classicmobile

Ćwiczenie 1

R1Nnj4a5PeGjn1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wybierz właściwe stwierdzenia określające wzajemne położenie punktów $A$ , $S$ i $A' .$

R7Soe2076B6mI

Punkt $A'$ leży na półprostej $AS$ .
Punkt $A$ leży na półprostej $SA'$ .
Punkt $S$ jest środkiem odcinka $A A^{'}$ .
Długość odcinka $AS$ jest równa długości odcinka $SA'$ .
Punkt $A'$ jest środkiem odcinka $AS$ .

static

Ćwiczenie 1

R1Nnj4a5PeGjn1

Wybierz właściwe stwierdzenia określające wzajemne położenie punktów $A$ , $S$ i $A' .$

R1EB8vM71RhNq

Punkt $A'$ leży na półprostej $AS$ .
Punkt $A$ leży na półprostej $SA'$ .
Punkt $S$ jest środkiem odcinka $A A^{'}$ .
Długość odcinka $AS$ jest równa długości odcinka $SA'$ .
Punkt $A'$ jest środkiem odcinka $AS$ .

Symetria środkowa

Definicja: Symetria środkowa

Punkt $A'$ jest symetryczny do punktu $A$ względem punktu $S (A'$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem punktu $S)$ jeżeli

leży na prostej $AS$ po przeciwnej stronie punktu $S$ niż punkt $A$
jego odległość od punktu $S$ jest równa odległości punktu $A$ od punktu $S$ .

Symetrię względem punktu nazywamy symetrią środkową.

Ważne!

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AA'$ .
Obrazem punktu $S$ w symetrii względem tego punktu jest punkt $S (S ’ = S)$ .
Jeżeli punkt $A'$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem punktu $S$ , to punkt $A$ jest obrazem punktu $A^{'}$ w tej samej symetrii.

Przykład 1

Skonstruujemy punkt symetryczny do punktu $A$ względem danego punktu $S$ .

R164idnS7gJEq1

Opis konstrukcji:

Kreślimy półprostą $AS$ .
Wykreślamy łuk o środku w punkcie $S$ i promieniu $SA$ .
Punkt przecięcia tego łuku z półprostą $AS$ oznaczamy $A’$ . Jest on poszukiwanym obrazem punktu $A$ w symetrii środkowej względem $S$ .

RMsoy9aM0K4P41

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DcUZEe8XT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iSDVscdaIQ_d5e259

Figury symetryczne względem punktu

Ciekawostka

RctH8myjQnj6j1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DcUZEe8XT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 2

Figury $M_{1}$ i $M_{2}$ przedstawione na rysunku są symetryczne względem punktu $S$ . Oznacza to, że każdy punkt figury $M_{1}$ jest obrazem odpowiedniego punktu należącego do figury $M$ w symetrii względem punktu $S$ .

Rcco5GsFBFuOO1

Rysunek figur M i M z indeksem dolnym jeden symetrycznej do M względem punktu S. Do figury M z indeksem dolnym jeden należą punkty A z indeksem dolnym jeden, B z indeksem dolnym jeden, C z indeksem dolnym jeden, które są obrazem punktów A, B i C figury M w symetrii względem punktu S. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

R1XbltVAfmUx81

Ważne!

W symetrii środkowej obrazem:

odcinka jest odcinek tej samej długości,
koła jest koło o tym samym promieniu,
wielokąta jest wielokąt o tym samym kształcie, obwodzie i polu.
Jeżeli $F'$ jest obrazem figury $F$ w symetrii względem punktu $S$ , to figura $F$ jest obrazem figury $F'$ w tej samej symetrii.

Przykłady figur symetrycznych względem punktu

Przykład 4

Oto przykłady figur środkowosymetrycznych.

R3R4fLWqoE5cr1

Rysunek kwadratu, sześciokąta foremnego i ośmiokąta foremnego. W wielokątach zaznaczone punkty S (środki symetrii). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Część figury składającej się z ośmiu łuków przekształcono w symetrii względem punktu $S$ .
Dokończ to przekształcenie, przemieszczając odpowiednie łuki.
Łuki można przemieszczać, zaczepiając kursor za punkty wyróżnione czerwonym kolorem.

R1eM6jbcdp2ad1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DcUZEe8XT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iSDVscdaIQ_d5e391

Ćwiczenie 3

Narysuj dowolny trójkąt $ABC$ . Znajdź obraz tego trójkąta w symetrii względem punktu

będącego jednym z jego wierzchołków
leżącego wewnątrz trójkąta
leżącego na zewnątrz trójkąta
leżącego na jednym z boków trójkąta
leżącego na jednej z wysokości trójkąta

Ćwiczenie 4

Znajdź obraz kwadratu o polu $25 {cm}^{2}$ w symetrii względem punktu, będącego środkiem jednego z jego boków. Oblicz pole figury, składającej się z kwadratu i jego obrazu.

Prostokąt o polu $50 {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 5

Dany jest prostokąt $ABCD$ , w którym $|AB| = 12 cm, |AD| = 9 cm$ . Punkt $S$ dzieli bok $AB$ w stosunku $3 : 1$ licząc od wierzchołka $A$ . Obrazem prostokąta $ABCD$ w symetrii względem punktu $S$ jest prostokąt $A’B’C’D’$ . Wyznacz długość odcinka $B’B$ będącego częścią wspólną prostokąta i jego obrazu. Oblicz obwód figury $AB’C’D’A’BCD$ .

Długość odcinka $BB’$ wynosi $6 cm$ . Obwód figury $AB’C’D’A’BCD$ wynosi $72 cm$ .

Ćwiczenie 6

Pole rombu $ABCD$ jest równe $18 {cm}^{2}$ . Przekształcono ten romb przez symetrię względem punktu $C$ , otrzymując romb $A’B’C’D’$ . Następnie przekształcono romb $ABCD$ przez symetrię względem punktu $D$ , uzyskując romb $A''B''C''D''$ . Oblicz pole wielokąta $ABD'A'B''C''$ .

Pole wielokąta wynosi $90 {cm}^{2}$ .

classicmobile

Ćwiczenie 7

Który z punktów jest symetryczny do punktu $X$ względem punktu $S$ ?

R1CM6OUDOeeaz1

Dany jest punkt symetrii S. Zaznaczone punkty X, L, Y, M, K, P. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JUeY378KKh7

punkt $P$
punkt $K$
punkt $M$
punkt $L$

static

Ćwiczenie 7

Który z punktów jest symetryczny do punktu $X$ względem punktu $S$ ?

R1CM6OUDOeeaz1

RiHAanR3tERBp

punkt $P$
punkt $K$
punkt $M$
punkt $L$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ranq29MEjiLFA

Każde dwa równe odcinki są symetryczne względem pewnego punktu
Każde dwa trójkąty równoboczne o bokach tej samej długości są symetryczne względem pewnego punktu
Każde dwa koła o promieniach tej samej długości są symetryczne względem pewnego punktu
Każde dwa romby o bokach tej samej długości i kątach tej samej miary są symetryczne względem pewnego punktu

static

Ćwiczenie 9

Narysuj dowolny trapez $ABCD$ nie będący równoległobokiem. Znajdź obraz tego trapezu w symetrii względem punktu przecięcia jego przekątnych.

Ćwiczenie 10

Narysuj dwa równoległe i równe odcinki $KL$ i $MN$ . Znajdź punkt $S$ , względem którego odcinek $KL$ jest symetryczny do odcinka $MN$ .

Ćwiczenie 11

Narysuj dwie proste równoległe $a$ i $b$ . Znajdź punkt $S$ , względem którego prosta $a$ będzie symetryczna do prostej $b$ . Czy istnieje tylko jeden taki punkt?

Wskazówka
Istnieje nieskończenie wiele punktów względem, których proste równoległe $a$ i $b$ są do siebie symetryczne.

Figury osiowosymetryczne

Figury środkowosymetryczne

Symetria względem punktu

Figury symetryczne względem punktu

Przykłady figur symetrycznych względem punktu