Własności prostokąta i kwadratu

Prostokąt i kwadrat

REn0mlAsvYJYe1
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/REn0mlAsvYJYe

Prostokaty i kwadraty_atrapa_animacja_195
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

O prostokątach i kwadratach mówiliśmy już w klasie czwartej. Teraz przypomnimy definicje i własności tych figur.

Prostokąt
Definicja: Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

R18kZahhVH0bQ1
Rysunek prostokąta A B C D.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności prostokąta

  • Przeciwległe boki są równoległe i równej długości.

  • Wszystkie kąty są równe.

  • Przekątne są równej długości i dzielą się na połowy.

    R60XNVeunTcC51
    Rysunek prostokąta A B C D. Poprowadzone przekątne przecinają się w punkcie S.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    W prostokącie ABCD:

  • AB∥DC i  AD∥BC, AB=DC i  AD=BC

  • Miary kątów: A, B, C i D są równe 90°.

  • AC=BD oraz AS 

iJpAsppAc6_d5e168
Kwadrat
Definicja: Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

RWDSfldnj9fk91
Rysunek kwadratu A B C D.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Własności kwadratu

  • Przeciwległe boki są równoległe, wszystkie boki są równej długości.

  • Wszystkie kąty są proste.

  • Przekątne są prostopadłe, równej długości i dzielą się na połowy.

    R1MQOxbJfzW9n1
    Rysunek kwadratu A B C D. Poprowadzone przekątne przecinają się w punkcie S.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    W kwadracie ABCD:

  • AB∥ DC i  AD∥ BC, AB=DC  =AD= BC

  • Miary kątów: A, B, C i D są równe 90°.

  • AC⊥BD,AC=BD oraz AS = SC=DS  = SB

A
Ćwiczenie 1

Ile kwadratów widzisz na rysunku? A ile prostokątów?

R8nbnmJEwBBgY1
Rysunek prostokąta podzielonego na kwadraty i prostokąty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. Każdy … jest prostokątem.

  2. … prostokąt jest kwadratem.

A
Ćwiczenie 2

Na rysunku bok jednej kratki ma długość 1 cm. Przeciągnij wierzchołki czworokąta tak, by powstał prostokąt ABCD o wymiarach 6 cm i 8 cm.

R1aYDnDBltQOI1
Animacja przedstawia czworokąt A B C D. Należy przemieszczać wierzchołki czworokąta tak, aby powstał prostokąt o wymiarach 6 cm i 8 cm. Otrzymujemy przykładowy prostokąt K L M N, w którym kreślimy przekątne KM i LN. Zauważamy, że w prostokącie przekątne mają takie same miary, co sprawdzamy wykorzystując linijkę.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DY33L33Oj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iJpAsppAc6_d5e379

Kwadrat, prostokąt i ich własności

RzF5XEPRO7vIU1
Animacja prezentuje kwadrat, w którym poprowadzone są przekątne. Należy zmierzyć linijką jego przekątne, a następnie sprawdzić kątomierzem pod jakim kątem się one przecinają. Po dokonaniu pomiarów zauważamy, że w kwadracie przekątne są równe i przecinają się pod kątem prostym.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DY33L33Oj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1D5hbxdY58GM1
Animacja prezentuje prostokąt A B C D z poprowadzonymi przekątnymi. Należy poruszać wierzchołkiem C prostokąta i obserwować kąt przecięcia się przekątnych prostokąta oraz długości jego boków. Zauważamy, że wszystkie boki prostokąta są tej samej długości, gdy kąt między jego przekątnymi jest kątem prostym. Prostokąt jest kwadratem, gdy ma boki tej samej długości.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DY33L33Oj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1Du5BVjX7Fac1
Animacja prezentuje romb A B C D z poprowadzonymi przekątnymi. Należy poruszać wierzchołkiem A i obserwować miary kątów tego rombu i długości jego przekątnych. Zauważamy, że gdy miary kątów tego rombu są równe, to jego przekątne są tej samej długości. Romb jest kwadratem, gdy jego kąty są kątami prostymi. Po zaobserwowaniu zmian, można zrobić to samo z wierzchołkiem D i zaobserwować, czy własności się zmieniają.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DY33L33Oj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Narysuj dwie proste prostopadłe. Zaznacz na nich cztery punkty, tak aby były wierzchołkami kwadratu o przekątnych długości 6 cm.

B
Ćwiczenie 4

Narysuj kwadrat, w którym suma długości przekątnych jest równa 14 cm.

B
Ćwiczenie 5

Narysuj prostokąt, w którym

  1. boki mają długości 4 cm, 6 cm

  2. jeden bok ma długość 30 mm, a drugi jest 2 razy dłuższy

  3. jeden bok ma 6 cm, a drugi jest o 3 cm krótszy

  4. połowa przekątnej ma długość 2 cm5 mm

B
Ćwiczenie 6

Narysuj prostokąt, którego przekątna ma długość 8 cm, a kąt rozwarty między przekątnymi ma miarę 120°.

classicmobile
Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1B6Ib7LpjCZV

  • Każdy prostokąt jest kwadratem.
  • Każdy kwadrat jest prostokątem.
  • W każdym prostokącie kąt między przekątnymi jest prosty.
static
iJpAsppAc6_d5e571

Obwód prostokąta i kwadratu

Przykład 1

Pan Kowalski zamierza ogrodzić siatką działkę w kształcie prostokąta o wymiarach 25 m i 35 m. Ile metrów siatki musi kupić, jeśli zamierza pozostawić miejsce na bramę wjazdową o szerokości 3 m i miejsce na furtkę o szerokości 1 m?

R10CTeNmNvDWi1
Animacja
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R10CTeNmNvDWi

Obwody prostokatow i kwadratow_atrapa_animacja_48
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

A
Ćwiczenie 8
R1QIPplO5rKK91
Animacja pokazuje różne prostokąty leżące na kratownicy. Należy podać obwód każdego prostokąta.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DY33L33Oj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 9
RSIizVZE1bGSZ1
Animacja pokazuje różne kwadraty leżące na kratownicy. Należy podać obwód każdego kwadratu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DY33L33Oj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 10

Oblicz obwód kwadratu o boku długości 5 cm.

A
Ćwiczenie 11

Obwód kwadratu wynosi 36 cm. Oblicz długość jego boku.

classicmobile
Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1WyqUbQxvxUt

  • Jeśli długość boku kwadratu zmniejszy się dwa razy, to obwód tego kwadratu też zmniejszy się dwa razy.
  • Jeśli bok kwadratu zwiększymy o  3  cm , to obwód kwadratu zwiększy się o  6  cm .
static
A
Ćwiczenie 13

Narysuj w zeszycie prostokąt o bokach długości 5 cm i 6 cm. Oblicz jego obwód.

A
Ćwiczenie 14
RTDhqThy3Wto21
Animacja pokazuje prostokąt leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny prostokąt o podanym obwodzie.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DY33L33Oj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iJpAsppAc6_d5e725
A
Ćwiczenie 15
R9TMbu7DcYrZq1
Animacja pokazuje kwadrat leżący na kratownicy. Należy przesunąć jeden wierzchołek tak, aby utworzyć inny kwadrat o podanym obwodzie.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DY33L33Oj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 16

Obwód prostokąta jest równy 24 cm, a jeden z jego boków ma długość 5 cm. Oblicz długość drugiego boku tego prostokąta.

A
Ćwiczenie 17
R5obthf2Hrwe31
Zadanie interaktywne

Obwód prostokąta jest równy 14 cm. Przekątna dzieli ten prostokąt na dwa trójkąty o obwodach 12 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta.

Odp.: Przekątna ma długość ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 18
R1VX1zOsm8iyQ1
Zadanie interaktywne

Na planie w skali 1 : 1000 prostokątna działka ma wymiary 45 mm x 50 mm. Oblicz obwód tej działki. Wynik podaj w metrach.

Odp.: Obwód działki wynosi ............ m.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 19
Rupkh8Zkeii9Y1
Zadanie interaktywne

Prostokąt i kwadrat mają takie same obwody równe 32 cm. Jeden z boków prostokąta jest o 2 cm krótszy od boku kwadratu. Jakie wymiary ma prostokąt?

Odp.: Prostokąt ma wymiary (krótszy bok) ............ cm i (dłuższy bok) ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 20
R1SfBJ4pifArp1
Zadanie interaktywne

Szerokość prostokąta wynosi 4 cm, a jego długość jest trzy razy dłuższa. Oblicz obwód tego prostokąta.

Odp.: Obwód prostokąta jest równy ............ cm.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Suma kątów wewnętrznych trójkąta
Równoległobok i jego własności