Punkt $P=\left(-1;y\right)$ leży na końcowym ramieniu kątaramię końcowe kąta skierowanegokońcowym ramieniu kąta $120°$. Obliczymy drugą współrzędną tego punku.

Rozwiązanie

Oznaczymy przez $r$ długość promienia wodzącego punktu $P$.

Ponieważ znamy wartość odciętej punktu $P$, to korzystamy z definicji cosinusa: $\cos 120°=\frac{x}{r}$.

Mamy więc $\frac{x}{r}=-\frac{1}{2}$ i $x=-1$, zatem $\frac{-1}{r}=-\frac{1}{2}$, więc $r=2$.

Do wyznaczenia wartości rzędnej punktu $P$ wykorzystamy definicję sinusa kąta: $\sin 120°=\frac{y}{r}$.

Mamy więc $\frac{y}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $r=2$, co daje: $\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, stąd $y=\sqrt{3}$.

Współrzędną „$y$” możemy wyznaczyć także ze wzoru: $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Po jego przekształceniu otrzymamy: $y^2=r^2-x^2$. Podstawiając $x=-1$ i $r=2$ otrzymamy:

$y^2=2^2-{\left(-1\right)}^2=3$.

Są dwie liczby których kwadrat wynosi $3$:

$\sqrt{3}$ i $-\sqrt{3}$

a ponieważ punkt $P$ znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, gdzie $y>0$, więc $y=\sqrt{3}$.

Odpowiedź:

Druga współrzędna punktu $P$ wynosi $\sqrt{3}$.

Punkt $P=\left(x;y\right)$ leży na końcowym ramieniu kąta $135°$. Wiedząc, że promień wodzący tego punktu: $r=3\sqrt{2}$, obliczymy współrzędne punktu $P$.

Rozwiązanie

Ponieważ znamy długość promienia wodzącego punktu $P$, to do wyznaczenia wartości rzędnej tego punktu wykorzystamy definicję funkcji sinus: $\sin 135°=\frac{y}{r}$.

Skoro $r=3\sqrt{2}$, to zachodzi równość $\frac{y}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Po przekształceniu otrzymujemy, że $y=\frac{\sqrt{2}}{2}·3\sqrt{2 }$, czyli $y=\frac{\sqrt{2}·3\sqrt{2}}{2}=\frac{3·2}{2}=3$.

Do wyznaczenia wartości odciętej punktu $P$ wykorzystamy definicję cosinusa: $\cos 135°=\frac{x}{r}$.

Mamy zatem $\frac{x}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, więc po przekształceniu otrzymujemy, że:

$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}·3\sqrt{2} =-\frac{\sqrt{2}·3\sqrt{2}}{2}=-\frac{3·2}{2}=-3$

Ostatecznie: $P=\left(-3;3\right)$.

Inne sposoby wyznaczenia współrzędnej „$x$”:

Znając wartość $y$ możemy wyliczyć wartość $x$ również ze wzoru: $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

Po przekształceniu wzoru otrzymamy: $x^2=r^2-y^2$, a podstawiając $y=3$ i $r=3\sqrt{2}$ otrzymujemy:

$x^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2-{\left(3\right)}^2=18-9=9$

Są dwie liczby, których kwadrat wynosi $9$: $3$ i $\left(-3\right)$, a ponieważ w drugiej ćwiartce układu współrzędnych $x<0$, więc $x=-3$.

Możemy również wykorzystać fakt, że przyprostokątne w trójkącie prostokątnym równoramiennym są równe, więc $x=-y$ (bo w $\text{II}$ ćwiartce układu współrzędnych $x<0$), czyli $x=-3$.

Odpowiedź:

$P=\left(-3;3\right)$.

Obliczymy wartość wyrażenia: $\frac{\sqrt{3}\cos 150°+\sqrt{2}\sin 135°}{{\mathrm{tg}}^{2}150°}$.

Rozwiązanie

$\frac{\sqrt{3}\cos 150°+\sqrt{2}\sin 135°}{{\mathrm{tg}}^{2}150°}=\frac{\sqrt{3}·\left({\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}}\right)+\sqrt{2}·{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}{{\left({\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{3}}\right)}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{-3}{2}+\frac{2}{2}}}{{\displaystyle \frac{3}{9}}}=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=-\frac{1}{2}·3=-\frac{3}{2}$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia wynosi $\left(-\frac{3}{2}\right)$.

Obliczymy wartość ułamka: $\frac{9\sin 150°+4\cos 120°}{3\sin 150°-2\cos 120°}$.

Rozwiązanie

$\frac{9\sin 150°+4\cos 120°}{3\sin 150°-2\cos 120°}=\frac{9·{\displaystyle \frac{1}{2}}+4·\left({\displaystyle \frac{-1}{2}}\right)}{3·{\displaystyle \frac{1}{2}}-2·\left(\frac{-1}{2}\right)}=\frac{{\displaystyle \frac{9}{2}-\frac{4}{2}}}{{\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{2}{2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{{\displaystyle \frac{5}{2}}}=1$

Odpowiedź:

Wartość ułamka wynosi $1$.

para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego

drugie ramię kąta skierowanego