R1XmsurgqOgnK1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIVXzTNDIjkiG1

Gdy patrzymy nocą na rozgwieżdżone niebo, postrzegamy gwiazdy jako punkty.

Ważne!

Jednym z podstawowych pojęć w geometrii jest punkt. Zwykle zaznaczamy go kropką i oznaczamy wielką literą.

R6PA2VKOCREGB1

Rysunek punktów A, B i C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Przygotuj małą kartkę papieru. Zegnij ją dwukrotnie, jak na poniższym rysunku.

RMkPws6flosEd1

Rysunek kartki z liniami zgięcia, które przecinają się w punkcie P. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozłóż kartkę i popatrz, gdzie się przecinają linie zgięcia. Zaznacz kropką punkt przecięcia linii i nazwij go $P$ . Wklej kartkę do zeszytu.

Proste, półproste, odcinki

Ważne!

Kolejnym podstawowym pojęciem w geometrii jest prosta.

Prosta nie ma początku ani końca.
Prostą oznaczamy małą literą.
R1VHfFt9cp0uo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 2

RlUOad4rFBFFF1

Zaznacz w zeszycie dwa dowolne punkty. Oznacz je literami $J$ i $K.$ Narysuj prostą przechodzącą przez te punkty. Czy możesz narysować więcej takich prostych? Ile prostych przechodzi przez punkty $J$ i $K$ ? Wybierz odpowiedź.

nieskończenie wiele prostych, trzy proste, jedna prosta, dwie proste

Przez dwa dowolne punkty przechodzi ...........................................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

Ćwiczenie 2

Zaznacz w zeszycie dwa dowolne punkty. Nazwij je literami $J$ i $K$ . Narysuj prostą przechodzącą przez te punkty. Czy możesz narysować więcej takich prostych? Ile prostych przechodzi przez punkty $J$ i $K$ ?
Uzupełnij zdanie.

RyMG29tNpPqBC1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Na rysunku prosta przechodzi przez punkty $B$ i $C$ , zatem można ją nazwać prostą $BC$ lub prostą $CB$ .

ROTWAB9lVQWMr1

Rysunek prostej z zaznaczonymi na niej punktami B i C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

To jest prosta $BC$ (lub prosta $CB$ ).

classicmobile

Ćwiczenie 3

RMW1T5SlTHtXL1

Zaznacz w zeszycie dowolny punkt. Oznacz go literą $S$ . Narysuj prostą przechodzącą przez ten punkt. Czy możesz narysować więcej takich prostych? Ile prostych może przechodzić przez jeden dowolny punkt? Wybierz odpowiedź.

dokładnie jedna prosta, dokładnie trzy proste, nieskończenie wiele prostych, dokładnie dwie proste

Przez jeden dowolny punkt może przechodzić ...........................................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

Ćwiczenie 3

Zaznacz w zeszycie jeden dowolny punkt. Nazwij go literą $S$ . Narysuj prostą przechodzącą przez ten punkt. Czy możesz narysować więcej takich prostych? Jeżeli tak, to narysuj kilka. Ile prostych może przechodzić przez jeden dowolny punkt? Uzupełnij zdanie.

R1RlN2kCZvUcM1

Przykład 1

Popatrzmy, jak są położone punkty $S$ , $M$ , $F$ , $G$ względem prostej $k$ .

R1aztobwmSHN01

Rysunek prostej k z zaznaczonymi na niej punktami S i M. Punkty F i G nie leżą na prostej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mówimy, że

punkty $S$ i $M$ należą do prostej $k$ lub punkty $S$ i $M$ leżą na prostej $k$
punkty $F$ i $G$ nie należą do prostej $k$ lub punkty $F$ i $G$ leżą poza prostą $k$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Rpj1GV7awIKUf1

Rysunek prostej c z zaznaczonymi na niej punktami U i K. Punkty D i L nie leżą na prostej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Spójrz na rysunek i rozstrzygnij, czy zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

RHVtrim8omiz6

Punkt $U$ nie należy do prostej $c$ .
Punkt $K$ należy do prostej $c$ .
Punkt $L$ nie należy do prostej $c$ .
Punkt $D$ należy do prostej $c$ .

static

Ćwiczenie 4

Rpj1GV7awIKUf1

Spójrz na rysunek i rozstrzygnij, czy zdania są prawdziwe, czy fałszywe.

RDbQjVfU5o5Bt

Punkt $U$ nie należy do prostej $c$ .
Punkt $K$ należy do prostej $c$ .
Punkt $L$ nie należy do prostej $c$ .
Punkt $D$ należy do prostej $c$ .

Ćwiczenie 5

Narysuj prostą $b$ . Zaznacz na niej punkt $S$ . Punkt $S$ podzielił prostą $b$ na dwie części. Pokoloruj jedną z nich.

Półprosta

Definicja: Półprosta

Dowolny punkt leżący na prostej dzieli tę prostą na dwie części. Każdą z tych części nazywamy półprostą. Każda półprosta ma początek, ale nie ma końca. Początkiem półprostej jest punkt dzielący prostą.

RlCkN2egeGGi81

Rysunek prostej k oraz półprostych m i n. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Najczęściej półprostą oznaczamy za pomocą dwóch wielkich liter, przy czym pierwsza litera zawsze oznacza początek półprostej.
R2oESQKVXhYDk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Półprostą można też oznaczyć małą literą.
RIpUQNSYyAIKW1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Zaznacz w zeszycie dwa punkty $G$ i $F$ . Połącz te punkty linią, rysowaną za pomocą linijki.
Narysowana figura to odcinek.

Ważne!

Każdy odcinek ma dwa końce.
Końce odcinka oznaczamy wielkimi literami. Odcinek możemy też oznaczyć jedną małą literą.
RR88W8auD3rBu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

R1VdKCyieCjIJ1

Ćwiczenie 7

Wypisz odcinki, które widzisz na rysunku. Policz, ile jest wszystkich odcinków.

RWm8UFh59FYvb1

Rysunek choinki zbudowanej z odcinków. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$19$

Ćwiczenie 8

Narysuj otwartą kopertę. Nie odrywaj ołówka od papieru i nie prowadź go dwa razy po tym samym odcinku (oprócz początku i końca odcinka).

Rw2AlD5UvNTw21

Rysunek otwartej koperty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Na ile sposobów można narysować otwartą kopertę bez odrywania ołówka od kartki papieru?

Ważne!

Łamana to figura zbudowana z odcinków. Koniec jednego odcinka może być początkiem drugiego odcinka, koniec drugiego odcinka jest początkiem trzeciego, itd.
Odcinki, z których zbudowana jest łamana, to boki łamanej.
Końce odcinków – to wierzchołki łamanej.
RPmKT5KAASjCv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
To jest łamana zwyczajna otwarta $SPORT$ . Ma ona $5$ wierzchołków. Boki tej łamanej nie przecinają się.

Ważne!

RrZyk2w2ekvme1

Rysunek łamanej zbudowanej z odcinków: JA, AC, CE, EK. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

To jest łamana wiązana. Boki tej łamanej przecinają się.

Ważne!

RKvpkOc82cuN71

Rysunek łamanej zbudowanej z odcinków: AM, ME, EL, LK, KA. Punkt A jest wspólny dla odcinków AM i KA. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

To jest łamana zwyczajna zamknięta $AKLEM .$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Która z figur to łamana?

RuibA2O8Fn4YE

static

Ćwiczenie 11

Narysuj dowolne łamane: zamkniętą i otwartą. Niech każda z nich składa się z $5$ odcinków.

classicmobile

Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RzkegZwJvPWB9

Prosta nie ma początku ani końca.
Półprosta nie ma początku, ale ma koniec.
Łamane mogą być otwarte lub zamknięte.
Odcinek ma początek, ale nie ma końca.
Punkty oznaczamy małymi literami.

static

Ćwiczenie 13

Na rysunku zaznaczono pięć punktów: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i $E$ .
Narysuj

odcinek $AC$
półproste $DB$ i $AE$
proste $CE$ i $AD$

Przyjrzyj się teraz rysunkowi i znajdź na nim wszystkie łamane, których wierzchołkami są nazwane punkty. Ile jest takich łamanych? Podaj ich nazwy i napisz, czy są to łamane otwarte, czy zamknięte.

RoxUbl1cLJBvF1

Rysunek pięciu punktów A, B, C, D i E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trening mistrza. Część II– ćwiczenia przed sprawdzianem

Proste i odcinki prostopadłe

Podstawowe figury geometryczne

Proste, półproste, odcinki