VIII. The properties of geometric figures in a plane. The student:
3) applies the properties of parallel lines, in particular applies the equality of alternate and corresponding anglescorresponding anglescorresponding angles.
The students use the incomplete sentences technique to recollect their information about the adjacent and vertical angles.
The adjacent angles are the two angles which ...... The sum of the measures of adjacent angles equals ...... The vertical angles are the two angles which ...... The measure of the vertical angles are ......
The teacher verifies the students’ answers and explains doubts.
The teacher informs the students that the aim of the class is getting to know the concepts of the alternate angles and the corresponding anglescorresponding anglescorresponding angles.
The students work in groups and analyse the situation presented in the diagram. The teacher explains which angles are called the alternate angles and which ones are the corresponding anglescorresponding anglescorresponding angles.
[Illustration 1]
In the diagram:
- angles: α and αIndeks dolny 11, β and βIndeks dolny 11, γ and Indeks dolny γ1asγ1as well as δ and δIndeks dolny 11 are called corresponding anglescorresponding anglescorresponding angles,
- angles: αIndeks dolny 11 and δ as well as βIndeks dolny 11 and γ are called alternate interior anglesalternate interior anglesalternate interior angles,
- angles: β and γIndeks dolny 11 as well as α and δIndeks dolny 11 are called alternate exterior anglesalternate exterior anglesalternate exterior angles.
The students work in groups analysing the material presented in the Interactive illustration. They formulate hypotheses and conclusions.
Task 1 Analyse the material presented in the Interactive illustration. Change the position of lines and observe how the measures of the corresponding and alternate angles change. Write down your conclusions.
[Interactive illustration]
The conclusions that the students should write down.
1. If two parallel lines are crossed with the third line, the corresponding angles, alternate exterior anglesalternate exterior anglesalternate exterior angles and alternate interior anglesalternate interior anglesalternate interior angles are equal in pairs.
2. If two lines are crossed with the third line and the corresponding anglescorresponding anglescorresponding angles, alternate exterior anglesalternate exterior anglesalternate exterior angles and alternate interior anglesalternate interior anglesalternate interior angles are equal in pairs, these lines are parallel. The students use the information to do the tasks individually.
Task 2 Lines k and l were crossed with the third line. The measures of these angles were marked in the diagram. Justify that lines k and l are parallel.
[Illustration 2]
Task 3 Two lines passing through the point lying outside angle ABC and measuring 39° were drawn: one parallel to BC and the other perpendicular to AB. Give the measure of the angle between the lines.
Answer: 129°.
Task 4 Find the measures of the angles in triangletriangletriangle ABC, using the information in the diagram and knowing that .
[Illustration 3]
Task 5 The sum of the acute angles located on the longer base of a trapezoidtrapezoidtrapezoid equals 120°. The angle bisectors of these angles include the diagonals of the trapezoidtrapezoidtrapezoid. Calculate the measures of the angles in the trapezoidtrapezoidtrapezoid.
Answer: 60°, 60°, 120°, 120°.
Having finished all the tasks, the students present their results. The teacher explains doubts and assesses the students’ work.
An extra task Applying the properties of two parallel lines crossed with the third line justify that the sum of the measures of two angles in a trapezoid located at one arm equals 180°.
Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to kąty odpowiadające, naprzemianległe zewnętrzne oraz naprzemianległe wewnętrzne są parami równe.
Jeżeli dwie proste przetniemy trzecią prostą i kąty odpowiadające, naprzemianległe zewnętrzne oraz naprzemianległe wewnętrzne są parami równe, to te proste są równoległe.
m3a38b37fa2834ed8_1528449000663_0
Kąty naprzemianległe i odpowiadające
m3a38b37fa2834ed8_1528449084556_0
Drugi
m3a38b37fa2834ed8_1528449076687_0
VIII. Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie. Uczeń:
3) korzysta z własności prostych równoległych, w szczególności stosuje równość kątów odpowiadających i naprzemianległych.
m3a38b37fa2834ed8_1528449068082_0
45 minut
m3a38b37fa2834ed8_1528449523725_0
Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii i formułowanie wniosków na ich podstawie.
m3a38b37fa2834ed8_1528449552113_0
1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
- poznaje rodzaje i własności kątów przy prostych równoległych przeciętych sieczną.
m3a38b37fa2834ed8_1528449534267_0
1. Niedokończone zdania.
2. Analiza sytuacyjna.
m3a38b37fa2834ed8_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca w małych grupach.
m3a38b37fa2834ed8_1528450135461_0
m3a38b37fa2834ed8_1528450127855_0
Uczniowie, metodą niedokończonych zdań, przypominają sobie wiadomości na temat kątów przyległych i wierzchołkowych.
Kątami przyległymi nazywamy takie dwa kąty, które …
Suma miar kątów przyległych jest równa …
Kątami wierzchołkowymi nazywamy takie dwa kąty, które …
Miary kątów wierzchołkowych są …
Nauczyciel weryfikuje wiadomości uczniów, wyjaśnia wątpliwości.
m3a38b37fa2834ed8_1528446435040_0
Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie kątów naprzemianległych i kątów odpowiadających.
Uczniowie, pracując w grupach, analizują sytuację przedstawioną na rysunku. Nauczyciel objaśnia, które kąty nazywamy odpowiadającymi, a które naprzemianległymi.
[Illustracja 1]
Na rysunku:
- kąty: α i αIndeks dolny 11, β i βIndeks dolny 11, γ i γIndeks dolny 11 oraz δ i δIndeks dolny 11 to kąty odpowiadające,
- kąty: αIndeks dolny 11 i δ oraz βIndeks dolny 11 i γ nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi,
- kąty: β i γIndeks dolny 11 oraz α i δIndeks dolny 11 nazywamy kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.
Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w Ilustracji interaktywnej. Stawiają hipotezy, formułują wnioski.
Polecenie 1 Przeanalizuj materiał przedstawiony w Ilustracji interaktywnej. Zmieniaj położenie prostych i zaobserwuj w jaki sposób zmieniają się miary kątów odpowiadających i naprzemianległych. Zapisz odpowiednie wnioski.
[Ilustracja interaktywna]
Wnioski, które powinni zapisać uczniowie.
1. Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to kąty odpowiadające, naprzemianległe zewnętrzne oraz naprzemianległe wewnętrzne są parami równe.
2. Jeżeli dwie proste przetniemy trzecią prostą i kąty odpowiadające, naprzemianległe zewnętrzne oraz naprzemianległe wewnętrzne są parami równe, to te proste są równoległe.
Korzystając z poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.
Polecenie 2 Proste k i l zostały przecięte trzecią prostą. Na rysunku zaznaczono miary kątów. Uzasadnij, że proste k i l są równoległe.
[Illustracja 2]
Polecenie 3 Z punktu leżącego na zewnątrz kąta ABC o mierze 39° poprowadzono dwie proste: jedną równoległą do BC, a drugą prostopadłą do AB. Wyznacz miarę kąta między tymi prostymi.
Odp.: 129°.
Polecenie 4 Wyznacz miary kątów trójkąta ABC, korzystając z danych na rysunku oraz wiedząc, że .
[Illsutracja 3]
Polecenie 5 W trapezie suma miar kątów ostrych leżących przy dłuższej podstawie jest równa 120°. Dwusieczne tych kątów zawierają przekątne trapezu. Oblicz miary kątów trapezu.
Odp.: 60°, 60°, 120°, 120°.
Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel wyjaśnia wątpliwości i ocenia pracę uczniów.
Polecenie dla chętnych Korzystając z własności dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą uzasadnij, że suma miar dwóch kątów trapezu leżących przy jednym ramieniu jest równa 180°.
m3a38b37fa2834ed8_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.
- Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to kąty odpowiadające, naprzemianległe zewnętrzne oraz naprzemianległe wewnętrzne są parami równe.
- Jeżeli dwie proste przetniemy trzecią prostą i kąty odpowiadające, naprzemianległe zewnętrzne oraz naprzemianległe wewnętrzne są parami równe, to te proste są równoległe.