2) uses the letter marking of unknown figures and writes down simple algebraic expressions on the basis of the information filled in with a practical content, e.g. writes the perimeterperimeterperimeter of the triangletriangletriangle with the sides: a, a + 2, b;
XI. Calculation in geometry. The student:
1) calculates the perimeterperimeterperimeter of the polygon with the given sides;
2) calculates the areaareaarea of: the triangle, the squaresquaresquare, the rectanglerectanglerectangle, the rhombus, the parallelogram and the trapezium, presented in the figure and in practical situations, including data which require the conversion of units and in situations in which the dimensions are not typical, e.g. the areaareaarea of a triangletriangletriangle with side of 1 km and the altitude of 1 mm.
The student also brings the figures cut out of colourful cardboard:
- two circles with the diameter of 4 cm, cut out into halves (4 semi‑circles),
- three rectangles with the dimensions of 4 cm and 5 cm.
The teacher repeats the notion of an algebraic expressionalgebraic expressionalgebraic expression. The expressions in which (apart from numbers, signs and brackets) the letters are used are called algebraic expressions.
The teacher informs the students they are going to become familiar with the sample use of algebraic expressions in geometry.
By using the algebraic expressions you can describe the correllation between the length of the segments.
Task 1. The segment AB has the length a.
Using an algebraic expressionalgebraic expressionalgebraic expression write the length of the segment KL which is:
a) twice as long as the segment AB,
b) shorter by 3 than the segment AB,
c) half of the segment AB,
d) three times shorter than the segment AB,
e) is longer by 10 than the segment AB.
The students answer the following questions:
How do we calculate the perimeterperimeterperimeter of the squaresquaresquare?
How do we calculate the areaareaarea of the squaresquaresquare?
[Interactive illustration]
After completing the task, the students answer the following questions:
How many times did the perimeterperimeterperimeter of the squaresquaresquare increase, if the length of its side increased twice?
How many times did the perimeterperimeterperimeter of the squaresquaresquare increase, if the length of its side increased three times?
How many times did the perimeterperimeterperimeter of the squaresquaresquare increase, if the length of its side increased four times?
How many times did the areaareaarea of the squaresquaresquare increase, if the length of its side increased twice?
How many times did the areaareaarea of the squaresquaresquare increase, if the length of its side increased three times?
How many times does the areaareaarea of the squaresquaresquare increase, if the length of its side increased four times?
The students should come up with the following conclusions:
- The perimeterperimeterperimeter of the squaresquaresquare increases as many times as many times its side enlarges.
- The areaareaarea of the squaresquaresquare increases four times, if the length of its side increases twice.
- The areaareaarea of the squaresquaresquare increases nine times, if the length of its side increases three times.
- The areaareaarea of the squaresquaresquare increases sixteen times, if the length of its side increases four times.
The students use the elements they have brought to class to make the figures, write down their areas and perimeters.
Task 3. The areaareaarea of the rectanglerectanglerectangle you have brought to class equals x and the areaareaarea of the semi‑circle is y. Construct the figure made of:
a) two rectangles. Use an algebraic expressionalgebraic expressionalgebraic expression to describe its areaareaarea;
b) two rectangles and two semi‑circles. Use an algebraic expressionalgebraic expressionalgebraic expression to describe its areaareaarea;
c) three rectangles and four semi‑circles. Use an algebraic expressionalgebraic expressionalgebraic expression to describe its areaareaarea.
The students answer the following questions:
How is the areaareaarea of the triangletriangletriangle calculated? How is the areaareaarea of the rhombusrhombusrhombus calculated?
How is the areaareaarea of the parallelogram calculated? The students use algebraic expressions to write the formulas which are useful for calculating the perimeters and the areas of figures.
Task 4. Stick the figures you have cut off the self‑adhesive paper into your notebook. Write the algebraic expressions describing the perimeterperimeterperimeter and the areaareaarea of all figures marking:
a) the sides of the rectanglerectanglerectangle with the letters k and l,
b) the sides of the rhombusrhombusrhombus with the letter a, the diagonals with the letters e and f,
c) the sides of the triangletriangletriangle with the letter d and the altitude with the letter h.
An extra task: One of the edge of the cuboid has the length of x, the second one is twice as long and the third one is four times shorter. Using algebraic expressions write the areaareaarea and the volume of this cuboid. Calculate the numerical values of the expressions for x = 10.
2) stosuje oznaczenia literowe nieznanych wielkości liczbowych i zapisuje proste wyrażenia algebraiczne na podstawie informacji osadzonych w kontekście praktycznym, na przykład zapisuje obwód trójkąta o bokach: a, a+2, b;
XI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:
1) oblicza obwód wielokąta o danych długościach boków;
2) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu, przedstawionych na rysunku oraz w sytuacjach praktycznych, w tym także dla danych wymagających zamiany jednostek i w sytuacjach z nietypowymi wymiarami, na przykład pole trójkąta o boku 1 km i wysokości 1 mm;
m2bd978736d3cd6d8_1528449068082_0
45 minut
m2bd978736d3cd6d8_1528449523725_0
Dobieranie modelu matematycznego do prostej sytuacji oraz budowanie go w różnych kontekstach, także w kontekście praktycznym.
m2bd978736d3cd6d8_1528449552113_0
1. Zapisywanie związków miarowych w figurach płaskich obwodu i pola figury w postaci za pomocą wyrażeń algebraicznych .
2. Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m2bd978736d3cd6d8_1528450430307_0
uczeń:
- Zapisuje związki miarowe w figurach za pomocą wyrażeń algebraicznych,
- oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.
m2bd978736d3cd6d8_1528449534267_0
1. Analiza sytuacyjna.
m2bd978736d3cd6d8_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
m2bd978736d3cd6d8_1528450127855_0
Uczeń przynosi na lekcję figury wycięte z papieru samoprzylepnego:
- prostokąt,
- romb,
- trójkąt równoboczny
Uczeń przynosi też na lekcję figury wycięte z kolorowego kartonu:
- 2 koła o średnicy 4 cm przecięte na pół (4 półkola),
- 3 prostokąty o wymiarach 4 cm na 5 cm.
Nauczyciel przypomina uczniom, że wyrażenia, w których, oprócz liczb, znaków działań i nawiasów, występują litery to wyrażenia algebraiczne.
m2bd978736d3cd6d8_1528446435040_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na zajęciach poznają przykłady zastosowania wyrażeń algebraicznych w geometrii.
Za pomocą wyrażeń algebraicznych można między innymi, zapisać związki pomiędzy długościami odcinków.
Polecenie 1.
Odcinek AB ma długość a.
Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego długość odcinka KL, który jest:
a) dwa razy dłuższy od odcinka AB,
b) o trzy krótszy od odcinka AB,
c) stanowi połowę odcinka AB,
d) trzykrotnie krótszy od odcinka AB,
e) jest o 10 dłuższy od odcinka AB.
Uczniowie odpowiadają na pytania nauczyciela:
W jaki sposób oblicza się obwód kwadratu?
W jaki sposób oblicza się pole kwadratu?
[Ilustracja Interaktywna]
Uczniowie odpowiadają na pytania:
Ile razy zwiększył się obwód kwadratu, gdy długość jego boku zwiększono dwa razy?
Ile razy zwiększył się obwód kwadratu, gdy długość jego boku zwiększono trzy razy?
Ile razy zwiększył się obwód kwadratu, gdy długość jego boku zwiększono cztery razy?
Ile razy zwiększyło się pole kwadratu, gdy długość boku zwiększono dwa razy?
Ile razy zwiększyło się pole kwadratu, gdy długość boku zwiększono trzy razy?
Ile razy zwiększyło się pole kwadratu, gdy długość boku zwiększono cztery razy?
Uczniowie powinni wyciągnąć następujące wnioski:
- Obwód kwadratu zwiększa się tyle razy, ile razy zwiększa się długość jego boku.
- Pole kwadratu zwiększy się cztery razy, gdy długość jego boku zwiększy się dwa razy.
- Pole kwadratu zwiększy się dziewięć razy, gdy długość jego boku zwiększy się trzy razy.
- Pole kwadratu zwiększy się szesnaście razy, gdy długość jego boku zwiększy się cztery razy.
Uczniowie z przyniesionych na lekcję elementów, budują figury geometryczne i zapisują ich pola i obwody.
Polecenie 3. Przyjmij, że pole prostokąta przyniesionego przez ciebie na lekcję jest równe x, a pole półkola y.
Ułóż figurę zbudowaną:
a) z dwóch prostokątów. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego jej pole;
b) z dwóch prostokątów i dwóch półkoli. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego jej pole;
c) z trzech prostokątów i czterech półkoli. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego jej pole.
Uczniowie odpowiadają na pytania nauczyciela:
W jaki sposób oblicza się pole trójkąta?
W jaki sposób oblicza się pole rombu?
W jaki sposób oblicza się pole równoległoboku?
Uczniowie wykorzystują wyrażenia algebraiczne do zapisywania wzorów umożliwiających obliczenie obwodów i pól figur.
Polecenie 4. Wklej do zeszytu figury wycięte z papieru samoprzylepnego. Zapisz wyrażenia algebraiczne opisujące obwód i pole każdej z figur oznaczając:
a) boki prostokąta literami k i l,
b) boki rombu literą a, przekątne literami e,f,
c) boki trójkąta literą d, wysokość literą h.
Polecenie dla chętnych W prostopadłościanie jedna z krawędzi na długość x, druga jest od niej dwukrotnie dłuższa, a trzecia czterokrotnie krótsza.
Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych pole powierzchni i objętość tego prostopadłościanu.
Oblicz wartość liczbową każdego z zapisanych wyrażeń dla x = 10.
m2bd978736d3cd6d8_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie z nauczycielem podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania:
- Za pomocą wyrażeń algebraicznych można zapisywać między innymi związki pomiędzy długościami odcinków, obwody oraz pola figur.