Bryły obrotowe - stożek

Stożek
Definicja: Stożek

Stożek to bryła, która powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

R1UY3oc8ZpxqP1
Animacja pokazuje stożek, który powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Zaznaczona wysokość stożka H, tworząca stożka l oraz promień podstawy stożka r.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dajy7psdP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R1d7qEZHUkRsP1
Animacja pokazuje stożek, w którym kolejno zaznaczamy elementy: oś obrotu, podstawę stożka, promień podstawy stożka, średnicę stożka, wierzchołek stożka, tworzącą stożka, wysokość stożka, powierzchnię boczną stożka, przekrój osiowy stożka, kąt rozwarcia stożka (w wierzchołku stożka) oraz kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy stożka. Tworzącą stożka jest każdy odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem na krawędzi płaszczyzny.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dajy7psdP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RSnGOH7sw5ahz1
Rysunek stożka z zaznaczonym wierzchołkiem, wysokością, środkiem podstawy, podstawą, promieniem podstawy, tworzącą stożka.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

  • Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

Pc=πr2+πrl=πrr+l

  • Objętość stożka jest równa:

V=13πr2H

Siatka stożka

RGBRUnEyn5G4R1
Animacja 3D pokazuje stojące na drodze pachołki drogowe w kształcie stożka. Kreślone są krawędzie jednego pachołka - powstaje stożek, który następnie rozkłada się na siatkę stożka.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje stojące na drodze pachołki drogowe w kształcie stożka. Kreślone są krawędzie jednego pachołka - powstaje stożek, który następnie rozkłada się na siatkę stożka.

Siatka stożka

Rh5oj13tw4Ks91
Animacja 3D pokazuje siatkę stożka, która następnie składa się w stożek. Stożek zamienia się w pachołek drogowy. Na drodze stoją cztery pachołki.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja 3D pokazuje siatkę stożka, która następnie składa się w stożek. Stożek zamienia się w pachołek drogowy. Na drodze stoją cztery pachołki.

iE1kVs6MKf_d5e167
Przykład 1

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 cm i 9 cm obraca się wokół dłuższego boku. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanego w ten sposób stożka.

R1Yj2WpM0U3431
Animacja ilustruje obliczanie pola powierzchni całkowitej objętości stożka. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 4 cm i 9 cm, który obraca się wokół dłuższego boku tworząc stożek. Tworząca stożka ma długość l. Wysokość stożka jest równa dłuższej przyprostokątnej, czyli H = 9 cm. Promień podstawy stożka jest równy krótszej przyprostokątnej, czyli r = 4 cm. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość tworzącej stożka. l kwadrat = 4 kwadrat + 9 kwadrat. Zatem l kwadrat = 97, czyli l = pierwiastek z dziewięćdziesięciu siedmiu. Wobec tego objętość stożka V = jedna trzecia pi r kwadrat razy H = jedna trzecia razy 4 kwadrat razy 9 pi = 1444 pi centymetrów sześciennych. Pole powierzchni całkowitej stożka P indeks dolny c = 2 pi r razy (r + l) = 2 pi razy 4 razy (4 + pierwiastek z dziewięćdziesięciu siedmiu) = 8 pi razy (4 + pierwiastek z dziewięćdziesięciu siedmiu) centymetrów kwadratowych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dajy7psdP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2

Przykrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna jest równa 8 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej stożka.

R7sKYgpVPUHSV1
Animacja ilustruje obliczanie objętości i pola powierzchni całkowitej stożka o wysokości H i promieniu podstawy r. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna jest równa 8 cm. Przyprostokątne trójkąta są jednocześnie tworzącymi stożka. Wynika z tego, że przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym. Przeciwprostokątna jest równa średnicy stożka, czyli 8 = 2r, więc promień podstawy r = 4 cm. Z własności trójkąta równoramiennego wynika, że H = r = 4 cm oraz l = r razy pierwiastek z dwóch = 4 pierwiastki dwóch centymetrów. Objętość stożka V = jedna trzecia pi r kwadrat razy H = jedna trzecia pi razy 4 kwadrat razy 4 = sześćdziesiąt cztery trzecie pi centymetrów sześciennych. Pole powierzchni bocznej P indeks dolny b = 2 pi r razy l = 2 pi razy 4 razy 4 pierwiastki z dwóch = 32 pierwiastki z dwóch pi centymetrów kwadratowych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dajy7psdP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 3

Pole podstawy stożka jest równe 48π cm2 , a jego tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α , takim, że tgα=47 . Oblicz objętość stożka.

Rk2eRddMKaucK1
Animacja ilustruje obliczanie objętości stożka o wysokości H i promieniu podstawy r. Tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa takim, ze tangens alfa = cztery siódme. Pole podstawy stożka P indeks dolny p = 48 pi centymetrów kwadratowych, czyli pi r kwadrat = 48 pi. Zatem promień podstawy r = 4 pierwiastki z trzech centymetrów. Z definicji funkcji trygonometrycznych trójkącie prostokątnym otrzymujemy tangens alfa = H dzielone przez r, czyli cztery siódme = H dzielone przez 4 pierwiastki z trzech. Wynika z tego, że H = szesnaście siódmych pierwiastka z trzech centymetrów. Obliczamy objętość stożka V = jedna trzecia pi r kwadrat razy H = jedna trzecia pi razy (4 pierwiastki z trzech) do kwadratu razy szesnaście siódmych pierwiastka z trzech = siedemset sześćdziesiąt osiem dwudziestych pierwszych pierwiastka z trzech centymetrów sześciennych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dajy7psdP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4

Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła stanowiącym 23 koła o promieniu 9 cm.

RTzlC5RThBnbq1
Animacja ilustruje obliczanie objętości stożka o wysokości H i promieniu podstawy r. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła stanowiącym dwie trzecie koła o promieniu 9 cm. Powierzchnia stożka została zwinięta z dwóch trzecich koła o promieniu r, więc łuk tworzący ten wycinek stanowi dwie trzecie długości okręgu L= dwie trzecie razy 2 pi razy 9 = 12 pi centymetrów. Po zwinięciu powierzchni bocznej stożka łuk ten będzie tworzył krawędź podstawy. Wynika z tego, że długość łuku jest równa długości okręgu stanowiącego podstawę stożka 12 pi = 2 pi r, czyli r = 6 cm. Promień wycinka koła jest jednocześnie tworzącą stożka. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość stożka 9 kwadrat = 6 kwadrat + H kwadrat, czyli H = pierwiastek z czterdziestu pięciu = 3 pierwiastki z pięciu centymetrów. Objętość stożka V = jedna trzecia pi r kwadrat razy H = jedna trzecia pi razy 6 kwadrat razy 3 pierwiastki z pięciu = 36 pi pierwiastków z pięciu centymetrów sześciennych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dajy7psdP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iE1kVs6MKf_d5e227
B
Ćwiczenie 1

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu 483 dm2. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka.

B
Ćwiczenie 2

Trójkąt o przeciwprostokątnej długości 83 cm obrócono wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Kąt rozwarcia otrzymanego w ten sposób stożka jest równy 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

B
Ćwiczenie 3

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest półkolem o promieniu 14 cm. Oblicz objętość stożka.

B
Ćwiczenie 4

Koło o średnicy 24 cm podzielono na dwa wycinki koła w ten sposób, że jeden z nich stanowi 15 drugiego. Z obu wycinków utworzono powierzchnie boczne stożków. Niech V1 oznacza objętość stożka utworzonego z większego wycinka, V2 – objętość stożka utworzonego z mniejszego wycinka. Wyznacz stosunek V1V2.

B
Ćwiczenie 5

Podstawą stożka jest koło o polu 12π cm2. Pole powierzchni bocznej jest 2 razy większe od pola podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.

B
Ćwiczenie 6

Walec i stożek mają równe promienie podstawy r i wysokości H. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola powierzchni bocznej stożka.

B
Ćwiczenie 7

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość otrzymanej w ten sposób bryły.

B
Ćwiczenie 8

Stożek o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 8 cm przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy przechodzącą przez środek wysokości stożka. Oblicz stosunek objętości brył na jakie został podzielony stożek.

A
Ćwiczenie 9
R4Q6FgBK1w7o91
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 10
RCRcUhh62Kk6e1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Bryły obrotowe - walec
Bryły w 3D