczonych prostokątnych szczelin. Przód urządzenia przykryty jest szklaną osłoną umożliwiającą podgląd zarówno gwoździ jak i rowków. Pośrodku górnej krawędzi znajduje się otwór, do którego można wrzucać kulki. Każda kulka spadając pionowo i uderzając w gwóźdź omija go z jednakowym prawdopodobieństwem z lewej jak i z prawej strony. Po wielu takich uderzeniach ostateczne położenie kulki jest całkowicie losowe.
Okazuje się, że kulki wpadające do poszczególnych przegródek pod deską tworzą histogram rozkładu dwumianowego, prawie równego rozkładowi normalnemu (rozkłady te byłyby równe dla nieskończonej liczby nieskończenie małych kulek i nieskończenie dużej liczby przegródek). Deska Galtona ilustruje więc sposób powstawania w naturze rozkładu normalnego pod wpływem drobnych losowych odchyleń.
Symulacja demonstruje działanie deski Galtona. Najlepiej jest z niej korzystać na pełnym ekranie.
R8rppg23OlatO
Wyobraźmy sobie tablicę szkolną, w którą powbijanych jest wiele gwoździ. Gwoździe wbite są w poziomych rzędach jeden obok drugiego w równych odległościach. Różnica pomiędzy rzędami jest taka, że gwoździe wbijane w rzędzie niżej wbite są w połowi odległości pomiędzy gwoździami rzędu wyższego. Pionowa odległość pomiędzy rzędami jest taka sama jak ich odległość w kierunku poziomym. Niech takich poziomych rzędów będzie kilkanaście, na przykład piętnaście. Poniżej wyobraźmy sobie prostopadłościenny pojemnik otwarty z góry o szerokości równej długości rzędów gwoździ. Pojemnik ten podzielony jest również na piętnaście równych części. Zastanówmy się, co się stanie jeśli z góry, dokładnie nad środkiem rzędów gwoździ zaczniemy zrzucać niewielkie kulki, tak że wraz ze spadkiem będą odbijać się od gwoździ w kolejnych rzędach. Okazuje się, że po przebyciu całej wysokości tablicy kulki wpadać będą do pojemnika. Ich ułożenie w poszczególnych jego częściach będzie charakterystyczne. Najwięcej kulek znajdować się będzie w komorach znajdujących się na środku a ilość kulek będzie maleć wraz ze zbliżaniem się do krawędzi pojemnika. Gdybyśmy narysowali funkcję, która opisuje ilość kulek w poszczególnych komorach pojemnika to zauważylibyśmy, że przypomina ona rozkład normalny. Taką tablicę nazywamy tablicą Galtona.
Wyobraźmy sobie tablicę szkolną, w którą powbijanych jest wiele gwoździ. Gwoździe wbite są w poziomych rzędach jeden obok drugiego w równych odległościach. Różnica pomiędzy rzędami jest taka, że gwoździe wbijane w rzędzie niżej wbite są w połowi odległości pomiędzy gwoździami rzędu wyższego. Pionowa odległość pomiędzy rzędami jest taka sama jak ich odległość w kierunku poziomym. Niech takich poziomych rzędów będzie kilkanaście, na przykład piętnaście. Poniżej wyobraźmy sobie prostopadłościenny pojemnik otwarty z góry o szerokości równej długości rzędów gwoździ. Pojemnik ten podzielony jest również na piętnaście równych części. Zastanówmy się, co się stanie jeśli z góry, dokładnie nad środkiem rzędów gwoździ zaczniemy zrzucać niewielkie kulki, tak że wraz ze spadkiem będą odbijać się od gwoździ w kolejnych rzędach. Okazuje się, że po przebyciu całej wysokości tablicy kulki wpadać będą do pojemnika. Ich ułożenie w poszczególnych jego częściach będzie charakterystyczne. Najwięcej kulek znajdować się będzie w komorach znajdujących się na środku a ilość kulek będzie maleć wraz ze zbliżaniem się do krawędzi pojemnika. Gdybyśmy narysowali funkcję, która opisuje ilość kulek w poszczególnych komorach pojemnika to zauważylibyśmy, że przypomina ona rozkład normalny. Taką tablicę nazywamy tablicą Galtona.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.
1
Polecenie 1
Ustaw w symulacji jak najmniejszą liczbę przedziałów i rozmiar kulek. Zastanów się, dlaczego w takim przypadku nie uzyskujemy histogramu rozkładu normalnego?
uzupełnij treść
Dzieje się tak, gdyż kulki są zbyt małe i nie trafiają w gwoździe. Zatem liczba losowych odchyleń jest zbyt mała.
Polecenie 1
RSqfMh8mUaOd8
Zaznacz odpowiedź poprawną. Inną nazwą rozkładu normalnego jest rozkład ... Możliwe odpowiedzi: 1. Jednostajny ciągły, 2. Studenta, 3. Gaussa, 4. Wykładniczy
Ćwiczenie alternatywne: Zaznacz odpowiedź poprawną. Inną nazwą rozkładu normalnego jest rozkład ...
Jednostajny ciągły
Studenta
Gaussa
Wykładniczy
1
Polecenie 2
Ustaw w symulacji liczbę przedziałów równą 19 i jak największy rozmiar kulek. Jaki wniosek możesz wyciągnąć z obserwacji symulacji?
uzupełnij treść
Kulki są zbyt duże, by przecisnęły się między gwoździami. Wniosek płynący z obserwacji poczynionych w obu poleceniach jest taki, że rozmiar kulek musi być odpowiednio dobrany do konstrukcji deski.
Polecenie 2
RiLih1sOR6QMN
Zaznacz odpowiedź poprawną. Rozkład normalny charakteryzuje się ty, że ... Możliwe odpowiedzi: 1. wartość funkcji przyjmuje maksimum dla pewnej zadanej wartości argumentu i maleje dla argumentów wraz z oddalaniem się od tej wartości charakterystycznej., 2. wartość funkcji przyjmuje minimum dla pewnej zadanej wartości argumentu i rośnie dla argumentów wraz z oddalaniem się od tej wartości charakterystycznej., 3. wartość funkcji jest stała dla zadanego przedziału argumentów.
Ćwiczenie alternatywne: Zaznacz odpowiedź poprawną. Rozkład normalny charakteryzuje się ty, że ...
wartość funkcji przyjmuje maksimum dla pewnej zadanej wartości argumentu i maleje dla argumentów wraz z oddalaniem się od tej wartości charakterystycznej.
wartość funkcji przyjmuje minimum dla pewnej zadanej wartości argumentu i rośnie dla argumentów wraz z oddalaniem się od tej wartości charakterystycznej.
wartość funkcji jest stała dla zadanego przedziału argumentów.
1
Polecenie 3
Ustaw w symulacji liczbę przedziałów równą 15 i jak największy rozmiar kulek. Jaki wniosek możesz wyciągnąć z obserwacji symulacji?
uzupełnij treść
Kulki „ślizgają” się wzdłuż linii prostych wyznaczonych przez gwoździe. Uzyskany histogram jest całkowicie niezgodny z histogramem rozkładu normalnego. Dzieje się tak, gdyż kulki nie uderzają centralnie pionowo w gwoździe, lecz pod pewnym kątem, który zmienia zamierzone 50‑procentowe prawdopodobieństwo minięcia gwoździa z każdej ze stron.
Polecenie 3
Rt9ssLzJ1Soi1
Wybierz odpowiedź poprawną. Wzrost wartości parametru sigma, dla funkcji opisującej rozkład normalny powoduje ... Możliwe odpowiedzi: 1. zwężenie funkcji na wykresie., 2. poszerzenie funkcji na wykresie., 3. wzrost wartości maksymalnej funkcji na wykresie., 4. spadek wartości maksymalnej funkcji na wykresie.
Ćwiczenie alternatywne: Wybierz odpowiedź poprawną. Wzrost wartości parametru sigma, dla funkcji opisującej rozkład normalny powoduje ...
zwężenie funkcji na wykresie.
poszerzenie funkcji na wykresie.
wzrost wartości maksymalnej funkcji na wykresie.
spadek wartości maksymalnej funkcji na wykresie.
1
Polecenie 4
Zaproponuj na podstawie swoich obserwacji najwłaściwsze parametry symulacji tak, by uzyskać histogram jak najbardziej zbliżony do histogramu rozkładu normalnego.
uzupełnij treść
By kulki uderzały pionowo w gwoździe, nie mogą mieć składowej poziomej prędkości po minięciu każdej linii gwoździ. Muszą zatem być jak największe (o średnicy prawie równej poziomej odległości między gwoździami). Ponadto, odległości między rzędami gwoździ muszą być jak największe, by wektor prędkości kulki podczas uderzenia w następny gwóźdź był skierowany jak najbardziej pionowo. Zwróć uwagę, że wraz ze wzrostem liczby przedziałów pionowa odległość między gwoździami rośnie w stosunku do poziomej odległości. Ten stosunek jest największy dla liczby przedziałów równej 25. Mając ustaloną liczbę przedziałów należy dobrać jak największy rozmiar kulek (równy 8). Uruchom symulację dla takich parametrów i po pewnym czasie kliknij przycisk „Podaj parametry”, by zobaczyć na tle histogramu krzywą rozkładu normalnego o średniej i wariancji takiej samej, jak średnia i wariancja histogramu zliczeń kulek.
Polecenie 4
R1cKF2b8vV3T4
Zaznacz odpowiedź poprawną. Dla rozkładu normalnego, w którym parametr mała litera a jest równa się minus trzy, wartość maksymalna funkcji przypada dla argumentu równego ... Możliwe odpowiedzi: 1. minus trzy, 2. zero, 3. plus trzy
Ćwiczenie alternatywne: Zaznacz odpowiedź poprawną. Dla rozkładu normalnego, w którym parametr mała litera a jest równa się minus trzy, wartość maksymalna funkcji przypada dla argumentu równego ...
