Przeczytaj

W kilku przykładach pokażemy, jak można porządkować wielomianywielomianwielomiany kilku zmiennych $W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})$ .

Będziemy przestrzegać następujących zasad:

Na początek zredukujemy wyrazy podobne.
Dla każdego jednomianu ustalimy jakiego jest stopnia, wyrazy większego stopnia umieścimy wcześniej, niż wyrazy mniejszego stopnia.
Jeśli dwa wyrazy będą tego samego stopnia, to wcześniej zapiszemy ten, w którym wykładnik przy pierwszej niewiadomej (czyli w naszym przypadku $x_{1}$ ) będze większy.
Jeśli wykładniki przy pierwszej niewiadomej będą takie same, analogicznie porównamy wykładniki przy drugiej niewiadomej itd.

Przykład 1

Uporządkuj wielomian dwóch zmiennych

$W (x, y) = {(x y^{2})}^{2} x + {(x y^{2})}^{2} y + x y^{2} y + x^{2} y x^{4} + {(x y)}^{2} - 6 x y y x +$ $+ {(x y)}^{3} y - 6 y^{3} {(x y)}^{2} + 5 x y x^{5} - 12 x y \cdot y^{2}$ .

Uprośćmy wyrazy wielomianu:

Rprp2ZsdjySKq

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DT6tpnj2B

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący porządkowania wielomianów.

Przykład 2

Uporządkuj wielomian trzech zmiennych $P (a, b, c) = {(a + b^{2})}^{3} + {(b + c^{2})}^{3} + {(c + a^{2})}^{3}$ .

Przekształćmy najpierw wyrażenie ${(a + b^{2})}^{3}$ używając wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy: ${(a + b^{2})}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b^{2} + 3 a b^{4} + b^{6}$ .
Uzyskaliśmy sumę czterech jednomianów kolejno trzeciego, czwartego, piątego i szóstego stopnia.
Zauważmy, że sześcian ${(b + c^{2})}^{3}$ możemy rozpisać analogicznie zastępując w poprzednim przykładzie $a$ przez $b$ oraz $b$ przez $c$ .
Analogicznie możemy postąpić z sześcianem ${(c + a^{2})}^{3}$ .
Podsumowując:
$P (a, b, c) = a^{6} + b^{6} + c^{6} + 3 a^{4} c + 3 a b^{4} + 3 b c^{4} +$ $+ 3 a^{2} b^{2} + 3 a^{2} c^{2} + 3 b^{2} c^{2} + a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Porządkowanie wielomianu kilku zmiennych z uwzględnieniem cykliczności

W przypadku wielomianuwielomianwielomianu z ostatniego przykładu sensowniejszy może być np. zapis w kolejności
$P (a, b, c) = a^{6} + b^{6} + c^{6} + 3 a b^{4} + 3 b c^{4} + 3 c a^{4} +$ $+ 3 a^{2} b^{2} + 3 b^{2} c^{2} + 3 c^{2} a^{2} + a^{3} + b^{3} + c^{3}$
który uwzględnia pewien rodzaj cykliczności wyrazów wielomianu.

Ciekawostka

Wielomian $W (x, y, z)$ nazywa się wielomianem symetrycznym, gdy po dowolnym przestawieniu kolejności zmiennych będzie go można uporządkować do tej samej postaci. Analogicznie można to pojęcie określić dla innej liczby zmiennych.

Przykład 3

Dany jest wielomian $W (a, b) = a^{3} b + a b^{3}$ . Zauważmy, że $W (b, a) = b^{3} a + b a^{3}$ , co można uporządkować do tej samej postaci jak wielomian $W (a, b)$ .

Wielomian $W (a, b)$ jest zatem wielomianem symetrycznym.

Przykład 4

Czy wielomian $W (a, b, c) = a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a$ jest wielomianem symetrycznym?

Łatwo można zauważyć, że $W (a, b, c) = W (b, c, a) = W (c, a, b)$ .
Sprawdźmy $W (a, c, b) = a^{2} c + c^{2} b + b^{2} a$ .
Zauważmy, że wielomianów $W (a, b, c)$ i $W (a, c, b)$ nie da się uporządkować do tej samej postaci (np. składnik $a^{2} c$ występuje tylko w drugim z nich).
Zatem podany wielomian nie jest wielomianem symetrycznym.

Przykład 5

R1HjKsq8tsVHE

Porządkowanie wielomianu jednej zmiennej

W przypadku wielomianu jednej zmiennej porządkujemy go zwykle w kolejności malejących stopni jednomianów - czyli doprowadzamy do znanej z definicji wielomianu postaci $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ .

Przykład 6

Uporządkujmy wielomian $W (x) = - 3 x + 11 x^{7} - 5 x^{2} - 7 x^{3} - 2 x^{7} - 9$

R1RMSQTGawVOG

Przykład 7

W podobny sposób uporządkujmy wielomian $W (x) = 7 x \sqrt{3} - 12 x^{3} + x \sqrt{5} + 4 x^{2} \sqrt{2} - 9 x - x^{2} \sqrt{11} + 4 - 8 \sqrt{2} x^{3}$ .

R4RCxNzCHaHJ6

Słownik

wielomian

wyrażenie, które jest sumą jednomianów (w szczególności może to być jeden jednomian); wielomian można zapisać w postaci:

$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

liczby $a_{n}$ , $a_{n - 1}$ , $a_{n - 2}$ , $\dots$ , $a_{2}$ , $a_{1}$ , $a_{0}$ to współczynniki wielomianu ( $a_{n} \neq 0$ )

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Porządkowanie wielomianu kilku zmiennych z uwzględnieniem cykliczności

Porządkowanie wielomianu jednej zmiennej

Słownik