Dwusieczne kąta

Dwusieczna kąta
Definicja: Dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek kąta i która dzieli dany kąt na dwa równe kąty.

RkDv5L6N3Pziq1
Kliknij, aby uruchomić podglądRysunek kąta podzielonego półprostą na dwie równe części, na dwa kąty alfa.
o punktach leżących na dwusiecznej kąta
Twierdzenie: o punktach leżących na dwusiecznej kąta

Jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta, to jego odległości od obu ramion kąta są równe.

R1VELa5FH3lLe1
Kliknij, aby uruchomić podglądRysunek kąta podzielonego półprostą na dwie równe części, na dwa kąty alfa. Odległość półprostej od obu ramion jest taka sama i wynosi x.
Dowód
R1Kq7BEakpUb81
Animacja prezentuje dowód, że jeżeli punkt leży na dwusiecznej kąta to jego odległości od obu ramion kąta są równe. Dany jest kąt 2 alfa o wierzchołku A. Prowadzimy dwusieczną kąta, na której wybieramy dowolny punkt D. Tworzymy odcinki BD i CD prostopadłe do ramion kąta 2 alfa. Długości tych odcinków są odległościami punktu D od ramion kąta. Zauważamy, że powstały dwa trójkąty prostokątne A B D i A C D, które mają wspólny bok AD i takie same kąty przy wierzchołkach A i D. Zatem na mocy cechy kąt‑bok‑kąt trójkąty są przystające, z czego wynika, że boki BD i CD obu trójkątów, czyli odległości punktu położonego na dwusiecznej kąta od jego ramion są równe.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DUrHJoqXs

Uwaga!

Dla kątów, których miara jest mniejsza od 180° prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne. Jeżeli punkt należący do kąta jest równoodległy od jego ramion, to leży na dwusiecznej tego kąta.

o dwusiecznych kątów trójkąta
Twierdzenie: o dwusiecznych kątów trójkąta

Dwusieczne każdego z kątów w trójkącie przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

RmHLgU2tM0aZa1
Kliknij, aby uruchomić podglądRysunek trójkąta A B C, którego dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie S. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Odcinki łączące środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC z wierzchołkami tego trójkąta podzieliły trójkąt na trzy trójkąty ABS, BCS i ACS.
Wysokość każdego z tych trójkątów jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt ABC (jak na rysunku).

RTFTlSi6QYHce1
Kliknij, aby uruchomić podglądRysunek trójkąta A B C o bokach długości a, b i c. Dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie S. Punkt ten jest środkiem okręgu, o promieniu r wpisanego w ten trójkąt.

Pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów BCS, ACS i ABS

PABC=PBCS+PACS+PABS=12ar+12br+12cr=a+b+c2∙r.

Wyprowadziliśmy w ten sposób wzór na pole trójkąta, w którym występują długości jego boków oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

 Pole trójkąta
Twierdzenie:  Pole trójkąta

Pole trójkąta o bokach długości a, b, c oraz promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt wyraża się wzorem

P=a+b+c2 r.

Gdy oznaczymy a+b+c2=p, wzór przyjmuje postać P=pr.

Twierdzenie Pitagorasa
Symetralna odcinka. Symetralne boków trójkąta