R1BhHKnzuYS8Y
Zdjęcie przedstawia bliskowschodnie geometryczne ornamenty o skomplikowanej kompozycji złożonej z różnych wielokątów, kół oraz rombów.

Długość okręgu i pole koła

Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

1. Długość okręgu

Nie sposób nie dostrzec na poniższym zdjęciu szeregu obiektów geometrycznych, w szczególności okręgów i ich łuków.

RBcC2GRwyO4CA
Pałac Dożów w Wenecji
Źródło: Luca Aless, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 4.0.

Te obiekty tworzą maswerk – geometryczny wzór architektoniczny o charakterze dekoracyjnym, wykuty z kamienia lub zrobiony z cegieł, używany do wypełnienia górnej części gotyckiego okna, witrażu, rozety itp.

Nie musimy jednak od razu jechać do Wenecji, by podziwiać kunszt ówczesnych budowniczych katedr – wystarczy wybrać się chociażby do Malborka. Również tam znajdziemy maswerki, których przewodnim motywem architektonicznym są okręgi, na przykład takie, jak na poniższym zdjęciu.

R11LnBj1OeEMW
Zamek w Malborku
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC 0 1.0.

Poniższy szkic pokazuje elementy konstrukcji maswerków z malborskiego zamku.

RnOodTkMEJFEo
Źródło: domena publiczna.

Już bardzo dawno temu uczeni poszukiwali wzoru pozwalającego obliczyć długość okręgu. Zauważyli oni, że stosunek długości okręgu do długości średnicy jest dla dowolnego okręgu zawsze taki sam.
W tym materiale będziesz korzystać ze wzoru na długość okręgu w rozwiązywaniu problemów teoretycznych i praktycznych.

Okrąg

R1ZWWaC0z6ZjA1
Animacja pokazuje, czym jest okrąg.
Zapamiętaj!

Okręgiem o środku w punkcie S i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest równa r.
Okrąg o środku w punkcie S i promieniu r oznaczamy OS,r.

R1UWSZuVV7qKk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długość okręgu

Przez wiele stuleci uczeni poszukiwali wzoru pozwalającego określić długość okręgu, którego promień jest znany. Dokonując przybliżonych pomiarów, zauważyli, że stosunek długości okręgu do jego średnicy jest w każdym przypadku w przybliżeniu równy 3.

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

RNyO4JXvExjAO11
Tytuł apletu: Długość okręgu. W aplecie po lewej stronie znajduje się miejsce na komentarz. Jest on następującej treści: Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Zmieniaj promień okręgu zmieniając położenie okrągłego punktu odcinka r. Obserwuj, jak zmienia się iloraz obwodu przez średnicę tego okręgu. Co zauważasz? Po prawej stronie znajduje się wspomniany okrąg o środku S i zaznaczonej średnicy. W górnym lewym rogu tego pola znajduje się suwak z okrągłym punktem do przesuwania go w lewą i prawą stronę. Jest on podpisany literką r. Ustawiamy suwak na wybranej przez nas wielkości. Okrąg wraz z wzrostem r powiększa się. Wówczas w miejscu na komentarz pojawia się informacja, że długość obwodu jest równa 6,9115038379, a długość średnicy jest równa 2,2 . Iloraz tych danych jest równy pi. Powiększamy długość promienia i odczytujemy dane z części na komentarz. Długość obwodu jest równa 15,9592906802, a długość średnicy jest równa 5,08 . Iloraz tych danych jest również równy pi. Powiększmy jeszcze raz długość promienia. Wówczas długość obwodu jest równa 26,8920331147, a długość średnicy jest równa 8,56 . Iloraz tych danych jest równy pi, czyli 3,1415926536.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeprowadzony eksperyment pozwolił na znalezienie dokładniejszej liczby określającej stosunek długości okręgu do jego średnicy.
Liczbę tę w XVIII w. oznaczono grecką literą π pi od pierwszej litery greckiego słowa perimetron, czyli obwód.

π=długość okręguśrednica okręgu.

Oznaczmy:
L – długość okręgu,
r – promień okręgu.
Wtedy średnica okręgu jest równa 2r oraz

π=L2r
2πr=L.
Ważne!

Długość okręgu L o promieniu r wyraża się wzorem L=2πr.

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

R1Dh9QfQ3Q9hQ11
Tytuł apletu: Obwód koła. W aplecie po lewej stronie znajduje się miejsce na komentarz. Jest on następującej treści: Dane jest koło o środku w punkcie S i promieniu r. Długość promienia r można zmieniać zmieniając położenie okrągłego punktu. Zmierzmy obwód tego koła (czyli długość jego okręgu) oraz długość średnicy tego koła. Podzielmy długość obwodu przez długość średnicy koła. Czy iloraz ten zmienia swoją wartość przy zmianie długości promienia koła? Zapisz wartość tego ilorazu w zeszycie. Po prawej stronie znajduje się wspomniane koło o środku S i zaznaczonej średnicy. W górnym lewym rogu tego pola znajduje się suwak z okrągłym punktem do przesuwania go w lewą i prawą stronę. Jest on podpisany literką r. Ustawiamy suwak na wybranej przez nas wielkości. Koło wraz z wzrostem r powiększa się. Wówczas w miejscu na komentarz pojawia się informacja, że długość obwodu jest równa 8,2929890505, a długość średnicy jest równa 2,6397404008 . Iloraz tych danych jest równy 3,1415926536. Powiększamy długość promienia i odczytujemy dane z części na komentarz. Długość obwodu jest równa 17,847394471, a długość średnicy jest równa 5,681002103 . Iloraz tych danych jest również równy 3,1415926536. Powiększmy jeszcze raz długość promienia. Wówczas długość obwodu jest równa 33,127794011, a długość średnicy jest równa 10,544904341 . Iloraz tych danych jest równy 3,1415926536.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Liczba π

Ciekawostka

Starożytni Egipcjanie przyjmowali, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest równy

4343,1604

Średniowieczni Chińczycy uważali, że jest on równy 2273,1428
Przez wieki podawano coraz lepsze przybliżenie liczby π.
XVI w. matematyk holenderski Ludolph van Ceulen [Ludolf fan keule] podał jej wartość z dokładnością do 35 miejsc po przecinku:
3,14159265358979323846264338327950288 
Na cześć tego matematyka liczba pi zwana jest też ludolfiną.
XVIII w. udowodniono, że liczba π nie jest liczbą wymierną. Nie da się jej zatem zapisać w postaci ułamka dziesiętnego skończonego, ani w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego.
Obecnie znamy przybliżenie liczby π z dokładnością do kilku bilionów miejsc po przecinku.

Rektyfikacja koła

1
Ciekawostka

Rektyfikacja lub wyprostowanie okręgu polega na skonstruowaniu odcinka, którego długość jest równa obwodowi danego okręgu.
Jedną z przybliżonych konstrukcji wyprostowania okręgu podał w 1685 r. Adam Kochański, nadworny matematyk króla Jana III Sobieskiego.

R15pnTQ7OAwdj
Nazwa apletu: Rektyfikacja Adama Kochańskiego. Aplet w pierwszym etapie po prawej stronie przedstawia fragment dzieła Kochańskiego „Acta Eruditorium". Po lewej stronie jest miejsce na komentarz. Jego treść jest następująca: Rektyfikacja okręgu polega na skonstruowaniu odcinka, którego długość jest równa długości danego okręgu. Nie da się wykonać dokładnej rektyfikacji okręgu za pomocą cyrkla i linijki. Przybliżoną konstrukcję rektyfikacji okręgu wykonał Polak Adam Kochański w 1685 roku. Do następnego etapu można przejść naciskając przycisk ze strzałką znajdującą się nad przytoczonym komentarzem. W etapie drugim komentarz brzmi: Oto kolejne kroki konstrukcji: Kreślimy okrąg o średnicy AB i styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie A. Po prawej stronie znajduje się okrąg z zaznaczoną pionową średnicą AB i środkiem okręgu S. Styczna do okręgu przechodząca przez punkt A jest poziomą prostą. W trzecim etapie treść komentarza jest następująca: Z punktu A kreślimy łuk o promieniu SA. Niech C będzie punktem przecięcia tego łuku z okręgiem. Na rysunku po prawej stronie zostaje nakreślony łuk przerywaną linią. Punkt C znajduje się na lewo od środka okręgu. W etapie czwartym komentarz brzmi: Z punktu C kreślimy łuk o takim samym promieniu. Niech D będzie punktem przecięcia tych dwóch łuków. Na rysunku po prawej stronie drugi łuk również zaznaczony jest przerywaną linią. Wyznaczony łuk przechodzi przez punkt S i A. Punkt D znajduje się pod styczną na lewo od punktu A. W piątym etapie treść komentarza jest następująca: Kreślimy odcinek SD. Niech E będzie punktem przecięcia tego odcinka i stycznej. Po prawej stronie na rysunku pojawia się odcinek SD zawarty między wyznaczonymi łukami. W szóstym etapie treść komentarz brzmi: Z punktu E kreślimy trzykrotnie w kierunku punktu A łuki o długości równej promieniowi AS okręgu. Rysunek przy tym etapie się nie zmienia. Jednak w etapie siódmym i ósmym na rysunku pojawiają się dwa wykreślone łuki bez zmiany komentarza. W etapie dziewiątym komentarza brzmi: Niech F będzie punktem przecięcia trzeciego łuku ze styczną. Wówczas na rysunku pojawia się wspomniany trzeci łuk oraz punkt F. W etapie dziesiątym treść komentarza jest następująca: Kreślimy odcinek FB. Odcinek BF ma długość, która w przybliżeniu jest równa połowie długości obwodu koła. Na rysunku po prawej stronie pojawia się odcinek BF podpisany połowa obwodu koła. W ostatnim etapie treść komentarza brzmi: Długość odcinka BB' to długość obwodu koła. Na rysunku po prawej pojawia się odcinek BB prim, który jest przedłużeniem odcinak BF. Odciek BB prim jest obwodem koła.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1

I w. p.n.e. rzymski architekt Witruwiusz zaproponował sposób pomiaru odległości drogowych, wykorzystujący poruszający się rydwan. Koło takiego rydwanu miało promień 0,6 m. Na pokonanie jednej mili rzymskiej 1400 m musiało wykonać 400 obrotów.

R1LPadzzYAO3c1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz wartość liczby π, przyjmowaną przez Witruwiusza.

Rozwiązanie:

4002πr=1400
4002π0,6=1400
π=14004802,92.
Ważne!

W obliczeniach praktycznych najczęściej przyjmuje się, że π3,14.

Przykład 2

Średnica kółka do deskorolki jest równa 50 mm. Obliczymy, ile razy obróci się to kółko na drodze długości 1 m.

Rozwiązanie:

Obliczamy długość drogi, jaką pokona kółko podczas jednego obrotu, czyli obwód kółka.

L=2rπ
L50·3,14
L157 mm.

Zamieniamy metr na milimetry.

1 m=1000 mm.

Obliczamy, ile razy obróci się kółko.

1000:157=6,369

Kółko obróci się około 6 razy.

Przykład 3

Obliczymy długość okręgu o promieniu 9 cm.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na długość okręgu, tym razem nie zastępując liczby π jej wartością przybliżoną.

L=2πr
L=2π9=18π
L=18πcm.

Długość okręgu jest równa 18πcm.

Przykład 4

Obliczymy przybliżoną długość promienia koła o obwodzie 50 cm.

Rozwiązanie:

Oznaczymy przez r przybliżoną długość (w cm) promienia koła i skorzystamy ze wzoru ma długość okręgu.

L=2πr
2πr=50
r=502π
r502·3,14
r8 cm.

Promień koła ma około 8 cm długości.

Przykład 5

Koniec dużej wskazówki zegara w ciągu godziny pokonał drogę długości 94,2cm. Obliczymy przybliżoną długość tej wskazówki.

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez x długość (w cm) dłuższej wskazówki zegara i skorzystajmy ze wzoru na obwód koła.

L=2πx
x=L2π
x94,223,14
x15cm.

Wskazówka ma około 15cm długości.

Przykład 6

Basia spakowała prezent dla swojej siostry w rulon o średnicy 12cm. Czy starczy jej 120cm wstążki na obwiązanie tego prezentu w dwóch miejscach skoro na węzeł i kokardę potrzeba 25cm?

Rozwiązanie:

Zaczniemy od obliczenia obwodu rulonu.

Wyznaczymy do tego jego promień, czyli

r=12 cm:2=6 cm.

Zatem obwód rulonu jest równy

L=2πr=2·6 cm·3,1437,68 cm.

Na jedno obwiązanie potrzeba 37,68 cm+25 cm=62,68 cm, zatem na dwa 62,68 cm·2=125,36 cm.

Oznacza to, że Basi nie starczy wstążki na obwiązanie prezentu w dwóch miejscach.

Przykład 7

Sprawdzimy, czy z drutu o długości 280 cm można uformować trzy obręcze, każda o promieniu 15 cm?

Rozwiązanie:

Najpierw obliczymy obwód jednej obręczy.
L=2πr
L=2π·15=30π30·3,14=94,2.
Zatem na trzy obręcze potrzeba:
94,2·3=282,6 cm.
Oznacza to, że 280 cm drutu nie wystarczy na wykonanie trzech obręczy o promieniu 15 cm każda.

Przykład 8

Która z figur ma większy obwód: okrąg o promieniu 3 cm, czy trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm?

Rozwiązanie:

Zacznijmy od wyznaczenia obwodu okręgu, czyli

L=2πr=2·3 cm·3,1418,84 cm.

Obwód trójkąta jest równy 3·6 cm=18 cm.

Wynika stąd, że obwód okręgu jest większy od obwodu trójkąta równobocznego.

RhBTWU2tJZBVK
Ćwiczenie 1
Koło o środku w punkcie S, równa się, nawias dwa, przecinek, minus, dziewięć zamknięcie nawiasu jest styczne do pewnej prostej w punkcie A, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu. Oblicz promień koła.
Odpowiedź: Promień koła wynosi 1. pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt jeden, 2. pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt cztery, 3. pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt pięć, 4. pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt trzy, 5. pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt dwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RhbUQaLhklvbK
Ćwiczenie 2
Połącz w pary długości okręgów z odpowiadającym im promieniami. L, równa się, trzydzieści sześć PI Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, sześć, 2. r, równa się, cztery, 3. r, równa się, osiemnaście, 4. r, równa się, dziesięć, 5. r, równa się, dwadzieścia cztery L, równa się, dwadzieścia PI Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, sześć, 2. r, równa się, cztery, 3. r, równa się, osiemnaście, 4. r, równa się, dziesięć, 5. r, równa się, dwadzieścia cztery L, równa się, dwanaście PI Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, sześć, 2. r, równa się, cztery, 3. r, równa się, osiemnaście, 4. r, równa się, dziesięć, 5. r, równa się, dwadzieścia cztery L, równa się, czterdzieści osiem PI Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, sześć, 2. r, równa się, cztery, 3. r, równa się, osiemnaście, 4. r, równa się, dziesięć, 5. r, równa się, dwadzieścia cztery L, równa się, osiem PI Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, sześć, 2. r, równa się, cztery, 3. r, równa się, osiemnaście, 4. r, równa się, dziesięć, 5. r, równa się, dwadzieścia cztery
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rkgewjas4qRb2
Ćwiczenie 3
Uzupełnij tabelkę. Przeciągnij w luki odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1a0BDsMILamU
Ćwiczenie 3
Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłowe liczby. Jeżeli promień okręgu wynosi osiem, to średnica okręgu wynosi 1. dwadzieścia cztery, 2. dwadzieścia dwa, 3. szesnaście, 4. dwanaście, 5. dziesięć, 6. szesnaście PI, 7. dwadzieścia PI, 8. dwadzieścia dwa PI, a obwód okręgu wynosi 1. dwadzieścia cztery, 2. dwadzieścia dwa, 3. szesnaście, 4. dwanaście, 5. dziesięć, 6. szesnaście PI, 7. dwadzieścia PI, 8. dwadzieścia dwa PI.Jeżeli średnica okręgu wynosi dwadzieścia, to promień okręgu wynosi 1. dwadzieścia cztery, 2. dwadzieścia dwa, 3. szesnaście, 4. dwanaście, 5. dziesięć, 6. szesnaście PI, 7. dwadzieścia PI, 8. dwadzieścia dwa PI, a obwód okręgu wynosi 1. dwadzieścia cztery, 2. dwadzieścia dwa, 3. szesnaście, 4. dwanaście, 5. dziesięć, 6. szesnaście PI, 7. dwadzieścia PI, 8. dwadzieścia dwa PI.Jeżeli obwód okręgu wynosi dwadzieścia cztery PI, to promień okręgu wynosi 1. dwadzieścia cztery, 2. dwadzieścia dwa, 3. szesnaście, 4. dwanaście, 5. dziesięć, 6. szesnaście PI, 7. dwadzieścia PI, 8. dwadzieścia dwa PI, a średnica okręgu wynosi 1. dwadzieścia cztery, 2. dwadzieścia dwa, 3. szesnaście, 4. dwanaście, 5. dziesięć, 6. szesnaście PI, 7. dwadzieścia PI, 8. dwadzieścia dwa PI.Jeżeli promień okręgu wynosi jedenaście, to średnica okręgu wynosi 1. dwadzieścia cztery, 2. dwadzieścia dwa, 3. szesnaście, 4. dwanaście, 5. dziesięć, 6. szesnaście PI, 7. dwadzieścia PI, 8. dwadzieścia dwa PI, a obwód okręgu wynosi 1. dwadzieścia cztery, 2. dwadzieścia dwa, 3. szesnaście, 4. dwanaście, 5. dziesięć, 6. szesnaście PI, 7. dwadzieścia PI, 8. dwadzieścia dwa PI.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13z2DUlHAmSA
Ćwiczenie 4
Łańcuch wykonany jest z czterdzieści pięć ogniw. Każde z nich jest w kształcie okręgu o  średnicy pięć cm. Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Łańcuch ma długość około dwa przecinek dwa pięć m., 2. Łańcuch jest krótszy niż dwa m., 3. Gdyby łańcuch składał się z pięćdziesiąt ogniw to miałby długość trzy m., 4. Gdyby średnica jednego ogniwa zwiększyła się dwukrotnie to długość łańcucha zwiększyłaby się czterokrotnie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1OZDr3QjFQAY
Ćwiczenie 5
Obwód obręczy kosza do gry w  koszykówkę wynosi około sto czterdzieści jeden przecinek trzy cm. Oblicz długość średnicy tego kosza.
Odpowiedź: Średnica kosza wynosi około Tu uzupełnijcm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ZCBOq4nBzpC
Ćwiczenie 6
Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Jeśli dwa okręgi mają równe promienie, to są przystające., 2. Jeśli dwa okręgi mają równe obwody, to są współśrodkowe., 3. Długość okręgu wyraża się zawsze liczbą wymierną., 4. Dla każdego okręgu stosunek jego obwodu do średnicy jest stały.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cT2JSUodPbu
Ćwiczenie 7
Dokończ zdania tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Promień koła o obwodzie szesnaście PI wynosi Tu uzupełnij.Średnica koła o obwodzie PI wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R16VdSwhsU4Cl
Ćwiczenie 8
Wyścig polega na wykonaniu dziesięciu okrążeń wokół toru w kształcie okręgu o promieniu jeden przecinek dwa km. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Samochód po przejechaniu dziesięciu okrążeń pokonuje trasę długości około siedem przecinek pięć km., 2. Samochód po przejechaniu dziesięciu okrążeń pokonuje trasę długości około trzy przecinek osiem km., 3. Samochód po przejechaniu dziesięciu okrążeń pokonuje trasę długości około siedem przecinek dziewięć km., 4. Samochód po przejechaniu dziesięciu okrążeń pokonuje trasę długości około siedemdziesiąt przecinek pięć km.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RZEfQuv9gUK
Ćwiczenie 9
Koło oraz romb o przekątnych długości osiem cm i sześć cm mają taki sam obwód. Promień koła wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, cm, 2. początek ułamka, dwadzieścia, mianownik, PI, koniec ułamka, cm, 3. początek ułamka, dziesięć, mianownik, PI, koniec ułamka, cm, 4. początek ułamka, PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IPLcXXboMfh
Ćwiczenie 10
Punkt P, równa się, nawias, minus, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu leży na okręgu o środku w punkcie S, równa się, nawias, zero przecinek pięć, zamknięcie nawiasu. Promień tego okręgu. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. jest mniejszy od pierwiastek kwadratowy z pięć, 2. jest równy pierwiastek kwadratowy z pięć, 3. większy od pierwiastek kwadratowy z pięć
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RdV2nk7rjU0sY
Ćwiczenie 11
Trzy dyplomy zwinięte w rulony, każdy o średnicy sześć cm każdy, należy obwiązać wstążką. Jaka długa powinna być wstążka, jeśli na jeden węzeł i  jedną kokardkę potrzeba dwadzieścia cm? Wynik zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku.
Odpowiedź: Wstążka powinna mieć długość okołó 1. sto czternaście przecinek pięć jeden, 2. sto szesnaście przecinek pięć jeden, 3. sto piętnaście przecinek pięć dwa, 4. sto szesnaście przecinek pięć dwa, 5. sto piętnaście przecinek pięć dwa, 6. sto czternaście przecinek pięć trzycm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RkRq2xtGYE9JQ
Ćwiczenie 12
Odpowiedź wpisz w puste pola.
Oblicz, ile razy obwód koła o promieniu osiem jest większy od: długości okręgu o średnicy cztery
Odpowiedź: Obwód jest większy Tu uzupełnij razy. długości okręgu o promieniu jeden
Odpowiedź: Obwód jest większy Tu uzupełnij razy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1deoqyNlpmdD
Ćwiczenie 13
Ile razy zwiększy się długość okręgu, jeśli jego promień zwiększymy dwa razy? Wynik w lukę wpisz słownie.
Odpowiedź: Długość okręgu zwiększy się Tu uzupełnij razy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1JTOjZFWPcbq
Ćwiczenie 14
Jak zmieni się długość okręgu, jeśli jego średnicę zmniejszymy o dwa? Możliwe odpowiedzi: 1. Zmniejszy się o dwa PI, 2. Zwiększy się o dwa PI, 3. Zmniejszy się o trzy PI, 4. Zwiększy się o trzy PI, 5. Zmniejszy się o cztery PI, 6. Zwiększy się o cztery PI
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1LU9FNFsJIfi
Ćwiczenie 15
Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.. Wykorzystując cały drut o długości siedemdziesiąt dwa cm można wykonać obręcz o promieniu długości około jedenaście przecinek pięć cm.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Wykorzystując cały drut o długości sto dwanaście cm można wykonać obręcz o promieniu długości około dwanaście przecinek osiem cm.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Z drutu o długości pięćdziesiąt sześć cm można wykonać dwie obręcze o promieniu długości dziewięć cm.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RIhEYyRVM8H2b
Ćwiczenie 16
Ustaw obwody figur od najmniejszego do największego. Elementy do uszeregowania: 1. Romb o przekątnych długości sześć cm i osiem cm., 2. Okrąg o promieniu sześć cm., 3. Trójkąt równoboczny o boku równym pięć cm., 4. Prostokąt o bokach długości dziesięć cm oraz dwanaście cm., 5. Kwadrat o boku równym cztery cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8rGM5WozBKyU
Ćwiczenie 17
Jubiler stworzył obrączkę o promieniu siedem mm. Przyszła panna młoda ma palec obwodzie pięć cm. Zaznacz wszystkie prawdzie zdania. Możliwe odpowiedzi: 1. Obwód obrączki jest większy od cztery przecinek pięć cm., 2. Pierścionek zmieści się na palec przyszłej panny młodej., 3. Pierścionek będzie za mały dla przyszłej panny młodej., 4. Promień obwodu palca panny młodej wynosi około osiem mm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 18

Oblicz obwód zacieniowanej figury przedstawionej na rysunku.

R3ieraHg6KNeZ
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ZyefJFlTgPi
Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby. Obwód figury=1. cztery, 2. pięć, 3. trzy, 4. dwa, 5. sześć, 6. osiem, 7. siedem+1. cztery, 2. pięć, 3. trzy, 4. dwa, 5. sześć, 6. osiem, 7. siedemPI.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R9ZNHttiO1YsU
Ćwiczenie 18
Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w luki, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.
  1. Suma obwodu kwadratu o boku długości trzy i obwodu połowy okręgu o promieniu długości dwa wynosi 1. dwanaście, 2. cztery, 3. szesnaście, 4. siedem, 5. pięć, 6. osiemnaście, 7. dwa, 8. dwadzieścia plus1. dwanaście, 2. cztery, 3. szesnaście, 4. siedem, 5. pięć, 6. osiemnaście, 7. dwa, 8. dwadzieściaPI.
  2. Różnica obwodu trójkąta równobocznego o boku długości sześć i obwodu czwartej części okręgu o średnicy długości dwadzieścia osiem wynosi 1. dwanaście, 2. cztery, 3. szesnaście, 4. siedem, 5. pięć, 6. osiemnaście, 7. dwa, 8. dwadzieścia minus1. dwanaście, 2. cztery, 3. szesnaście, 4. siedem, 5. pięć, 6. osiemnaście, 7. dwa, 8. dwadzieściaPI.
  3. Suma obwodu prostokąta o bokach długości cztery i sześć oraz obwodu trzeciej części okręgu o promieniu długości sześć wynosi 1. dwanaście, 2. cztery, 3. szesnaście, 4. siedem, 5. pięć, 6. osiemnaście, 7. dwa, 8. dwadzieścia plus1. dwanaście, 2. cztery, 3. szesnaście, 4. siedem, 5. pięć, 6. osiemnaście, 7. dwa, 8. dwadzieściaPI.
  4. Różnica obwodu rombu o boku długości cztery i obwodu połowy okręgu o średnicy długości dziesięć wynosi 1. dwanaście, 2. cztery, 3. szesnaście, 4. siedem, 5. pięć, 6. osiemnaście, 7. dwa, 8. dwadzieścia minus1. dwanaście, 2. cztery, 3. szesnaście, 4. siedem, 5. pięć, 6. osiemnaście, 7. dwa, 8. dwadzieściaPI.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 19

Oblicz łączną długość narysowanych linii. Przyjmij długość jednej kratki jako odcinek jednostkowy.

Rt82FACZVVnD6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMIBjUnyh4YdG
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. L, równa się, siedem nawias, PI, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. L, równa się, siedem PI, plus, dwanaście, 3. L, równa się, siedem PI, plus, sześć, 4. L, równa się, cztery PI, plus, dwanaście
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZi9NhbIlTN5n
Ćwiczenie 19
Zaznacz wszystkie figury, których obwód jest większy od obwodu okręgu o promieniu długości trzy przecinek dwa pięć cm. Możliwe odpowiedzi: 1. kwadrat o boku długości pięć cm, 2. trójkąt równoboczny o boku długości siedem cm, 3. połowa okręgu o średnicy długości trzynaście cm, 4. prostokąt o bokach długości trzy cm i osiem cm, 5. czwarta część okręgu o promieniu długości czternaście cm, 6. trzecia część okręgu o średnicy długości dwadzieścia jeden cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 20

Tomek zwinął mapę Polski w  rulon o średnicy 8 cm. Ile sznurka potrzebuje na związanie tego rulonu, jeżeli na kokardę potrzebuje dodatkowo 15 cm sznurka?

RAvl4QwM5Pr8M
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 21

Martyna postanowiła ogrodzić swój ogródek w kształcie ćwiartki koła o promieniu 63 m. Siatka ogrodzeniowa pakowana jest w rolkach po 50 m. Ile paczek musi kupić Martyna, aby ogrodzić swój ogród, uwzględniając miejsce na furtkę szerokości 2 m? Przyjmij π=227.

R7wLLDQf9Y4ET
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.