The teacher informs the students that during this lesson they will learn to distinguish between the convex polygonconvex polygonconvex polygon and the concave polygonconcave polygonconcave polygon. They will also calculate the areas of polygons in the coordinate system.
Discussion – which figures are called convex and concave? What kind of figure, convex or concave, is the line segment, the line, the circle and the circumference?
Task Using the internet resources, students find the examples of convex and concave polygons.
Together they order and summarise the collected information, on the basis of the drawings.
[Illustration 1]
In the blue polygons, each drawn line segment belongs to the interior of the polygonpolygonpolygon. In the green polygons we can draw the line segments whose ends are located inside the polygon, but are not entirely in its interior. The blue polygons are convex figures and green ones are concave.
Task Students work individually, using computers. Their task is to calculate the area of the polygonarea of the polygonarea of the polygon presented in the coordinate system.
[Geogebra applet]
Task Calculate the areas of the polygons.
[Illustration 2]
Solution: [Illustration 3]
Discussion – can you calculate the area of the concave polygonconvex polygonconcave polygon in a similar way? Students check their assumptions by doing the exercises.
Task Students calculate the area of the ABCDEF polygonpolygonpolygon where: A (-2; 2), B (-1: 3), C (3; 3), D (5; 2), E (5; -1), F (2; 2).
An extra task In the coordinate system, draw a polygonpolygonpolygon whose area is 28, which consist of a right‑angled triangle, a rectangle and a parallelogram.
Students do the revision exercises. Then together they sum‑up the classes, by formulating the conclusions to memorise.
Each line segment that connects two points of the convex polygonconvex polygonconvex polygon is located entirely inside the polygonpolygonpolygon.
If a polygonpolygonpolygon is not convex, then it is concave.
To make calculating the area of the polygonarea of the polygonarea of the polygon easier we can divide it into figures whose areas are easy to determine. We try to create the smallest number of figures.
Selected words and expressions used in the lesson plan
Aby łatwo można było policzyć pole wielokąta dzielimy go na takie figury, których pola łatwo jest wyznaczyć. Przy czym staramy się, aby tych figur było jak najmniej.
4) oblicza pola wielokątów metodą podziału na mniejsze wielokąty lub uzupełniania do większych wielokątów jak w sytuacjach.
mf2e9e0d75c5d5745_1528449068082_0
45 minut
mf2e9e0d75c5d5745_1528449523725_0
Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.
mf2e9e0d75c5d5745_1528449552113_0
1. Wykorzystanie własności wielokątów wypukłych i wklęsłych.
2. Obliczanie pól wielokątów w układzie współrzędnych.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
mf2e9e0d75c5d5745_1528450430307_0
Uczeń:
- wykorzystuje własności wielokątów wypukłych i wklęsłych,
- oblicza pola wielokątów w układzie współrzędnych.
mf2e9e0d75c5d5745_1528449534267_0
1. Dyskusja.
2. Analiza sytuacyjna.
mf2e9e0d75c5d5745_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
mf2e9e0d75c5d5745_1528450127855_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji dowiedzą się czym różni się wielokąt wypukły od wklęsłego. Będą również obliczać pola wielokątów w układzie współrzędnych.
Dyskusja – jakie figury nazywamy wypukłymi, a jakie wklęsłymi. Jaką figurą wklęsłą czy wypukłą jest odcinek, prosta, koło, okrąg?
mf2e9e0d75c5d5745_1528446435040_0
Polecenie Uczniowie, korzystając z zasobów internetowych zapoznają się z przykładami wielokątów wypukłych i wklęsłych.
Wspólnie podsumowują i porządkują zebrane informacje na podstawie rysunku.
[Ilustracja 1]
W niebieskich wielokątach każdy narysowany odcinek należy do wnętrza wielokąta. W wielokątach koloru zielonego można narysować odcinki, których końce leżą wewnątrz wielokąta, ale nie zawierają się one całkowicie w wielokącie. Wielokąty niebieskie to figury wypukłe. Wielokąty zielone – wklęsłe.
Wniosek, który powinni wyciągnąć uczniowie:
Każdy odcinek łączący dwa dowolne punkty należące do wielokąta wypukłego, jest całkowicie zawarty w tym wielokącie.
Podsumowaniem rozważań, jest wykonanie przez uczniów rysunków wielokątów wklęsłych oraz wielokątów wypukłych.
Polecenie Narysuj siedmiokąt wypukły i sześciokąt wklęsły.
Obliczanie pól wielokątów w układzie współrzędnych.
Aby łatwo można było policzyć pole wielokąta dzielimy go na takie figury, których pola łatwo jest wyznaczyć. Przy czym staramy się, aby tych figur było jak najmniej.
Polecenie Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputera. Ich zadaniem jest obliczanie pola wielokąta pojawiającego się w układzie współrzędnych.
[Geogebra aplet]
Polecenie Oblicz pola wielokątów.
[Ilustracja 2]
Rozwiązanie: [Ilustracja 3]
Dyskusja – czy w podobny sposób można obliczyć pole wielokąta wklęsłego?
Uczniowie sprawdzają swoje przypuszczenia, rozwiązując zadania.
Polecenie Uczniowie obliczaja pole wielokąta ABCDEF, gdzie A(-2;2), B(-1:3), C(3;3), D(5;2), E(5;-1), F(2;2).
Polecenie dla chętnych Narysuj w układzie współrzędnych wielokąt o polu 28, który będzie składał się z trójkąta prostokątnego, prostokąta i równoległoboku.
mf2e9e0d75c5d5745_1528450119332_0
Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia .
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.
Każdy odcinek łączący dwa dowolne punkty należące do wielokąta wypukłego, jest całkowicie zawarty w tym wielokącie.
Jeżeli wielokąt nie jest wypukły to mówimy, że jest wklęsły.
Aby można było policzyć pole wielokąta dzielimy go na takie figury, których pola łatwo jest wyznaczyć. Przy czym staramy się, aby tych figur było jak najmniej.