You will develop the following competences: communicating in English, mathematical and basic competences in science, technology and IT, as well as you will develop your learning skills.
You will learn the definition of numerical intervals.
You will learn how to select and plot numerical intervals on a number line.
Learning effect
You will learn the definition of numerical intervals.
You will learn to mark numerical intervals on the number line.
Review your knowledge of solving inequalities and the methods of presenting the sets of solutions on the number linenumber linenumber line.
The aim of the lesson is to learn about the numerical intervals and plotting them on the number linenumber linenumber line.
In available sources, look for the definition of a numerical intervalnumerical intervalnumerical interval. Write down the appropriate conclusion.
Conclusion:
The numerical intervalnumerical intervalnumerical interval is a set of all real numbers that meet the inequality of the form a < x < b, x > a, b > a or similar non‑sharp inequalities. The numbers a and b (a < b) are real numbersreal numbersreal numbers.
The open interval at the endpoints of a, b (a < b) is the set of all real numbersreal numbersreal numbers that are greater than a and at the same time less than b.
A symbolic notation: a < x < b we write as (a, b).
The closed interval at the endpoints of a, b is the set of all real numbersreal numbersreal numbers that are not less than a (i.e. greater than a or equal to a) and at the same time not greater than b (i.e. less than b or equal to b).
Think - Are all numerical intervals divided into open and closed ones? Make hypotheses, check them by analyzing the material presented in the interactive illustration. Formulate the conclusion.
R1Z5UF4f8BwA7
Ilustracja interaktywna przedstawia cztery poziome osie, każda podpisana x. Na pierwszej osi w punkcie o współrzędnej a niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od a. Zapis oznaczony numerem 1: w nawiasie otwartym a, plus nieskończoność oraz x większe od a. Na drugiej osi w punkcie o współrzędnej a zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe a. Zapis oznaczony numerem 2: w nawiasie domkniętym lewostronnie a, plus nieskończoność oraz x większe lub równe a. Na trzeciej osi w punkcie o współrzędnej a niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby mniejsze od a. Zapis oznaczony numerem 3: w nawiasie otwartym minus nieskończoność, a oraz x mniejsze od a. Na czwartej osi w punkcie o współrzędnej a zamalowane kółko. Zaznaczone liczby mniejsze lub równe a. Zapis oznaczony numerem 4: w nawiasie prawostronnie domkniętym minus nieskończoność, a oraz x mniejsze lub równe a. Na numerach widoczne są podpisy. 1. The set of numbers satisfying inequality x > a is called an infinite left-hand side limit. This interval is marked (a, ∞). {audio}, 2. The set of numbers satisfying the inequality x ≥ a is called the infinite left-handed limit. This interval is designated as ⟨a, ∞). {audio}, 3. The set of numbers x satisfying inequality x < a is called an infinite open limit. This interval is marked (-∞, a). {audio}, 4. The set of x numbers that meet inequality x ≤ a is called an infinite right-hand limit. This interval is marked as (-∞, a⟩. {audio}.
Ilustracja interaktywna przedstawia cztery poziome osie, każda podpisana x. Na pierwszej osi w punkcie o współrzędnej a niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od a. Zapis oznaczony numerem 1: w nawiasie otwartym a, plus nieskończoność oraz x większe od a. Na drugiej osi w punkcie o współrzędnej a zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe a. Zapis oznaczony numerem 2: w nawiasie domkniętym lewostronnie a, plus nieskończoność oraz x większe lub równe a. Na trzeciej osi w punkcie o współrzędnej a niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby mniejsze od a. Zapis oznaczony numerem 3: w nawiasie otwartym minus nieskończoność, a oraz x mniejsze od a. Na czwartej osi w punkcie o współrzędnej a zamalowane kółko. Zaznaczone liczby mniejsze lub równe a. Zapis oznaczony numerem 4: w nawiasie prawostronnie domkniętym minus nieskończoność, a oraz x mniejsze lub równe a. Na numerach widoczne są podpisy. 1. The set of numbers satisfying inequality x > a is called an infinite left-hand side limit. This interval is marked (a, ∞). {audio}, 2. The set of numbers satisfying the inequality x ≥ a is called the infinite left-handed limit. This interval is designated as ⟨a, ∞). {audio}, 3. The set of numbers x satisfying inequality x < a is called an infinite open limit. This interval is marked (-∞, a). {audio}, 4. The set of x numbers that meet inequality x ≤ a is called an infinite right-hand limit. This interval is marked as (-∞, a⟩. {audio}.
In the case where both endpoints of a numerical intervalnumerical intervalnumerical interval are numbers, the numerical interval is called a closed interval, otherwise the numerical intervalnumerical intervalnumerical interval is open and is called an infinite intervalinfinite intervalinfinite interval.
Complete according to the formula: ''if , then '', or ''if , then ''.
Podpunkt a) jeżeli iks należy do przedział lewostronnie domknięty w nim minus sześć przecinek zero zamknąć przedział przecinek to [tu uzupełnij]. Podpunkt b) jeżeli iks należy do przedział lewostronnie domknięty w nim minus jeden przecinek pięć zamknąć przedział przecinek to [tu uzupełnij]. Podpunkt c) jeżeli iks należy do przedział obustronnie domknięty w nim minus sześć przecinek dziewięć zamknąć przedział przecinek to [tu uzupełnij]. Podpunkt d) jeżeli iks należy do przedział lewostronnie domknięty w nim cztery przecinek nieskończoność zamknąć przedział przecinek to [tu uzupełnij].
Podpunkt a) jeżeli iks należy do przedział lewostronnie domknięty w nim minus sześć przecinek zero zamknąć przedział przecinek to [tu uzupełnij]. Podpunkt b) jeżeli iks należy do przedział lewostronnie domknięty w nim minus jeden przecinek pięć zamknąć przedział przecinek to [tu uzupełnij]. Podpunkt c) jeżeli iks należy do przedział obustronnie domknięty w nim minus sześć przecinek dziewięć zamknąć przedział przecinek to [tu uzupełnij]. Podpunkt d) jeżeli iks należy do przedział lewostronnie domknięty w nim cztery przecinek nieskończoność zamknąć przedział przecinek to [tu uzupełnij].
The numerical intervalnumerical intervalnumerical interval is a set of all real numbers that meet the inequality of the form a < x < b, x > a, b > a or similar non‑sharp inequalities. The numbers a and b (a < b) are real numbersreal numbersreal numbers.
An open interval at the endpoints of a, b (a < b) is the set of all real numbers that are greater than a and at the same time less than b.
The closed interval at the endpoints of a, b (a ≤ b) is the set of all real numbersreal numbersreal numbers that are not less than a (i.e., greater than a or equal to a) and at the same time not greater than b (i.e. less than b or equal to b).
In the case where both endpoints of a numerical intervalnumerical intervalnumerical interval are numbers, the numerical interval is called a finite intervalfinite intervalfinite interval, otherwise the numerical interval is unlimited and is called an infinite intervalinfinite intervalinfinite interval.
Exercises
Ruq2dFZwkdpF1
Exercise 1
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentence is true. Możliwe odpowiedzi: 1. Number belongs to the interval ., 2. 6 integers belong to the interval .
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentence is true. Możliwe odpowiedzi: 1. Number belongs to the interval ., 2. 6 integers belong to the interval .
Determine which sentence is true.
Number belongs to the interval .
6 integers belong to the interval .
RNyrAi49wOMds
Exercise 2
Wersja alternatywna ćwiczenia: An interval is given . Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. We can present this interval also as ., 2. 6 natural numbers belong to this interval., 3. We can present this interval as .
Wersja alternatywna ćwiczenia: An interval is given . Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. We can present this interval also as ., 2. 6 natural numbers belong to this interval., 3. We can present this interval as .
An interval is given . Determine which sentences are true.
We can present this interval also as .
6 natural numbers belong to this interval.
We can present this interval as .
Exercise 3
Describe in English what numerical intervals we call infinite left‑closed intervals.
Rfd1CQ7XIxfdu
Exercise 4
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. liczby rzeczywiste - real numbers, 2. przedział liczbowy - numerical interval, 3. podzbiór zbioru liczb rzeczywistych - subset of a set of real numbers, 4. przedział ograniczony - finite interval, 5. przedział nieograniczony - finite interval, 6. przedział liczbowy - subset of a set of real numbers
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. liczby rzeczywiste - real numbers, 2. przedział liczbowy - numerical interval, 3. podzbiór zbioru liczb rzeczywistych - subset of a set of real numbers, 4. przedział ograniczony - finite interval, 5. przedział nieograniczony - finite interval, 6. przedział liczbowy - subset of a set of real numbers
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
liczby rzeczywiste - real numbers
przedział liczbowy - numerical interval
podzbiór zbioru liczb rzeczywistych - subset of a set of real numbers
przedział ograniczony - finite interval
przedział nieograniczony - finite interval
przedział liczbowy - subset of a set of real numbers
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RELsaa0Ik9aBx1
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
podzbiór zbioru liczb rzeczywistych
numerical interval
subset of a set of real numbers
przedział liczbowy
liczby rzeczywiste
infinite interval
przedział nieograniczony
przedział ograniczony
real numbers
finite interval
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.