Dane sa proste $k$ i $l$. Wyznacz wszyskie wartości $m$, dla których prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ oraz wszystkie wartościom, dla których prosta $l$ jest prostopadła o prostej $k$.

Otwórz aplet geogebry proste równolegle/proste prostopadłe.

1. Wylosuj prostą $k$. Wybierz sposób konstrukcji prostej $l$, gdy dane są dwa punkty, przez które przechodzi prosta - opcja „dwa punkty”. Pojawi się prosta $l$ przechodząca przez dwa losowo wybrane punkty. Zmieniając położenie dowolnego z tych punktów ustal położenie prostej $l$ tak, żeby była prostopadła do prostej $k$. Sprawdź za pomocą apletu, czy rzeczywiście jest prostopadła do prostej $k$. Jeśli prosta $l$ jest prostopadła do $k$, to oblicz współczynnik kierunkowy
prostej $l$. Wynik zapisz w wierszu tabeli. Powtórz losowanie kilka razy i zapisz wyniki kolejnych obserwacji.

Proste równoległe i proste prostopadłe w układzie współrzędnych

Trzeci

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zakres podstawowy. Uczeń:

2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu itp.).

45 minut

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

1. Wyznaczanie współczynnika kierunkowego prostej równoległej do danej prostej. Wyznaczanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej prostej.

2. Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dany punkt i równoległej do danej prostej. Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej.

3. Badanie prostopadłości i równoległości prostych.

4. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Uczeń:

- wyznacza współczynnik kierunkowy prostej równoległej do danej prostej,

- wyznacza współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej,

- wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dany punkt  i równoległej do danej prostej,

- wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej,

- bada równoległość i prostopadłość prostych.

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja.

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Celem części wprowadzającej jest przypomnienie pojęć matematycznych, które będą wykorzystywane w toku lekcji:

- równania kierunkowego prostej: $y=ax+b$ i geometrycznej interpretacji współczynników $a$ i $b$ w tym równaniu,

- warunku równoległości prostych $k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2:k\left|\right|l$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1=a_2$.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów, badają równoległość prostych w układzie współrzędnych.

Polecenie 1

Otwórz aplet geogebry proste równolegle/proste prostopadłe. Prostą $k$ określ poprzez losowy wybór dwóch punktów, przez które przechodzi i tak ustal położenie prostej $l$, żeby była równoległa do wylosowanej prostej $k$. Jaki współczynnik kierunkowy ma prosta $l$? Sprawdź za pomocą apletu, czy rzeczywiście jest równoległa do prostej $k$.

[Geogebra aplet]

Po wykonaniu tego ćwiczenia uczniowie podają:

- warunek równoległości prostych opisanych równaniami kierunkowymi,

- przypominają sposób obliczania współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa różne punkty
$A=(x_A,y_A)iB=(x_B,y_B)$ o różnych odciętych $\left(x_A\ne x_B\right)a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$

Nauczyciel formułuje problem, jaki uczniowie mają rozwiązać w zasadniczej części lekcji: wiemy już, w jakich przypadkach dwie proste opisane równaniami kierunkowymi są równoległe, teraz ustalimy warunek ich prostopadłości.

Uczniowie w trakcie ćwiczenia, pracują w parach, korzystając z komputerów, badają położenie prostych w układzie współrzędnych.

Polecenie 2

Przed przystąpieniem do dalszej pracy przygotuj sobie tabelkę do zapisywania wyników w postaci:

[Tabela 1]

Otwórz aplet geogebry proste równolegle/proste prostopadłe.

1. Wylosuj prostą $k$. Wybierz sposób konstrukcji prostej $l$, gdy dane są dwa punkty, przez które przechodzi prosta - opcja „dwa punkty”. Pojawi się prosta $l$ przechodząca przez dwa losowo wybrane punkty. Zmieniając położenie dowolnego z tych punktów ustal położenie prostej $l$ tak, żeby była prostopadła do prostej $k$. Sprawdź za pomocą apletu, czy rzeczywiście jest prostopadła do prostej $k$. Jeśli prosta $l$ jest prostopadła do $k$, to oblicz współczynnik kierunkowy
prostej $l$. Wynik zapisz w wierszu tabeli. Powtórz losowanie kilka razy i zapisz wyniki kolejnych obserwacji.

2. Wylosuj prostą $k$. Wybierz sposób konstrukcji prostej $l$, gdy dany jest współczynnik kierunkowy prostej i punkt, przez który przechodzi − opcja „współczynnik kierunkowy - punkt”. Po wpisaniu w okienka apletu wartości licznika i mianownika współczynnika kierunkowego pojawi się w układzie współrzędnych prosta $l$, przechodząca przez losowo wybrany punkt. Korzystając z suwaków ustal wartość współczynnika kierunkowego prostej $l$ tak, żeby prosta l była prostopadła do prostej $k$. Zmieniając położenie punktu na prostej $l$ możesz ją przesunąć równolegle i wygodnie ustawić w okienku apletu. Sprawdź za pomocą apletu, czy rzeczywiście jest prostopadła do prostej $k$. Jeśli prosta $l$ jest prostopadła do $k$, to zapisz ustalony współczynnik kierunkowy prostej $l$ wraz ze współczynnikiem kierunkowym prostej $k$ w wierszu tabeli. Powtórz losowanie kilka razy i zapisz wyniki kolejnych obserwacji.

Dyskusja:

Jaki jest związek pomiędzy współczynnikami kierunkowymi $a_{1}i{a}_2$ prostych prostopadłych $k$ i $l$?

Uczniowie przedstawiają swoje tezy (część postawionych tez to będą jedynie warunki konieczne prostopadłości, np. współczynniki są liczbami przeciwnych znaków). Nauczyciel tak kieruje dyskusją, żeby w uczniowie podali w dowolnej formie związek pomiędzy $a_{1}i{a}_2$. Np.:

„$a_2$ jest liczbą przeciwną do odwrotności lliczby $a_1$”

Po uzyskaniu tego typu odpowiedzi nauczyciel prosi o zapisanie odpowiedniej równości, a następnie podsumowuje dyskusję, zapisując odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie – warunek prostopadłości prostych opisanych równaniami kierunkowymi:

Prote $k$ i $l$ opisane równaniami kierunkowymi $k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy,
gdy $a_1·a_2=-1$.

Uzupełniając to twierdzenie nauczyciel podaje, że jeśli współczynnik kierunkowy prostej jest równy 0, to prosta do niej prostopadła jest równoległa do osi $OX$ układu współrzędnych. Nie można jej wtedy opisać równaniem kierunkowym.

Uczniowie pracują indywidualnie rozwiązując zadania.

Polecenie 3

Dana jest prosta $k$ oraz punkt $A$. Wyznacz równanie prostej $l$ przechodzącej przez punkt $A$ i równoległej do $k$ oraz równanie prostej $m$ przechodzącej przez punkt $A$ i prostopadłej do $k$.

a) $k:y=2x-1,A=(0,3)$,

b) $k:y=-x+\frac{{\displaystyle 1}}{2},A=(0,-2)$,

c) $k:y=\frac{{\displaystyle 2}}{3}x-2,A=(1,4)$,

d) $k:y=-\frac{{\displaystyle 3}}{5}x+\frac{{\displaystyle 1}}{3},A=(-2,\frac{2}{5})$.

Polecenie 4

Dane sa proste $k$ i $l$. Wyznacz wszyskie wartości $m$, dla których prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ oraz wszystkie wartościom, dla których prosta $l$ jest prostopadła o prostej $k$.

a) $k:y=5x,l:y=(2-m)x-1$,

b) $k:y=-2x-\frac{{\displaystyle 3}}{2},l:y=\frac{{\displaystyle 1}}{2m}x-1$,

c) $k:y=\frac{{\displaystyle 3}}{5}x-1,l:y=\frac{{\displaystyle m+1}}{m-1}x+m$,

d) $k:y=-\frac{{\displaystyle 7}}{2}x-\frac{{\displaystyle 2}}{7},l:y=\frac{{\displaystyle 2m}}{3m+1}x+\frac{{\displaystyle m}}{m-3}$.

Polecenie 5

Punkty $A=(-3,-2),B=(5,2),C=(2,4)iD=(-2,2)$ są wierzchołkami czworokąta $\mathrm{ABCD}$. Uzasadnij, że ten czworokąt jest trapezem, ale nie jest trapezem prostokątnym.

Polecenie dla chętnych:

Wykaż, że żadna prosta o równaniu $y=(m^2-1)x+\frac{{\displaystyle 1}}{2m^2-3}$ nie jest ani równoległa ani prostopadła do prostej
o rownaniu $y=-2x+1$.

Uczniowie wykonują zadanie utrwalające i podsumowują lekcję formułując najważniejsze informacje do zapamiętania:

- Warunek równoległości prostych $k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2:k\left|\right|l$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1=a_2$.

- Warunek prostopadłości prostych $k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2:k\perp l$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1·a_2=-1$.