Dwie półproste o wspólnym początku rozcinają płaszczyznę na dwie części. Każdą z tych części, wraz z tymi półprostymi nazywamy kątem.
Wierzchołkiem kąta nazywamy wspólny początek obu półprostych, a każdą z  półprostych nazywamy ramieniem kąta.

• Kąt, którego miara jest mniejsza od $90°$, ale większa od $0°$, nazywamy kątem ostrym.

• Kąt, którego miara jest równa $90°$, nazywamy kątem prostym.

• Kąt, którego miara jest większa od $90°$, ale mniejsza od $180°$, nazywamy kątem rozwartym.

  RMy9sLyDS4AHh1

  Rysunek trzech kątów: kąta ostrego, kąta prostego i kąta rozwartego.

  

• Kąty, których miara jest mniejsza od $180°$ lub równa $180°$ nazywamy kątami wypukłymi.

• Kąty, których miara jest większa od $180°$, ale mniejsza od $360°$, to kąty wklęsłe.

  RHzS3D7shCIkp1

  Rysunki kąta wypukłego C A B i kąta wklęsłego B A C. Zaznaczono wierzchołki w punkcie A i ramiona kątów. Kąty oznaczone odpowiednimi łukami.

  

• Kąty przyległe to dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

• Kąty wierzchołkowe to dwa kąty wypukłe, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

  R17EFmv3QSulO1

  Rysunek dwóch prostych przecinających się. Między prostymi zaznaczone dwie pary kątów wierzchołkowych: alfa i beta oraz delta i gamma.

  

  Na przykład $\alpha$ i $\gamma$ na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to $\alpha$ i $\beta$ oraz $\gamma$ i $\delta .$

Suma miar kątów przyległych jest równa $180°$.

REatVqTUWir8c1

Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P, zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty zawsze mają taką samą miarę.

Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona para kątów wierzchołkowych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie punktu P, zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty zawsze mają taką samą miarę.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DUMe8Id18

Dowód
Wprost z twierdzenia o sumie miar kątów przyległych wynika, że

oraz

Stąd $\alpha =\beta$. Wynika stąd, że kąty wierzchołkowe są równe.

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

Obliczmy miary kątów $\alpha ,\mathrm{ \beta }$ i $\gamma$ zaznaczonych na rysunku.

R1bbfpjuzD3BJ1

Rysunek dwóch prostych przecinających się. Między prostymi zaznaczone pary kątów wierzchołkowych: beta i 47 stopni oraz alfa i gamma.

Kąty o miarach $47°$ i $\beta$ to kąty wierzchołkowe, więc $\beta =47°.$ Każdy z kątów $\alpha$ i $\gamma$jest przyległy do kąta o mierze $47°.$ Zatem

Wyznaczymy miary kątów równoległoboku $\mathrm{ABCD}.$

R1XeOPhhdiQO91

Rysunek równoległoboku A B C D. W wierzchołku A, przedłużając boki równoległoboku, zaznaczono kąt E A F o mierze 60 stopni. Kąt E A F jest kątem wierzchołkowym do kąta D A B równoległoboku.

Kąty $\mathrm{EAF}$ i $\mathrm{DAB}$ to kąty wierzchołkowe, mają więc równe miary.

Suma kątów równoległoboku leżących przy jednym boku jest równa 180.
Kąty $\mathrm{DAB}$ i  $\mathrm{ABC}$ leżą przy jednym boku.

W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary.
Kąt $\mathrm{BCD}$ leży naprzeciw kąta $\mathrm{DAB}$ , kąty te mają więc równe miary.

Podobnie kąt $\mathrm{ADC}$ leży naprzeciw kąta $\mathrm{ABC}$, kąty te mają równe miary.

Odpowiedź: Miary kątów równoległoboku są równe: $60°,60°, 120°, 120°.$

Porównywanie kątów.