1) applies the definitions of the sine, cosine and tangent function of angles between 0° and 180°, in particular finds the value of trigonometric functions for angles 30°, 45°, 60°;
2) finds approximate values of trigonometric functions using the tables or a calculator;
3) finds approximate value of an angle using the tables or a calculator if the value of trigonometric functions is given.
Working in groups, the students use the diamond ranking technique to put the information about the similarity of right triangles in order. Having finished, they present their posters. The teacher verifies their information and explains any doubts.
The teacher gives the aim of the lesson – getting to know two trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions called the sinesinesine and cosinecosinecosine.
The teacher informs the students that the ratio of the lengths of the sides od a right triangleright triangleright triangle got their own names.
The definition.
[Illustration 1]
- In a right triangleright triangleright triangle the ratio of the length of leglegleg opposite angle α and the length of the hypotenuse is called the sinesinesine of an acute angle α. It is indicated as sin α.
- In a right triangleright triangleright triangle the ratio of the length of the leglegleg adjacent to angle α and the length of the hypotenuse is called the cosinecosinecosine of an acute angle α. It is indicated as cos α.
Using the definition above the students solve the tasks individually.
Task A right triangleright triangleright triangle with the following lengths of sides are given:
a) 6, 8, 10,
b) 5, 12, 13,
c) 3, 6, .
Calculate the value of the sinesinesine and cosinecosinecosine functions of the acute angles in this triangle.
Discussion – what may be the values of the sinesinesine and cosinecosinecosine of an acute angle?
The students analyse the material presented in the applet. They formulate their conclusions.
Task Analyse the material presented in the applet. Change the measures of the angle and observe the changes of the value of the sinesinesine and cosinecosinecosine functions. What do you notice? Write down your conclusions.
[Geogebra applet]
Conclusion:
- With the increase of the measure of an acute angle, the value of the cosinecosinecosine decreases.
- For any acute angle α the inequalities are true:
0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.
Task Find the sinesinesine and cosinecosinecosine functions of both acute angles in the right triangleright triangleright triangle presented in the diagram. What do you notice? Write down your conclusions.
[Illustration 2]
Conclusion:
- For any acute angle α the equalities are true:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Using the new information, the students solve the tasks individually.
Task Calculate the value of trigonometric function of the acute angles in the right triangleright triangleright triangle whose one of the legs is three times longer than the other leglegleg.
Task Make such angle α, α ∈ (0,90°), for which .
Having solved all the tasks, the students present their results. The teacher assesses their work and explains the doubts.
An extra task: Using the data in the diagram below, calculate the value of .
- In a right triangleright triangleright triangle the ratio of the length of leglegleg opposite angle α and the length of the hypotenuse is called the sinesinesine of an acute angle α. It is indicated as sin α.
- In a right triangleright triangleright triangle the ratio of the length of the leglegleg adjacent to angle α and the length of the hypotenuse is called the cosinecosinecosine of an acute angle α. It is indicated as cos α.
- With the increase of the measure of an acute angle, the value of the cosinecosinecosine decreases.
- For any acute angle α the inequalities are true:
0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.
- For any acute angle α the equalities are true:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Selected words and expressions used in the lesson plan
Przekątna prostokąta o bokach długości 15 cm i 25 cm dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.
1) wykorzystuje definicje funkcji sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;
3) znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej.
mbbd569e65a3e9ee0_1528449068082_0
45 minut
mbbd569e65a3e9ee0_1528449523725_0
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
mbbd569e65a3e9ee0_1528449552113_0
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
2. Poznanie definicji funkcji sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
3. Obliczanie wartości funkcji sinus i cosinus kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.
mbbd569e65a3e9ee0_1528450430307_0
Uczeń:
- poznaje definicje funkcji sinus i cosinus kątów ostrych w trójkącie prostokątnym,
- oblicza wartości funkcji sinus i cosinus kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.
mbbd569e65a3e9ee0_1528449534267_0
1. Diamentowe uszeregowanie.
2. Analiza sytuacyjna.
mbbd569e65a3e9ee0_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca w małych grupach.
mbbd569e65a3e9ee0_1528450127855_0
Uczniowie, pracując w grupach, metodą diamentowego uszeregowania, porządkują wiadomości na temat podobieństwa trójkątów prostokątnych. Po zakończonej pracy prezentują swoje plansze. Nauczyciel weryfikuje zebrane informacje, wyjaśnia wątpliwości.
mbbd569e65a3e9ee0_1528446435040_0
Nauczyciel podaje cel lekcji - poznanie definicji dwóch funkcji trygonometrycznych zwanych sinus i cosinus.
Nauczyciel informuje uczniów, że stosunki długości boków trójkąta prostokątnego otrzymały własne nazwy.
Definicja
[Ilustracja 1]
W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do długości przeciwprostokątnej nazywamy sinusem kąta ostrego α. Oznaczamy go sin α.
W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej nazywamy cosinusem kąta ostrego α. Oznaczamy go cos α.
Korzystając z powyższej definicji, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadanie.
Polecenie Dany jest trójkąt prostokątny, o bokach długości:
a) 6, 8, 10,
b) 5, 12, 13,
c) 3, 6, .
Oblicz wartości funkcji sinus i cosinus kątów ostrych tego trójkąta.
Dyskusja – jakie wartości mogą przyjmować funkcje sinus i cosinus kąta ostrego?
Uczniowie analizując materiał przedstawiony w aplecie. Formułują wniosek.
Polecenie Przeanalizuj materiał przedstawiony w aplecie. Zmieniaj miary kąta i obserwuj zmiany wartości funkcji sinus i cosinus. Co zauważasz? Zanotuj odpowiedni wniosek.
[Geogebra aplet]
Wniosek:
- Wraz ze wzrostem miary kąta ostrego wzrasta wartość sinusa, a maleje wartość cosinusa.
- Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:
0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.
Polecenie Wyznacz funkcje sinus i cosinus obu kątów ostrych w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku. Co zauważasz? Zanotuj odpowiedni wniosek.
[Ilustracja 2]
Wniosek:
- Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Korzystając z nowych wiadomości uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.
Polecenie Przekątna prostokąta o bokach długości 15 cm i 25 cm dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.
Polecenie Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej.
Polecenie Zbuduj taki kąt α, α ∈ (0, 90°), dla którego .
Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia ich prace, wyjaśnia wątpliwości.
Polecenie dla chętnych: Wykorzystując dane z rysunku poniżej, oblicz wartość wyrażenia .
[Ilustracja 3]
mbbd569e65a3e9ee0_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.
- W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do długości przeciwprostokątnej nazywamy sinusem kąta ostrego α. Oznaczamy go sin α.
- W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej nazywamy cosinusem kąta ostrego α. Oznaczamy go cos α.
- Wraz ze wzrostem miary kąta ostrego wzrasta wartość sinusa, a maleje wartość cosinusa.
- Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:
0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.
- Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
trigonometric functions1
trigonometric functions
funkcje trygonometryczne
R57RwiZOwsoW21
wymowa w języku angielskim: trigonometric functions
wymowa w języku angielskim: trigonometric functions