Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej

Learning objectives

You will develop the competencies: communicating in English, mathematical and basic scientific‑technical and IT competence, the learning skills.

You will learn what the vertex form of the quadratic function is.

Learning effect

• You plot a graph of the function $f\left(x\right)=a(x-p{)}^2+q$.

• You determine the properties of the function $f\left(x\right)=a(x-p{)}^2+q$ based on its graph.

Remind how the function formulaformulaformula changes when the graph is shifted along the OX axis and along the OY axis.

If you shift the graph of functionfunctionfunction $y=f\left(x\right)$ by:

• $p \left(p>0\right)$ units to the right along the OX axis then you get the graph of the functiongraph of the functiongraph of the function $y=f(x-p)$

• $p \left(p>0\right)$ units to the left along the OX axis then you get the graph of the function $y=f(x+p)$

• $q \left(q>0\right)$ units up along the OY axis then you get the graph the function $y=f\left(x\right)+q$

• $q \left(q>0\right)$ units down along the OY axis then you get the graph of the functiongraph of the functiongraph of the function $y=f\left(x\right)-q$

Using the results of your work determine the formulaformulaformula of the functionfunctionfunction which graph was obtained as a result of shifting the graph of the functionshifting the graph of the functionshifting the graph of the function $f\left(x\right)=a{x}^2$ by $p$ units along the OX axis and $q$ units along the OY axis.

Formulate the conclusion.

Shifting the graph of the functionshifting the graph of the functionShifting the graph of the function $f\left(x\right)=a{x}^2$, where $a\ne 0$, by $p$ units along the OX and $q$ units along the OY axis results in a graph of the functiongraph of the functiongraph of the function $y=a(x-p{)}^2+q$. The formulaformulaformula is called the vertex formvertex formvertex form of a quadratic equation.

Apply the acquired knowledge in exercises.

Task 5

RzEVEWG4iEZZF1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Open the applet and observe how the $p$ and $q$ numbers in the quadratic functionquadratic functionquadratic function formula vary, depending on the change of the coordinates of the parabola's vertex, which is the graph of this functionfunctionfunction. Draw the conclusion.

RVIkbasmdJxp91

Aplet geogebry. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Aplet geogebry. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DVbyXUUlW

RINKJJGBUZSCP

Po lewej stronie rysunku znajduje się tekst: The canonical form of a square function. Poniżej zapisany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: f, nawias zwykły, w nawiasie x, poza nawiasem, równa się a pomnożone przez, nawias zwykły, w nawiasie, x odjąć p, poza nawiasem, podniesione do kwadratu, dodać q. Poniżej znajduje się tekst: Move the parabola so that the vertex is W równa się w nawiasie minus dwa, przecinek sześć, zamknąć nawias. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x, umieszczono na niej liczby od minus osiem do szesnastu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y, umieszczono na niej liczby od minus trzynaście do piętnastu. W układzie współrzędnych narysowana jest parabola opisana równaniem y równa się dwa pomnożone przez x do kwadratu. Ramiona paraboli skierowane są do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w początku układu współrzędnych.

RDjGwcbGdRr39

Po lewej stronie rysunku znajduje się tekst: The canonical form of a square function. Poniżej zapisany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: f, nawias zwykły, w nawiasie x, poza nawiasem, równa się a pomnożone przez, nawias zwykły, w nawiasie, x odjąć p, poza nawiasem, podniesione do kwadratu, dodać q. Poniżej znajduje się tekst: Move the parabola so that the vertex is W równa się w nawiasie minus dwa, przecinek sześć, zamknąć nawias. Poniżej tekst: This parabola is a graph of the function: f, nawias zwykły, w nawiasie x, poza nawiasem, równa się dwa pomnożone przez, nawias zwykły, w nawiasie, x dodać dwa, poza nawiasem, podniesione do kwadratu, dodać sześć. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x, umieszczono na niej liczby od minus osiem do szesnastu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y, umieszczono na niej liczby od minus trzynaście do piętnastu. W układzie współrzędnych narysowana jest, linią przerywaną, parabola opisana równaniem y równa się dwa pomnożone przez x do kwadratu. Ramiona paraboli skierowane są do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w początku układu współrzędnych. Linią ciągłą narysowano parabolę o wierzchołku w punkcie o współrzędnych x równe minus dwa, y równe minus sześć. Wierzchołki obu parabol połączone są strzałką. Wierzchołek paraboli, otrzymanej po przesunięciu paraboli o równaniu, małe y równa się dwa pomnożone przez x kwadrat, oznaczono wielką literą W i podano jego współrzędne. Wielkie W równa się, nawias zwykły, w nawiasie, minus dwa, przecinek, minus sześć.

The parabola ist the graph of the functiongraph of the functiongraph of the function $y=a{\left(x-p\right)}^2+q$, where $a\ne 0$ . The parabola is congruent to the graph of the functionfunctionfunction $y=a{x}^2$. The parabola’s vertex is the point $W(p,q)$.

Perform consolidating exercises.

Students perform consolidating exercises. Then they summarize together the activities, formulating conclusions to be remembered:

• Shifting the graph of the functionshifting the graph of the functionShifting the graph of the function $f\left(x\right)=a{x}^2$, where $a\ne 0$, by $p$ units along the OX and $q$ units along the OY axis results in a graph of the functiongraph of the functiongraph of the function $y=a(x-p{)}^2+q$.

• The formulaformulaformula $y=a(x-p{)}^2+q$, where $a\ne 0$ is known as the vertex formvertex formvertex form of a quadratic functionquadratic functionquadratic function.

• The ordered pair $\left(p,q\right)$ is the vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola $y=a(x-p{)}^2+q$, where $a\ne 0$.

Exercises

Glossary

Keywords

graph of the functiongraph of the functiongraph of the function

quadratic functionquadratic functionquadratic function

shifting the graph of the functionshifting the graph of the functionshifting the graph of the function

vertex formvertex formvertex form – funkcja kwadratowa opisana wzorem y = a(x – p)Indeks górny 2² + q, gdzie $a\ne 0$

vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola