Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
Zapamiętaj!
Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb nazywamy układem oznaczonym.
Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb, nazywamy układem nieoznaczonym.
Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.
ijOjqrBdbU_d5e409
A
Ćwiczenie 1
RG5MkpdRKa9K01
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Połącz w pary układy równań z ich rozwiązaniami.
<span aria-label="nawias, minus, jeden przecinek zero zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias dwa przecinek trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, pięć, przecinek, minus, cztery zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>,</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, trzy, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias trzy przecinek trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2
Parą liczb spełniającą układ równań jest
RPUTFzSmk40AU
static
Ćwiczenie 2
Parą liczb spełniającą układ równań jest
R1Sp9Wt79B5Oq
classicmobile
Ćwiczenie 3
Parą liczb spełniającą układ równań jest
R1MLpS4M8KHzp
static
Ćwiczenie 3
Parą liczb spełniającą układ równań jest
RUmFKh5D7Q00I
classicmobile
Ćwiczenie 4
Sprawdź, czy podana para liczb jest rozwiązaniem danego układu równań.
RJamr8DiFp1Pf
static
Ćwiczenie 4
Sprawdź, czy podana para liczb jest rozwiązaniem danego układu równań.
R1P5SbQxWuguF
classicmobile
Ćwiczenie 5
Sprawdź, które układy równań spełnia para liczb .
R1bOBp2bwabls
static
Ćwiczenie 5
Sprawdź, które układy równań spełnia para liczb .
Rx6X4ZGHQ4O8Y
B
Ćwiczenie 6
Zapisz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest podana para liczb
nieskończenie wiele rozwiązań
ijOjqrBdbU_d5e651
A
Ćwiczenie 7
R1cDUJdd37hq31
Zadanie interaktywne
Zadanie interaktywne
Przeciagnij i upuść układy równań z dolnej sekcji do górnej.
<span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, dwa x, plus, dwa y, równa się, siedem, element, jeden dwa, dwa x, minus, dwa y, równa się, siedem" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>7</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>7</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>, <span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, trzy x, plus, y, równa się, jeden, element, jeden dwa, sześć x, plus, dwa y, równa się, dwa" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>, <span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, x, plus, y, równa się, cztery, element, jeden dwa, dwa x, plus, dwa y, równa się, osiem" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>8</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>, <span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, trzy x, plus, pięć y, równa się, dziesięć, element, jeden dwa, minus, trzy x, minus, pięć y, równa się, minus, dziesięć" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>10</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>10</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>, <span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, x, plus, y, równa się, jeden, element, jeden dwa, x, plus, y, równa się, zero" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>, <span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, dwa x, plus, y, równa się, jeden, element, jeden dwa, x, minus, y, równa się, zero" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>, <span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, x, plus, y, równa się, zero, element, jeden dwa, x, minus, y, równa się, zero" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>, <span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, x, plus, y, równa się, cztery, element, jeden dwa, dwa x, plus, dwa y, równa się, dziewięć" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>9</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>, <span aria-label="nawias klamrowy macierz, element, jeden jeden, dwa x, plus, dwa y, równa się, siedem, element, jeden dwa, dwa x, plus, dwa y, równa się, minus, siedem" role="math"><math><mrow><mo rspace="0.3em" lspace="0em" stretchy="true" fence="true" form="prefix">{</mo><mtable class="m-cases" columnalign="left"><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>7</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>7</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></math></span>
brak rozwiązań
jedno rozwiązanie
nieskończenie wiele rozwiązań
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 8
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
RRH1SLqNUqbiW
Układ równań jest układem oznaczonym.
Układ równań jest układem nieoznaczonym.
Układ równań jest układem oznaczonym
Układ równań jest układem nieoznaczonym.
Układ równań jest układem oznaczonym.
Układ równań jest układem sprzecznym.
static
Ćwiczenie 8
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
RcIZxtXCoeb9L
Układ równań jest układem oznaczonym.
Układ równań jest układem nieoznaczonym.
Układ równań jest układem oznaczonym
Układ równań jest układem nieoznaczonym.
Układ równań jest układem oznaczonym.
Układ równań jest układem sprzecznym.
classicmobile
Ćwiczenie 9
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
RnMO5nKDJYoSy
Układ równań jest układem sprzecznym.
Układ równań jest układem sprzecznym.
Układ równań jest układem sprzecznym.
Układ równań jest układem oznaczonym.
Układ równań jest układem nieoznaczonym.
Układ równań jest układem nieoznaczonym.
static
Ćwiczenie 9
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
R6jclPpE5DXvq
Układ równań jest układem sprzecznym.
Układ równań jest układem sprzecznym.
Układ równań jest układem sprzecznym.
Układ równań jest układem oznaczonym.
Układ równań jest układem nieoznaczonym.
Układ równań jest układem nieoznaczonym.
classicmobile
Ćwiczenie 10
Które z podanych układów równań są sprzeczne?
R1Va4sAuwZvtg
static
Ćwiczenie 10
Które z podanych układów równań są sprzeczne?
RcAOtiZNliIF4
classicmobile
Ćwiczenie 11
Które z podanych układów równań są sprzeczne?
RA3QUaLC9h237
static
Ćwiczenie 11
Które z podanych układów równań są sprzeczne?
RNZhHbFM3mSaP
classicmobile
Ćwiczenie 12
Które z podanych układów równań są nieoznaczone?
R79Obq6bBctBO
static
Ćwiczenie 12
Które z podanych układów równań są nieoznaczone?
RL4e0CFXmR4Ya
classicmobile
Ćwiczenie 13
Które z podanych układów równań są nieoznaczone?
RNCFDgpI0gItA
,
static
Ćwiczenie 13
Które z podanych układów równań są nieoznaczone?
R1IEBzZ0KEULa
,
classicmobile
Ćwiczenie 14
Które z podanych układów równań są oznaczone?
Rs1vYTcnMqHUH
static
Ćwiczenie 14
Które z podanych układów równań są oznaczone?
R18Bsev0iO2TQ
classicmobile
Ćwiczenie 15
Które z podanych układów równań są oznaczone?
R8GeGrO59djwS
static
Ćwiczenie 15
Które z podanych układów równań są oznaczone?
RhgUNTN6xkSVs
ijOjqrBdbU_d5e1197
classicmobile
Ćwiczenie 16
Układ równań jest
R1M8cZUmfClep
oznaczony
nieoznaczony
sprzeczny
static
Ćwiczenie 16
Układ równań jest
R1Hv0jwoqa1pV
oznaczony
nieoznaczony
sprzeczny
classicmobile
Ćwiczenie 17
Układ równań jest
RWcd3gTq74ePr
nieoznaczony
oznaczony
sprzeczny
static
Ćwiczenie 17
Układ równań jest
R1f25nXwJP5J0
nieoznaczony
oznaczony
sprzeczny
classicmobile
Ćwiczenie 18
Układ równań jest
R1SpQg0T82SJT
sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony
static
Ćwiczenie 18
Układ równań jest
R1MM6nt4uJ4fe
sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony
B
Ćwiczenie 19
Jaki jednomian należy wpisać w miejsce kropek, aby otrzymany układ równań był sprzeczny?
różny od
B
Ćwiczenie 20
Jaki jednomian należy wpisać w miejsce kropek, aby otrzymany układ równań był nieoznaczony?
B
Ćwiczenie 21
Z podanych równań wybierz takie, aby otrzymać układ oznaczony.
B
Ćwiczenie 22
Z podanych równań dobierz takie drugie równanie, aby otrzymany układ był sprzeczny.
C
Ćwiczenie 23
Wybierz spośród podanych równań z dwiema niewiadomymi dwa równania, tak aby otrzymany układ równań był oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny. Rozważ wszystkie możliwości.
układ nieoznaczony: , ,
układ oznaczony: , , , ,
układ sprzeczny:
C
Ćwiczenie 24
Zapisz wyrażenie algebraiczne, które należy wpisać w miejsce kropek, aby układ równań