4. Kąt wpisany i środkowy - M_R_W11_M1 Proste, koła i okręgi

RJnAXEMjLRzAW

4. Kąty wpisane i środkowe

Ze względu na fakt, że gwiazdy, planety i inne obiekty astronomiczne znajdują się na sferze, to odległości pomiędzy nimi wygodnie opisywać za pomocą kątów. Odległość kątowa $θ$ pomiędzy dwoma obiektami to kąt, którego ramionami są promienie „wychodzące z oka obserwatora” i przechodzące przez te obiekty. Miarą takiej odległości są stopnie i jego części: minuty i sekundy. Odległość kątowa służy nie tylko do mierzenia odległości między obiektami, ale także do charakteryzowania pojedynczego obiektu – w szczególności rozmiar kątowy Księżyca wynosi od $33^{'} 28^{''}$ (gdy ten znajduje się najbliżej Ziemi) do $29^{'} 55^{''}$ (gdy jego odległość od Ziemi jest największa).

R13Cy2UYGoo7L

Grafika przedstawia prostokątny fragment nieba, a pod nim oko, w którego stronę skierowany jest wierzchołek trójkąta podzielonego na pół linią przerywaną. Linia ta wychodzi z wierzchołka znajdującego się tuż nad okiem i opisana jest jako d. Przy tym wierzchołku oznaczono w trójkącie kąt teta. — Rozmiar kątowy
Źródło: FelixMittermeier, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Z pewnością kulisty obiekt można obserwować z różnych punktów przestrzeni i widzieć go pod tym samym kątem. Okazuje się, że także obiekty o charakterze liniowym można widzieć pod tym samym kątem, patrząc na nie z różnych stron.

Twoje cele

Poznasz pojęcie kąta wpisanego w koło.
Poznasz pojęcie kąta środkowego w kole i w okręgu.
Będziesz wyznaczać kąty wpisane i środkowe w okręgu oparte na łuku i rozpięte na cięciwie.
Poznasz twierdzenie o mierze kąta wpisanego opartego na półokręgu.
Poznasz zależności, między miarą kąta środkowego i długością cięciwy, na której ten łuk jest rozpięty.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Kąt wpisany

Kąt wpisany w koło

Definicja: Kąt wpisany w koło

Kątem wpisanym w koło nazywamy kąt wypukły, którego ramionami są proste zawierające cięciwy tego koła, a wierzchołek należy do brzegu koła.

Ra8FDCxr8Cm1k

Rysunek przedstawia koło, w którym wykreślono dwie cięciwy: CA oraz CB i przedłużono je poza pole koła linią przerywaną. Cięciwy tworzą dwa kąty: pierwszy z nich jest zaznaczony tylko w polu koła między cięciwami - to kąt wypukły α oraz kąt wklęsły ograniczony cięciwami zaznaczony w polu koła i poza nim. Kąt ten dopełnia kąt α do trzystu sześćdziesięciu stopni. Kąt wklęsły opisano jako β. — Kąt wpisany

Na powyższym rysunku, dwie półproste: $C A$ i $C B$ , zaznaczone liniami przerywanymi, są ramionami dwóch kątów o wierzchołku w punkcie $C$ : kąta wypukłego $α$ oraz kąta wklęsłego $β$ . Tylko kąt $α$ jest kątem wpisanym w kołokołokoło, bo zgodnie z definicją musi to być kąt wypukły.

Ilustrując zagadnienie kątów wpisanych, będziemy zwykle zaznaczać jedynie cięciwy danego koła, zawarte w odpowiednich półprostych tak, jak na poniższym rysunku.

R1FGqwCc3BV1G

Rysunek przedstawia koło, w którym wykreślono trzy cięciwy CA, CB oraz AB, które tworzą trójkąt ABC. Przy wierzchołku C zaznaczono kąt α.

W praktyce szkolnej spotykamy się z zamiennym stosowaniem pojęć: kąt wpisany w koło i kąt wpisany w okrąg, dlatego przyjmujemy również kolejną definicję.

Kąt wpisany w okrąg

Definicja: Kąt wpisany w okrąg

Rozważmy okrąg o środku $O$ i punkty $A$ , $B$ leżące na tym okręgu. Kątem wpisanym opartym na łuku $A B$ nazywamy kąt wypukły $A C B$ , którego ramiona zawierają cięciwy okręgucięciwa okręgucięciwy okręgu $C A$ i $C B$ .

R1KikARvwilcG

Rysunek przedstawia okrąg, w którym wykreślono dwie cięciwy: CA oraz CB. Na okręgu zaznaczono łuk między punktami A i B.

Zauważmy, że każdy kąt wpisany danego okręgu w sposób jednoznaczny wyznacza łuk, na którym jest on oparty.

RX07OX3ClhE56

Rysunek przedstawia okrąg, w którym wykreślono cztery cięciwy. Są to kolejno: PC, PD, PA oraz PB. Między cięciwami PC i PD zaznaczono kąt δ oraz zaznaczono łuk między punktami C i D. Między cięciwami PA i PB zaznaczono kąt α oraz zaznaczono łuk między punktami A i B.

Z kolei istnieje nieskończenie wiele kątów wpisanych opartych na danym łuku.

RAC6wKU1j8nqO

Rysunek przedstawia okrąg, w którym wykreślono sześć cięciw opartych na tym samym łuku AB. Cięciwy te to: C3A oraz C3B wyznaczają kąt α3, cięciwy C1A oraz C1B wyznaczają kąt α1, cięciwy C2A oraz C2B wyznaczają kąt α2.

Przykład 1

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ .

Rozważmy dowolny kąt wpisany oparty na półokręgu $A B$ i poprowadźmy promień $O C$ tego okręgu.

Wówczas trójkąty $A O C$ i $B O C$ są równoramienne.

Oznaczmy: $∢ O A C = α$ oraz $∢ O B C = β$ .

R1TaiEcqhpiNb

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na rysunku zaznaczono dwie cięciwy: CA oraz CB. Pomiędzy punktem A i B zaznaczono średnicę okręgu, a także narysowano promień okręgu: jest to odcinek CO. Na ilustracji oznaczono także kilka kątów. Kąty OAC i kąt ACO są równe α. Kąty OCB i kąt CBO są równe β.

Wtedy: $∢ A O C = 180 ° - 2 α$ oraz $∢ B O C = 180 ° - 2 β$ .

Ale kąty $A O C$ i $B O C$ są kątami przyległymi, zatem $(180 ° - 2 α) + (180 ° - 2 β) = 180 °$ .

Stąd $2 α + 2 β = 180 °$ , czyli $α + β = 90 °$ .

Ale to oznacza, że każdy kąt wpisany w okrągokrągokrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym, a w konsekwencji, że przeciwprostokątna dowolnego trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.

Ważne!

Niekiedy zamiast mówić, że kąt jest oparty na łuku, będziemy mówić, że jest na tym łuku rozpięty. W przypadku kąta opartego na półokręgu, często będziemy spotykać się ze stwierdzeniem, że kąt jest rozpięty na średnicy okręgu. Rzadziej pojawia się określenie, że kąt wpisany jest rozpięty na cięciwie, której końcami są końce odpowiedniego łuku okręgułuk okręgułuku okręgu.

Rozważmy teraz dowolny okrągokrągokrąg i dwie przecinające się sieczne. Zbadamy związek między tymi siecznymi i utworzonymi przez nie kątami wpisanymi. Rozważmy najpierw przypadek, gdy sieczne przecinają się „wewnątrz” okręgu, tak, jak na poniższym rysunku.

RNb51n0G0MLAb

Rysunek przedstawia okrąg, na którym zaznaczone są następujące punkty kolejno: A, C, N, B, D, M. Na ilustracji zaznaczono trzy cięciwy: CA, CD oraz AB, przy czym cięciwy CD oraz AB przecinają się w punkcie P. Cięciwy te są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną. Wewnątrz okręgu oznaczono trzy kąty. Kąt BAC jest oznaczony jako kąt α, kąt ACD jest oznaczony jako kąt β oraz trzecim oznaczonym kątem jest kąt rozwarty APD.

O kącie między siecznymi 1

Twierdzenie: O kącie między siecznymi 1

Kąt $A P D$ , jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ , leżącym „wewnątrz” okręgu, jest równy sumie dwóch kątów wpisanych opartych na łukach, z których jeden (łuk $\hat{A M D}$ ) zawarty jest między ramionami kąta, a drugi (łuk $\hat{B N C}$ ) jest zawarty między przedłużeniami ramion tego kąta.

Dowód

Dowód tego twierdzenia jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta.

O kącie między siecznymi 2

Twierdzenie: O kącie między siecznymi 2

Kąt $A P D$ , jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ , leżącym na zewnątrz okręgu, jest równy odpowiedniej różnicy dwóch kątów wpisanych opartych na łukach zawartych między ramionami kąta.

Dowód

Popatrzmy na rysunek.

R1KwzDdCL2wjV

Rysunek przedstawia okrąg, na którym zaznaczone są następujące punkty kolejno: A, M, C, D, N, B. Na ilustracji zaznaczono trzy cięciwy: CD, DA oraz AB, przy czym cięciwy CD oraz AB są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną tak, że spotykają się w punkcie P leżącym poza okręgiem. Przy punkcie P oznaczono kąt γ pomiędzy przedłużeniem obu cięciw. Wewnątrz okręgu zaznaczono jeszcze dwa inne kąty. Kąt α, czyli kąt CDA oraz kąt β, czyli kąt DAB.

Ponieważ $|∢ A D P| = 180 ° - α$ oraz $γ = 180 ° - β - |∢ A D P|$ , więc $γ = 180 ° - β - (180 ° - α) = α - β$ .

Polecenie 1

Kąty w okręgu, w szczególności kąty wpisane, są przedmiotem zainteresowania optyki i astronomii. Zapoznaj się z przedstawionymi informacjami i dołączonymi komentarzami lektora, a następnie wykonaj polecenia.

R1ZCNknv4jTIT

Źródło: Pixabay.com, danielarealpeg, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R7x6LosViYJKO

Źródło: AlLes, Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R1GPKKUBZeZ9B

Źródło: FelixMittermeier, Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R1SLO6kwvHPg1

Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

R1YbLyzVLtvoO

Źródło: Pixabay.com, surgull01, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Polecenie 2

Przyjmując, że średnia odległość od środka Księżyca od środka Ziemi jest równa $384400 km$ , a rozmiar kątowy Księżyca jest równy $30'$ , wyznacz średnicę Księżyca.

Oznaczmy przez $d$ odległość obu ciał niebieskich, przez $r$ promień Księżyca, a przez $θ$ rozmiar kątowy Księżyca.

Wtedy
$tg \frac{θ}{2} = \frac{r}{d}$ .

Zatem
$r = d \cdot t g \frac{θ}{2} \approx 384400 \cdot 0, 0044 = 1691, 36$
Więc
$2 r \approx 3383$ (km).

Polecenie 3

Długość odcinka $B C$ jest równa $6$ , a odległość obserwatora $A$ od środka odcinka $B C$ jest równa $10$ . Wyznacz rozmiar kątowy $θ$ odcinka $B C$ dla obserwatora w punkcie $A$ i wyznacz promień łuku, który jest miejscem geometrycznym, z którego odcinek $B C$ widać pod kątem $θ$ (rysunek).

RhrSF1l09fxTb

Ilustracja przedstawia cztery punkty. Po lewo narysowano punkt A, po prawo w jednej pionowej linii punkty kolejno od góry: B, E, C. Punkt A połączony jest z każdym z tych punktów, tworząc ukośny odcinek AB, poziomy odcinek AE oraz ukośny odcinek AC. Punkty B, E, C połączone są w pionowy odcinek. Kąt oznaczono BAC jako θ. Na rysunku zaznaczono także linią przerywaną łuk BAC.

Zauważmy, że $tg \frac{θ}{2} = \frac{\frac{1}{2} |B C|}{|A E|} = \frac{3}{10}$ .

Zatem $\frac{θ}{2} \approx 16 ° 41' 57''$ , czyli $θ \approx 33 ° 23' 55''$ .

Promień $r$ łuku okręgu jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ . Możemy go obliczyć stosując twierdzenie sinusów: $r = \frac{|B C|}{2 \cdot \sin θ} \approx 5, 5$ .

Kąt środkowy

kąt środkowy w kole

Definicja: kąt środkowy w kole

Kątem środkowym w kolekołokole nazywamy każdy kąt, którego wierzchołkiem jest środek danego koła.

R8Ayq5IKbLs3p

Na rysunku przedstawione jest koło o środku w punkcie O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego β. Ramiona tego kąta poprowadzone są linią przerywaną od środka O poza jego wnętrze. Na rysunku zaznaczono również kąt dopełniający kąt β do trzystu sześćdziesięciu stopni. Jest to kąt wklęsły α. — Kąt środkowy

Na powyższym rysunku, dwie półproste, zaznaczone liniami przerywanymi, są ramionami dwóch kątów środkowych danego okręgu o środku w punkcie $O$ : kąta wypukłego $β$ oraz kąta wklęsłego $α$ . Zwykle jednak, ilustrując zagadnienie kątów środkowych, będziemy zaznaczali jedynie promienie danego koła, zawarte w odpowiednich półprostych tak, jak na poniższym rysunku.

R1UpGWwXxcfCs

Na rysunku przedstawiono koło o środku w punkcie O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego β. Ramiona tego kąta poprowadzone są linią ciągłą od środka koła do jego brzegu. Na rysunku zaznaczono również kąt dopełniający kąt β do trzystu sześćdziesięciu stopni. Jest to kąt wklęsły α. — Kąt środkowy

kąt środkowy w okręgu

Definicja: kąt środkowy w okręgu

Rozważmy okrągokrągokrąg o środku $O$ i punkty $A$ , $B$ leżące na tym okręgu. Kątem środkowym opartym na łuku $A B$ nazywamy kąt $A O B$ , którego ramiona zawierają promienie $O A$ i $O B$ i w którym zawiera się łuk $A B$ .

Punkty $A$ , $B$ wyznaczają dwa łuki okręgu, tym samym dwa różne kąty środkowe, jak na rysunkach.

R1aIG1PwVuwsS

Rysunek podzielony jest na dwie części. Po lewej przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta ostrego β. Ramiona tego kąta to promienie okręgu. Na rysunku zaznaczono końce ramion kąta jako dwa punkty leżące na okręgu: A oraz B leżące na okręgu. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono krótszy łuk AB. Po prawej przedstawiony jest identyczny okrąg o środku w punkcie O, który jest jednocześnie wierzchołkiem kąta wklęsłego α. Ramiona tego kąta to promienie okręgu. Na rysunku zaznaczono końce ramion kąta jako dwa punkty leżące na okręgu: A oraz B leżące na okręgu. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono dłuższy łuk AB. — Kąty środkowe w okręgu

Zauważmy, że dla danego łuku okręgułuk okręgułuku okręgu istnieje jednoznacznie wyznaczony kąt środkowy i odwrotnie – każdy kąt środkowy danego okręgu w sposób jednoznaczny wyznacza jego łuk. Ponadto, jeśli łuk okręgu jest mniejszy od półokręgu, to kąt środkowy, który jest oparty na tym łuku, jest kątem wypukłym; jeśli łuk jest większy od półokręgu, to kąt środkowy, który jest oparty na tym łuku, jest kątem wklęsłym.

Przykład 2

Punkty $A$ , $B$ leżące na okręgu dzielą go w stosunku $1 : 7$ . Obliczymy miary kątów środkowych opartych na łuku $A B$ .

Kąt środkowy oparty na łuku, którym jest cały okrąg, ma miarę $360 °$ . Na każdym z dwóch łuków, których końcami są punkty $A$ , $B$ , zaznaczono odpowiednio punkty $P$ oraz $Q$ . Wtedy $\overset{⏜}{A P B}$ oznacza ten z łuków o końcach $A$ , $B$ , na którym leży punkt $P$ .

R1Kmq4Jzs2KkZ

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Dwa promienie tego okręgu, to jest OA oraz OB, wyznaczają kąt ostry α. Punkty te dzielą okrąg na dwa łuki. Na rysunku wyróżniono krótszy łuk AB. Na tym łuku zaznaczono punkt P, a poza nim zaznaczono na okręgu punkt Q. Ułatwia to orientację związaną z położeniem łuku, o który nam chodzi. Teraz, mając trzy punkty odniesienia, łatwo bowiem rozróżnić, o który łuk chodzi. Mamy więc na rysunku krótszy łuk APB oraz dłuższy łuk AQB. — Przykład 1.

Jeśli podzielimy okrąg na osiem równych łuków (części), to punkty $A$ , $B$ są końcami łuku $\overset{⏜}{A P B}$ , który stanowi ósmą część okręgu oraz łuku $\overset{⏜}{A Q B}$ , który stanowi pozostałą cześć okręgu, czyli $\frac{7}{8}$ . Wtedy miara wypukłego kąta środkowego, opartego na łuku $A B$ jest równa: $\frac{1}{8} \cdot 360 ° = 45 °$ , a miara kąta wklęsłego jest równa $315 °$ .

W praktyce, zamiast mówić o kącie rozpiętym na łuku $A B$ , mówi się o kącie rozpiętym na cięciwiecięciwa okręgucięciwie $A B$ , która odpowiada danemu kątowi środkowemu, pamiętając, że to przyporządkowanie nie jest jednoznaczne. Każdemu kątowi środkowemu odpowiada jedna cięciwa, ale każdej cięciwie odpowiadają dwa kąty środkowe, które w przypadku średnicy, są sobie równe

Rax8inQbfdLap

Rysunek podzielony jest na dwie części. Po lewej przedstawiony jest okrąg o środku w punkcie O, którego dwa promienie wyznaczają kąt wklęsły α. Ramiona tego kąta to promienie OA oraz OB. Na okręgu zaznaczono krótszy łuk AB oraz cięciwę AB, czyli odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu. Po prawej przedstawiony jest identyczny okrąg o środku w punkcie O, którego dwa promienie wyznaczają kąt wypukły α. Ramiona tego kąta to promienie OA oraz OB. Na okręgu zaznaczono krótszy łuk AB oraz cięciwę AB. — Kąty środkowe rozpięte na cięciwie

Bezpośrednio, korzystając z cechy $b b b$ przystawania trójkątów, możemy sformułować poniższe twierdzenie.

O kątach środkowych rozpiętych na cięciwach

Twierdzenie: O kątach środkowych rozpiętych na cięciwach

Dla danego okręgu wypukłe kąty środkowe rozpięte na cięciwach o równych długościach mają jednakowe miary.

R1Tn61XwkYjK9

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Dwa promienie tego okręgu, to jest OA oraz OB, wyznaczają kąt ostry β oparty na zaznaczonej cięciwie AB. Kolejne dwa promienie tego okręgu, to jest OC oraz OD, wyznaczają kąt ostry γ oparty na zaznaczonej cięciwie CD. — Twierdzenie1.

Oczywiście, analogiczne twierdzenie można sformułować dla wklęsłych kątów środkowych.

Pozostaje zauważyć, że jeśli ograniczymy się tylko do kątów środkowych, które są wypukłe, to im dłuższa cięciwa, tym większa miara kąta środkowego rozpiętego na tej cięciwie.

R1Imk75a4KkRW

Polecenie 4

Wskazówki „klasycznego” zegara wyznaczają kąty, które można utożsamiać z kątami środkowymi w kole. Przeanalizuj przedstawione interpretacje graficzne i odsłuchaj kolejne komunikaty lektora, klikając w odpowiednią ikonę. Opracuj swój model wyznaczania kąta między wskazówkami i rozwiąż dołączone poniżej zadania.

R1FqNH516eQ9z

Polecenie 5

Wyznacz kąt, jaki tworzą wskazówki: godzinowa i minutowa na kwadrans przed ósmą.

$\frac{1}{12} \cdot 360 ° + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{12} \cdot 360 °) = 30 ° + \frac{1}{4} \cdot 30 ° = 37, 5 °$

Polecenie 6

Między godziną $8^{00}$ a $9^{00}$ Kuba zaobserwował, że kąt, jaki tworzą wskazówki: godzinowa i minutowa jest równy $10 °$ . Która to mogła być godzina?

Zauważmy,że o godzinie $8^{00}$ kąt środkowy ma miarę $120 °$ . Zatem zmiana czasu o $\frac{1}{t}$ część godziny powoduje, że kąt będzie równy: $120 ° - \frac{1}{t} \cdot 360 ° + \frac{1}{t} \cdot 30 ° = 10 °$ . Stąd $t = 3$ i wskazówka minutowa zakreśli łuk równy trzeciej części okręgu, czyli wyznaczy godzinę $8^{20}$ . Zauważmy, że po krótkiej chwili wskazówki ponownie wyznaczą kąt o mierze 10 stopni, wskazówka minutowa „wyprzedzi” wskazówkę godzinową. Wówczas bilans kątów przyjmuje postać: $\frac{1}{t} \cdot 360 ° - 120 ° - \frac{1}{t} \cdot 30 ° = 10 °$ . Stąd $t = 33$ , co w przybliżeniu daje upływ czasu równy $23$ i $\frac{7}{11}$ minuty.

Zależności między kątami w kole

Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

Twierdzenie: Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Dowód

Rozważymy trzy różne przypadki, w zależności od położenia kąta wpisanego względem środka okręgu, które wyczerpują wszystkie wzajemne położenia środka okręgu i kąta wpisanego w tym okręgu.

Przypadek 1.

Przypuśćmy, że średnica okręgu zawiera się w jednym z ramion kąta wpisanego, jak na rysunku.

RLRH1YxCfZgZM

Grafika przedstawia okrąg, 4 punkty: A, B, C, O oraz łączące je odcinki. Środek okręgu jest oznaczony literą O. Punkty: A, B, C leżą na okręgu, w taki sposób, że punkty B, O, C leżą w jednej linii i tworzą średnicę okręgu. Kąt pomiędzy odcinkiem AB i odcinkiem BC jest podpisany literą alfa. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem OC jest podpisany literą beta.

Kąt środkowy $β$ i kąt wpisany $α$ są oparte na łuku $A C$ .

Zauważmy, że $β$ jest kątem zewnętrznym w trójkącie równoramiennym $A O B$ , w którym $|∡ A B O| = |∡ B A O| = α$ .

Miara kąta zewnętrznego w trójkącie jest równa sumie miar dwóch kątów do niego nieprzyległych, czyli $β = 2 α$ , co należało wykazać.

Przypadek 2.

Przypuśćmy, że środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego, jak na rysunku.

Re4tothRO1k8v

Kąt środkowy $β$ i kąt wpisany $α$ są oparte na łuku $A C$ .

Poprowadźmy średnicę o końcu w punkcie $B$ .

Dzieli ona kąty: wpisany i środkowy na kąty odpowiednio: $α_{1}$ , $α_{2}$ oraz $β_{1}$ , $β_{2}$ , jak na rysunku.

RbHnR6NECkdSX

Grafika przedstawia okrąg, 5 punktów: A, B, C, D, O oraz łączące je odcinki. Środek okręgu jest oznaczony literą O. Punkty: A, B, C leżą na okręgu, w taki sposób, że punkty B, C leżą poniżej środka okręgu, natomiast punkt A znajduje się powyżej środka okręgu. Punkt D znajduje się na okręgu pomiędzy punktem A oraz C. Przez punkt B, O oraz poprowadzona jest średnica okręgu. Kąt pomiędzy odcinkiem BC i odcinkiem BD jest podpisany literą alfa dolny indeks 1. Kąt pomiędzy odcinkiem AB i odcinkiem BD jest podpisany literą alfa dolny indeks 2. Kąt pomiędzy odcinkiem CO a odcinkiem OD jest podpisany literą beta dolny indeks 1. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem OD jest podpisany literą beta dolny indeks 2.

Zauważmy, że do kątów: wpisanego i środkowego, opartych na łuku $C D$ , możemy zastosować zależność udowodnioną już w Przypadku 1. Wtedy $β_{1} = 2 α_{1}$ .

Podobnie, do kątów: wpisanego i środkowego, opartych na łuku $A D$ , możemy zastosować udowodnioną już zależność. Wtedy $β_{2} = 2 α_{2}$ .

Ale $β = β_{1} + β_{2} = 2 α_{1} + 2 α_{2} = 2 \cdot (α_{1} + α_{2}) = 2 α$ , co należało wykazać.

Przypadek 3.

Pozostaje rozważyć sytuację, gdy środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego, jak na rysunku.

ROp9ozCk8hIcL

Kąt środkowy $β$ i kąt wpisany $α$ są oparte na łuku $A C$ .

Poprowadźmy średnicę o końcu w punkcie $B$ .

Tworzy ona z ramieniem $B C$ kąta wpisanego oraz z ramieniem $O C$ kąta środkowego odpowiednio kąty: wpisany $α_{1}$ oraz środkowy $β_{1}$ , jak na rysunku.

R10MVubwWhFpj

Zauważmy, że do kątów: wpisanego i środkowego, opartych na łuku $C D$ , możemy zastosować zależność udowodnioną już w Przypadku 1. Wtedy $β_{1} = 2 α_{1}$ .

Podobnie, do kątów: wpisanego i środkowego, opartych na łuku $A D$ , możemy zastosować zależność udowodnioną w Przypadku 1. Wtedy $β + β_{1} = 2 \cdot (α + α_{1})$ .

Ale $β = (β + β_{1}) - β_{1} = 2 \cdot (α + α_{1}) - 2 α_{1} = 2 α$ , co należało wykazać.

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest twierdzenie Talesa o kącie wpisanym.

Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym

Twierdzenie: Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym

Kąt wpisany rozpięty na średnicy okręgu jest prosty, jako kąt dwa razy mniejszy od kąta półpełnego, czyli kąta środkowego rozpiętego na tej średnicy.

Pozostaje sformułować wniosek, który stanowi nie tylko uzupełnienie dowodu poprawności wcześniejszej konstrukcji, ale jest ważnym narzędziem w rozwiązywaniu zadań z planimetrii.

Twierdzenie o kątach wpisanych

Twierdzenie: Twierdzenie o kątach wpisanych

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Dowód

Zauważmy, że dany łuk $A B$ jednoznacznie wyznacza kąt środkowy. Z kolei istnieje wiele kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, ale miara każdego z tych kątów jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego, tym samym te miary są sobie równe (patrz rysunek).

R11g2r0OOqkLU

Grafika przedstawia okrąg, 6 punktów: A, B, C dolny indeks 1, C dolny indeks 2, C dolny indeks 3, O oraz łączące je odcinki. Środek okręgu jest oznaczony literą O. Pozostałe punkty leżą na okręgu. Część okręgu pomiędzy punktem A i punktem B jest zaznaczona na kolor fioletowy. Kąt pomiędzy odcinkami AO i OB jest zaznaczony literą beta. Kąt pomiędzy odcinkami: C dolny indeks 1,A oraz C dolny indeks 1, B jest podpisany literą alfa dolny indeks 1. Kąt pomiędzy odcinkami: C dolny indeks 2,A oraz C dolny indeks 2, B jest podpisany literą alfa dolny indeks 2. Kąt pomiędzy odcinkami: C dolny indeks 3,A oraz C dolny indeks 3, B jest podpisany literą alfa dolny indeks 3.

Twierdzenie o kątach wpisanych w okrąg

Twierdzenie: Twierdzenie o kątach wpisanych w okrąg

Kąty wpisane w dany okrąg, oparte na dwóch łukach o równej długości, są sobie równe.

Dowód

Popatrzmy na rysunek.

R1QhDbLZkvmmH

Grafika przedstawia okrąg. Środek okręgu jest zaznaczony literą O. Na okręgu znajdują się punkty: R, S, Q, P. Przy czym punkty fragment okręgu pomiędzy punktami R i S ma kolor fioletowy, oraz fragment okręgu znajdujący się pomiędzy punktami Q i P również ma kolor fioletowy. Punkty wyznaczają następujące odcinki: RO, SO, QO oraz PO. Kąt pomiędzy odcinkami RO i SO jest podpisany literą beta. Kąt pomiędzy odcinkami QO i PO jest również podpisany literą beta. Wewnątrz okręgu zaznaczone zostały jeszcze dwa kąty, w taki sposób, że wierzchołki tych kątów leżą na okręgu, kąty te popisane są literą alfa. Ramiona pierwszego kąta alfa są wyznaczone przez wierzchołek, znajdujący się na okręgu oraz punkt R oraz punkt S. Ramiona drugiego kąta alfa są wyznaczone przez wierzchołek znajdujący się na okręgu oraz punkt Q i punkt P. — Kąty oparte na równych łukach

Rozważmy łuki $P Q$ i $R S$ o równej długości.

Wtedy kąty środkowe oparte na tych łukach mają taką samą miarę – oznaczmy ją $β$ .

Ale każdy z kątów wpisanych opartych odpowiednio na łukach $P Q$ i $R S$ jest połową kąta środkowego, czyli ma miarę $α = \frac{β}{2}$ , co należało wykazać.

Przykład 3

Pokażemy zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym w okręgu. Przyjmijmy, że na okręgu wyznaczono łuki $A B$ i $B C$ . Kąty środkowe oparte na tych łukach mają odpowiednio miary $50 °$ i $70 °$ . Wyznaczymy miary kątów trójkąta $A B C$ .

Popatrzmy na rysunek ilustrujący dane z zadania.

R1eJZtbXt9iJF

Grafika przedstawia okrąg. Środek okręgu jest zaznaczony literą O. Na okręgu znajdują się punkty: A, B, C, które tworzą trójkąt w kolorze różowym. Odcinki AO, BO oraz CO są zaznaczone linią przerywaną. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem BO ma wartość 50 stopni. Kąt pomiędzy odcinkiem CO a odcinkiem BO ma wartość 70 stopni.

Dwa spośród kątów trójkąta to kąty oparte odpowiednio na tych samych łukach, co dane kąty środkowe.

Zatem $|∡ A C B| = \frac{1}{2} \cdot 50 ° = 25 °$ oraz $|∡ B A C| = \frac{1}{2} \cdot 70 ° = 35 °$ .

Z bilansu kątów trójkąta wynika, że $|∡ A B C| = 180 ° - 35 ° - 25 ° = 120 °$ .

Oczywiście, trzeci z kątów trójkąta można też wyznaczyć, jako kąt wpisany oparty na tym łuku o końcach $A$ , $C$ do którego nie należy punkt $B$ – kąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę $360 ° - 70 ° - 50 ° = 240 °$ , a kąt wpisany jest dwa razy mniejszy.

Polecenie 7

Uruchom Aplet. Naciśnij przycisk: „ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY KĄTAMI” i wybierz jeden z łuków okręgu, klikając wskaźnikiem. Zmieniaj położenie punktów $A$ , $B$ lub $C$ i zapisz miary kątów: środkowego i wpisanego dla kilku różnych położeń punktu $C$ . Wybierz następnie przycisk „DOWÓD” i przeanalizuj pojawiające się oznaczenia kątów.

Zapoznaj się z opisem apletu.

Rh0VWWEWEhtn4

Polecenie 8

Wciśnij przycisk „ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY KĄTAMI”. Na podstawie obserwacji miar kątów wpisanego i środkowego, opartych na tym samym łuku, sformułuj twierdzenie o zależności między miarami kąta środkowego i kąta wpisanego.Poproszę o alt. do polecenia w tym polu.

RkXy4eyBIgs2Z

Polecenie 9

Wciśnij przycisk „DOWÓD”. Uzasadnij, dlaczego przy ustalonym oznaczeniu miary kąta $A C B$ , jako $α$ , można kątowi $O B C$ także przypisać miarę $α$ , a kątom $C O B$ i $A O B$ odpowiednio miary $180 ° - 2 α$ oraz $2 α$ .

Ro2svkq7hpl04

Ćwiczenie 1

Kąt, jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ leżącym na zewnątrz okręgu, ma miarę równą $30 °$ (patrz rysunek).

R1SIfY6qCYebI

Ilustracja przedstawia okrąg, w którym narysowano trzy cięciwy tak, że tworzą one kształt przypominający literę Z. Idąc od góry mamy następujące cięciwy: AB, BC oraz CD. Cięciwy AB oraz CD są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną tak, że spotykają się poza okręgiem w punkcie P. Wewnątrz okręgu oznaczono dwa kąty: kąt ABC oznaczono jako kąt α, kąt BCD oznaczono jako kąt β. W ten sposób powstaje trójkąt CPB, o kątach wewnętrznych równych: β przy wierzchołku C i 30 stopni przy wierzchołku P.

Oblicz miarę kątów $α$ , $β$ , jeśli $α + β = 70 °$ .

Z twierdzenia o kącie między siecznymi 1. wynika, że $α - β = 30 °$ .

Prowadzi to do układu równań: $\{\begin{cases} α - β = 30 ° \\ α + β = 70 ° \end{cases}$ .

Jego rozwiązaniem jest para: $α = 50 °$ , $β = 20 °$ .

Ćwiczenie 2

Zaznaczony na rysunku kąt, jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ leżącym wewnątrz okręgu, ma miarę równą $130 °$ (patrz rysunek).

RezVPc9RxrBTK

Rysunek przedstawia okrąg, na którym zaznaczone są następujące punkty kolejno: A, B, C, D. Na ilustracji zaznaczono trzy cięciwy: AB, AC oraz BD, przy czym cięciwy AC oraz BD przecinają się w punkcie P pod kątem stu trzydziestu stopni. Przecinające się cięciwy są przedłużone poza okręgiem linią przerywaną. Wewnątrz okręgu oznaczono trzy kąty. Kąt BAC jest oznaczony jako kąt α, kąt ABD jest oznaczony jako kąt β oraz trzecim oznaczonym kątem jest wpomniany już kąt rozwarty BPC o mierze stu trzydziestu stopni.

Oblicz miarę kątów $α$ , $β$ , jeśli $α - β = 42 °$ .

Z twierdzenia o kącie między siecznymi 2. wynika, że $α + β = 130 °$ .

Prowadzi to do układu równań: $\{\begin{cases} α + β = 130 ° \\ α - β = 42 ° \end{cases}$ .

Jego rozwiązaniem jest para: $α = 86 °$ , $β = 44 °$ .

Ćwiczenie 3

Korzystając z danych przedstawionych na poniższym rysunku, wyznacz miarę kąta $γ$ , jaki tworzą sieczne, przecinające się w punkcie $P$ , leżącym wewnątrz okręgu.

RPrgu7kN08CwW

Re7W5JZHZGvC9

Ćwiczenie 4

R1ZgjngiKaJ7E21

Podaj definicję cięciwy.

RBOEDyfuSGcst

Ćwiczenie 5

Jedna z cięciw zawartych w ramionach kąta wpisanego w okrąg i opartego na półokręgu ma długość równą promieniowi tego okręgu. Oblicz miarę kąta wpisanego, jaki tworzy ta cięciwa ze średnicą, na której rozpięty jest półokrąg.

Zauważmy, że kąt wpisany opary na półokręgu jest kątem prostym.

Zatem cięciwa oraz średnica są bokami utworzonego trójkąta prostokątnego, w którym dwa boki mają się do siebie tak, jak $2 r : r = 2 : 1$ .

Jest to cecha charakterystyczna trójkąta o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .

Pozostaje zauważyć, że szukanym kątem jest kąt o mierze $60 °$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest okrąg o promieniu $r$ . Różnica długości cięciw tworzących kąt wpisany oparty na półokręgu ma długość równą $\frac{14}{13} r$ . Wyznacz stosunek długości obu cięciw.

Jeśli długości cięciw oznaczymy odpowiednio przez $d$ i $e$ , gdzie $d > e$ , to wówczas $d - e = \frac{14}{13} r$ .

Ponieważ kąt wpisany opary na półokręgu jest kątem prostym, to możemy zapisać równość wynikająca z twierdzenia Pitagorasa: $d^{2} + {(d - \frac{14}{13} r)}^{2} = {(2 r)}^{2}$ .

Po uproszczeniu otrzymujemy: $169 d^{2} - 182 r \cdot d - 240 r^{2} = 0$ .

Jego dodatnim rozwiązaniem jest liczba: $d = \frac{24 r}{13}$ .

Wtedy $e = \frac{10 r}{13}$ , a stosunek długości cięciw jest równy: $12 : 5$ .

Ćwiczenie 7

Kąt, jaki tworzą dwie sieczne, przecinające się w punkcie $P$ , leżącym na zewnątrz okręgu, ma miarę równą $α$ . Sieczne te wyznaczają cięciwy $A B$ i $C D$ , jak na rysunku. Punkt $Q$ leży wewnątrz okręgu, na cięciwie $C D$ . Oznaczmy $|∢ A Q C| = γ$ , $|∢ A D C| = β$ .

RIE4zn1LjcDZp

Rysunek przedstawia okrąg, na którym zaznaczone są następujące punkty kolejno: A, B, D, C. Na ilustracji zaznaczono trzy cięciwy: AB oraz AD oraz CD, przy czym cięciwy AB oraz CD przedłużono poza okręgiem linią przerywaną w taki sposób, że linie te spotykają się poza okręgiem w punkcie P. Na cięciwie CD zaznaczono punkt Q i połączono go z punktem A, tworząc odcinek AQ. Na ilustracji zaznaczono trzy kąty, z czego dwa znajdują się w okręgu i są to kąty: CQA oznaczony jako γ oraz kąt CDA oznaczony jako β. Poza okręgiem zaznaczono trzeci kąt CPA oznaczony jako α.

Wykaż, że zachodzi nierówność $α < β < γ$ .

Dowód:

Przyjmijmy, że $|∡ P A D| = δ$ , $|∡ Q A D| = φ$ .

Wtedy kąt $β$ jest kątem zewnętrznym w trójkącie $A D P$ , więc $β = α + δ > α$ .

Podobnie kąt $γ$ jest kątem zewnętrznym w trójkącie $A Q D$ , więc $γ = β + φ > β$ .

Zatem: $γ > β$ i $β > α$ , stąd $γ > β > α$ , co należało wykazać.

Ćwiczenie 8

Z jednego z wierzchołków ośmiokąta foremnego poprowadzono trzy przekątne, które są jednocześnie cięciwami okręgu opisanego na tym ośmiokącie, jak na rysunku.

R1YP2z0CRnPpI

Rysunek przedstawia okrąg, w który wpisany jest ośmiokąt foremny ABCDEFGH. W okręgu poprowadzono następujące cięciwy: FG, FH, FA oraz FB. Poza tym wszystkie boki ośsmiokąta również można określić jako cięciwy okręgu. Na rysunku zaznaczono kąty ograniczone cięciwami. Są to kolejno: GFH opisany jako β, HFA opisany jako γ oraz AFB opisany jako β.

RPBpb0SoRZj1s

Korzystając tylko z zależności poznanych na lekcji (nie stosując twierdzenia o związku między kątem wpisanym i środkowym) uzasadnić, że kąty alfa, BETA i GAMMA mają równe miary.
Ułóż w kolejności etapy dowodu.
Dowód: Elementy do uszeregowania: 1. Warto zauważyć, ze względu na symetrię ośmiokąta, że wszystkie kąty wpisane, oparte na krótszych łukach wyznaczonych przez kolejne boki ośmiokąta, mają równe miary., 2. Ponadto, odcinek B F jest średnicą okręgu, na której rozpięty jest kąt wpisany B A F., 3. Wyznaczymy w kolejności miary kątów alfa, BETA i GAMMA., 4. Pozostaje zauważyć, że trójkąty A B F i F G B są przystającymi trójkątami prostokątnymi., 5. Stąd BETA, równa się, początek ułamka, sto osiemdziesiąt stopni, minus, sto trzydzieści pięć stopni, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni., 6. Stąd GAMMA, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni, minus, dwa, razy, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, sześćdziesiąt siedem przecinek pięć stopni, równa się, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni., 7. Odcinek B F jest osią symetrii ośmiokąta i dwusieczną kąta wewnętrznego A B C, dlatego miara kąta A B F jest równa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, sto trzydzieści pięć stopni., 8. Zatem kąt B A F jest kątem prostym., 9. Miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego opisuje wzór: początek ułamka, n, minus, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, razy, sto osiemdziesiąt stopni., 10. Dlatego kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego ma miarę sto trzydzieści pięć stopni., 11. Zatem alfa, plus, BETA, plus, GAMMA, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, czyli GAMMA, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, BETA, minus, dwa alfa., 12. Trójkąt F G H jest równoramienny, a kąt F G H jest kątem wewnętrznym ośmiokąta. Zatem dwa BETA, plus, sto trzydzieści pięć stopni, równa się, sto osiemdziesiąt stopni., 13. Stąd alfa, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, miara kąta, kąt A B F, koniec miary kąta, równa się, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni.

Ćwiczenie 9

Punkty $A$ , $B$ , $C$ dzielą dany okrąg w stosunku $4 : 5 : 6$ . Wyznacz miary wypukłych kątów środkowych opartych na łukach $A B$ , $B C$ i $C A$ .

Punkty $A$ , $B$ , $C$ wyznaczają podział okręgu na piętnaście równych łuków – wypukłe kąty środkowe oparte na tych łukach maja miarę $\frac{1}{15} \cdot 360 ° = 24 °$ . Zatem kąt oparty na łuku $A B$ ma miarę $4 \cdot 24 ° = 96 °$ , kąt oparty na łuku $B C$ ma miarę $5 \cdot 24 ° = 120 °$ , a kąt oparty na łuku $C A$ ma miarę $6 \cdot 24 ° = 144 °$ . Oczywiście, mając miary katów opartych na łukach $A B$ i $B C$ , trzeci z kątów można wyznaczyć, jako dopełnienie sumy ich miar do kąta pełnego.

R188V7uXjfj0L1

Ćwiczenie 10

Punkty A, B, C dzielą dany okrąg w określonym stosunku. Wyznacz miary wypukłych kątów środkowych opartych na łukach A B, B C i C A. Dopasuj, łącząc w pary, podział okręgu z miarami odpowiednich kątów. trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni dwa, podzielić na, cztery, podzielić na, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, pięć, podzielić na, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni trzy, podzielić na, cztery, podzielić na, sześć, podzielić na, siedem Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, osiemdziesiąt stopni, sto stopni, sto dwadzieścia stopni, 2. dziewięćdziesiąt stopni, sto dwadzieścia stopni, sto pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt cztery stopnie, siedemdziesiąt dwa stopnie, sto osiem stopni, sto dwadzieścia sześć stopni, 4. czterdzieści osiem stopni, dziewięćdziesiąt sześć stopni, dwieście szesnaście stopni

Ćwiczenie 11

Dany jest okrąg o środku $O$ . Cięciwa $A B$ tego okręgu tworzy z jego promieniem $O A$ kąt o mierze $52 °$ . Wyznacz miary obu kątów środkowych rozpiętych na tej cięciwie.

Trójkąt $A O B$ jest równoramienny, zatem miara jego kąta przy wierzchołku $O$ jest równa: $|∡ A O B| = 180 ° - 2 \cdot 52 ° = 76 °$ . Ale ten kąt jest wypukłym kątem środkowym rozpiętym na danej cięciwie. Środkowy kąt wklęsły ma zatem miarę: $360 ° - 76 ° = 284 °$ .

Ćwiczenie 12

R1YZ3puL585SL

Jeśli $α$ , $β$ oznaczają miary kątów środkowych opartych na łuku $A B$ , to wówczas $α + β = 360 °$ oraz $α - β = 70 °$ .

Ćwiczenie 13

R1RN0V85C03Ss

Zauważ, że trójkąt $A O B$ jest równoboczny.

Ćwiczenie 14

Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, wyznacz stosunek długości łuków, na które cięciwa $A B$ podzieliła dany okrąg.

Rxb4QfajWhe6V

Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Dwa promienie tego okręgu, to jest OA oraz OB, wyznaczają kąt wklęsły o mierze 4α+100°. Na rysunku zaznaczono również cięciwę AB i w ten sposób powstał trójkąt AOB, który przy wierzchołku B ma kąt wewnętrzny o mierze α.

Zauważmy, że $|∡ A O B| = 180 ° - 2 α$ . Ale $(180 ° - 2 α) + (4 α + 100 °) = 360 °$ . Stąd $2 α + 280 ° = 360 °$ , zatem $α = 40 °$ . Stąd kąty środkowe mają miary: $100 °$ oraz $260 °$ . Zatem podział okręgu nastąpił w stosunku $13 : 5$ .

Ćwiczenie 15

Dany jest okrąg o środku $O$ i promieniu $12$ . Oblicz długość cięciwy $A B$ tego okręgu, na której rozpięto kąt środkowy o mierze $120 °$ .

Zauważmy, że trójkąt $A O B$ jest trójkątem równoramiennym. Jego wysokość $O C$ , poprowadzona z wierzchołka $O$ , dzieli cięciwę $A B$ na połowę. Wtedy $\sin (∡ A O C) = \sin 60 ° = \frac{\frac{1}{2} |A B|}{|O A|}$ . Stąd $|A B| = 2 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3}$ .

R13hhToF8ija83

Ćwiczenie 16

Ćwiczenie 17

Na okręgu wyznaczono łuki $A B$ i $B C$ . Kąty środkowe oparte na tych łukach mają odpowiednio miary $124 °$ i $92 °$ . Wyznacz miary kątów trójkąta $A B C$ .

Popatrzmy na rysunek ilustrujący dane z zadania.

R13bfYhklMbUy

Grafika przedstawia okrąg, w który wpisany jest trójkąt. Środek okręgu jest podpisany literą O. Wierzchołki trójkąta, kolejno: A, B, C leżą na okręgu. Trójkąt ma kolor różowy. Odcinki AO, BO oraz CO są narysowane linią przerywaną. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem BO ma wartość 124 stopnie. Kąt pomiędzy odcinkiem CO a BO ma wartość 92 stopnie.

Kąt $A C B$ jest kątem wpisanym oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy $A O B$ , zatem $|∡ A C B| = \frac{1}{2} \cdot 124 ° = 62 °$ .

Analogicznie kąt $C A B$ jest kątem wpisanym oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy $B O C$ , zatem $|∡ B A C| = \frac{1}{2} \cdot 92 ° = 46 °$ .

Z bilansu kątów trójkąta wynika, że $|∡ A B C| = 180 ° - 62 ° - 46 ° = 72 °$ .

Ćwiczenie 18

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ i cięciwa $A B$ tego okręgu. Na okręgu wyznaczono taki punkt $C$ , że $2 \cdot |∡ A O B| = |∡ A C B|$ . Wyznacz miarę kąta $A O B$ .

Kąt $A O B$ jest kątem środkowym w danym okręgu, a kąt $A C B$ jest kątem wpisanym.

Oczywiście nie jest możliwe, aby były oparte na tym samy łuku.

Zatem kąt $A C B$ jest oparty na łuku, który jest dopełnieniem do całego okręgu tego łuku, na którym oparty jest kąt środkowy $A O B$ , jak na rysunku.

R1FyUYdA6BXRL

Grafika przedstawia okrąg. Środek okręgu jest podpisany literą O. Punkty: A, B, C leżą na okręgu, w taki sposób, ze punkt C znajduje się pomiędzy punktem A i punktem B. Odcinki AO i BO są narysowane linią przerywaną. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem BO ma wartość jest podpisany literą alfa. Kąt pomiędzy odcinkiem

Oznaczmy przez $α$ miarę kąta $A O B$ . Wtedy mamy: $2 α = \frac{1}{2} \cdot (360 ° - α)$ .

Stąd $α = 72 °$ .

RkxPCMJa4Ylrd1

Ćwiczenie 19

R1StuSzKVBlGK2

Ćwiczenie 20

RgJB3xgsNs6ww

R1DhcdlffcqHZ2

Ćwiczenie 21

Ćwiczenie 22

Wyznacz miejsce geometryczne punktów, które są środkami cięciw poprowadzonych z ustalonego punktu na danym okręgu.

Popatrzmy na rysunek.

R1DWJ8BHxTGWE

Grafika przedstawia dwa okręgi. Jeden okrąg znajduje się wewnątrz drugiego. Okręgi mają wspólny punkt podpisany litera A. Środek większego okręgu jest podpisany literą O. Mniejszy okrąg przechodzi przez punkt O. Na mniejszym okręgu, oprócz punktu O, znajdują się jeszcze , punkty: C dolny indeks 1, C dolny indeks 2 oraz C dolny indeks 3. Z punktu A przez wszystkie punkty znajdujące się na mniejszym okręgu zostały poprowadzone linie, które stanowią cięciwy większego okręgu. Pomiędzy punktem C dolny indeks 3 i Puntem O narysowany został odcinek. Odcinek ten jest pod kątem prostym do odcinka C dolny indeks 3, A.

Punkty $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ są środkami różnych cięciw poprowadzonych z ustalonego punktu $A$ .

Oczywiście środek $O$ danego okręgu spełnia warunki zadania.

Zauważmy ponadto, że każdy promień okręgu przechodzący przez środek cięciwy jest do tej cięciwy prostopadły.

Zatem szukamy miejsca geometrycznego punktów, z których dany odcinek $A O$ jest widoczny pod kątem prostym.

Z twierdzenia Talesa dla kąta wpisanego wynika, że rozwiązaniem jest każdy z półokręgów (bez końców) wraz z punktem $O$ .

Ćwiczenie 23

Okrąg o średnicy $B C$ przecina bok $A B$ trójkąta $A B C$ w punkcie $D$ , jak na rysunku.

RnfYgoF3nVjOg

Grafika przedstawia okrąg oraz trójkąt. Na okręgu zaznaczone są 3 punkty: B, C, D. Poza okręgiem, z lewej strony znajduje się punkt A. Wierzchołki trójkąta to punkty A, B i C, przy czym Punkt D leży na odcinku AB. Długość odcinka AC to 15. Długość odcinka AB to 14, długość odcinka BC to 13.

Długości boków trójkąta są odpowiednio równe: $|A B| = 14$ , $|A C| = 15$ , $|B C| = 13$ . Oblicz długość odcinka $A D$ .

Oznaczmy długość odcinka $A D$ przez $x$ .

Kąt wpisany $B D C$ , jako rozpięty na średnicy okręgu jest kątem prostym, zatem trójkąty $B D C$ i $A D C$ są prostokątne.

Zatem: $x^{2} + {|C D|}^{2} = 15^{2}$ oraz ${(14 - x)}^{2} + {|C D|}^{2} = 13^{2}$ .

Odejmując stronami oba równania otrzymujemy: $x^{2} - {(14 - x)}^{2} = 15^{2} - 13^{2}$ , czyli $28 x - 196 = 225 - 169$ .

Stąd $x = 9$ .

Ćwiczenie 24

Na niewspółliniowych odcinkach $A B$ i $B C$ , jako na średnicach, wykreślono dwa okręgi. Okręgi te przecinają się w punkcie $D \neq B$ (patrz rysunek).

RVNB8sFZsc75x

Grafika przedstawia dwa okręgi. Okręgi nachodzą na siebie. Miejsca przecięcia okręgów są zaznaczone punktami B i D. Na mniejszym okręgu znajduje się punkt A. Na większym okręgu znajduje się punkt C. W mniejszym okręgu został narysowany odcinek AB. W większym okręgu narysowany został odcinek BC.

R1SQfgKquMKPR

Słownik

okrąg

okręgiem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu $O$ o dany odcinek $r$

koło

kołem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest nie większa niż $r$

łuk okręgu

łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami

cięciwa okręgu

cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końce są różnymi punktami leżącymi na tym okręgu

rozmiar kątowy

rozmiar kątowy, inaczej odległość kątowa $θ$ , pomiędzy dwoma obiektami, to kąt, którego ramionami są promienie „wychodzące z oka obserwatora” i przechodzące przez te obiekty; miarą takiej odległości są stopnie i jego części: minuty i sekundy

3. Wzajemne położenie dwóch okręgów

5*. Kąt dopisany (DODATEK)

4. Kąty wpisane i środkowe

Kąt wpisany

Kąt środkowy

Zależności między kątami w kole

Słownik