Temat

Proste równoległe i proste prostopadłe w układzie współrzędnych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zakres podstawowy. Uczeń:

2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu itp.).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Wyznaczanie współczynnika kierunkowego prostej równoległej do danej prostej. Wyznaczanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej prostej.

2. Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dany punkt i równoległej do danej prostej. Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej.

3. Badanie prostopadłości i równoległości prostych.

4. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wyznacza współczynnik kierunkowy prostej równoległej do danej prostej,

- wyznacza współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej,

- wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i równoległej do danej prostej,

- wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej,

- bada równoległość i prostopadłość prostych.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Celem części wprowadzającej jest przypomnienie pojęć matematycznych, które będą wykorzystywane w toku lekcji:

- równania kierunkowego prostej: $y=ax+b$ i geometrycznej interpretacji współczynników $a$ i $b$ w tym równaniu,
- warunku równoległości prostych $k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2:k\left|\right|l$ wtedy i tylko wtedy,
gdy $a_1=a_2$.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów, badają równoległość prostych w układzie współrzędnych.

Polecenie 1

Otwórz aplet geogebry proste równolegle/proste prostopadłe. Prostą $k$ określ poprzez losowy wybór dwóch punktów, przez które przechodzi i tak ustal położenie
prostej $l$, żeby była równoległa do wylosowanej prostej $k$. Jaki współczynnik kierunkowy ma prosta $l$? Sprawdź za pomocą apletu, czy rzeczywiście jest równoległa do prostej $k$.

[Geogebra aplet]

Po wykonaniu tego ćwiczenia uczniowie podają:

- warunek równoległości prostych opisanych równaniami kierunkowymi,

- przypominają sposób obliczania współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa różne punkty $A=(x_A,y_A)iB=(x_B,y_B)$ o różnych odciętych $\left(x_A\ne x_B\right)a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$

Realizacja lekcji

Nauczyciel formułuje problem, jaki uczniowie mają rozwiązać w zasadniczej części lekcji: wiemy już, w jakich przypadkach dwie proste opisane równaniami kierunkowymi są równoległe, teraz ustalimy warunek ich prostopadłości.

Uczniowie w trakcie ćwiczenia, pracują w parach, korzystając z komputerów, badają położenie prostych w układzie współrzędnych.

Polecenie 2

Przed przystąpieniem do dalszej pracy przygotuj sobie tabelkę do zapisywania wyników w postaci:

[Tabela 1]

Otwórz aplet geogebry proste równolegle/proste prostopadłe.

1. Wylosuj prostą $k$. Wybierz sposób konstrukcji prostej $l$, gdy dane są dwa punkty, przez które przechodzi prosta - opcja „dwa punkty”. Pojawi się prosta $l$ przechodząca przez dwa losowo wybrane punkty. Zmieniając położenie dowolnego z tych punktów ustal położenie prostej $l$ tak, żeby była prostopadła do prostej $k$. Sprawdź za pomocą apletu, czy rzeczywiście jest prostopadła do prostej $k$. Jeśli prosta $l$ jest prostopadła do $k$, to oblicz współczynnik kierunkowy prostej $l$. Wynik zapisz w wierszu tabeli. Powtórz losowanie kilka razy i zapisz wyniki kolejnych obserwacji.

2. Wylosuj prostą $k$. Wybierz sposób konstrukcji prostej $l$, gdy dany jest współczynnik kierunkowy prostej i punkt, przez który przechodzi − opcja „współczynnik kierunkowy - punkt”. Po wpisaniu w okienka apletu wartości licznika i mianownika współczynnika kierunkowego pojawi się w układzie współrzędnych prosta $l$, przechodząca przez losowo wybrany punkt. Korzystając z suwaków ustal wartość współczynnika kierunkowego prostej $l$ tak, żeby prosta l była prostopadła do prostej $k$. Zmieniając położenie punktu na prostej $l$ możesz ją przesunąć równolegle i wygodnie ustawić w okienku apletu. Sprawdź za pomocą apletu, czy rzeczywiście jest prostopadła do prostej $k$. Jeśli prosta $l$ jest prostopadła do $k$, to zapisz ustalony współczynnik kierunkowy prostej $l$ wraz ze współczynnikiem kierunkowym prostej $k$ w wierszu tabeli. Powtórz losowanie kilka razy i zapisz wyniki kolejnych obserwacji.

Dyskusja:

Jaki jest związek pomiędzy współczynnikami kierunkowymi $a_{1}i{a}_2$ prostych prostopadłych $k$ i $l$?

Uczniowie przedstawiają swoje tezy (część postawionych tez to będą jedynie warunki konieczne prostopadłości, np. współczynniki są liczbami przeciwnych znaków). Nauczyciel tak kieruje dyskusją, żeby w uczniowie podali w dowolnej formie związek pomiędzy $a_{1}i{a}_2$. Np.:

„$a_2$ jest liczbą przeciwną do odwrotności lliczby $a_1$”

Po uzyskaniu tego typu odpowiedzi nauczyciel prosi o zapisanie odpowiedniej równości, a następnie podsumowuje dyskusję, zapisując odpowiednie twierdzenie.

Twierdzenie – warunek prostopadłości prostych opisanych równaniami kierunkowymi:

Prote $k$ i $l$ opisane równaniami kierunkowymi $k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1·a_2=-1$.

Uzupełniając to twierdzenie nauczyciel podaje, że jeśli współczynnik kierunkowy prostej jest równy 0, to prosta do niej prostopadła jest równoległa do osi $OX$ układu współrzędnych. Nie można jej wtedy opisać równaniem kierunkowym.

Uczniowie pracują indywidualnie rozwiązując zadania.

Polecenie 3

Dana jest prosta $k$ oraz punkt $A$. Wyznacz równanie prostej $l$ przechodzącej przez punkt $A$ i równoległej do $k$ oraz równanie prostej $m$ przechodzącej przez punkt $A$ i prostopadłej do $k$.

a) $k:y=2x-1,A=(0,3)$,

b) $k:y=-x+\frac{{\displaystyle 1}}{2},A=(0,-2)$,

c) $k:y=\frac{{\displaystyle 2}}{3}x-2,A=(1,4)$,

d) $k:y=-\frac{{\displaystyle 3}}{5}x+\frac{{\displaystyle 1}}{3},A=(-2,\frac{2}{5})$.

Polecenie 4

Dane sa proste $k$ i $l$. Wyznacz wszyskie wartości $m$, dla których prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ oraz wszystkie wartościom, dla których prosta $l$ jest prostopadła o prostej $k$.

a) $k:y=5x,l:y=(2-m)x-1$,

b) $k:y=-2x-\frac{{\displaystyle 3}}{2},l:y=\frac{{\displaystyle 1}}{2m}x-1$,

c) $k:y=\frac{{\displaystyle 3}}{5}x-1,l:y=\frac{{\displaystyle m+1}}{m-1}x+m$,

d) $k:y=-\frac{{\displaystyle 7}}{2}x-\frac{{\displaystyle 2}}{7},l:y=\frac{{\displaystyle 2m}}{3m+1}x+\frac{{\displaystyle m}}{m-3}$.

Polecenie 5

Punkty $A=(-3,-2),B=(5,2),C=(2,4)iD=(-2,2)$ są wierzchołkami czworokąta $\mathrm{ABCD}$. Uzasadnij, że ten czworokąt jest trapezem, ale nie jest trapezem prostokątnym.

Polecenie dla chętnych:

Wykaż, że żadna prosta o równaniu $y=(m^2-1)x+\frac{{\displaystyle 1}}{2m^2-3}$ nie jest ani równoległa ani prostopadła do prostej o rownaniu $y=-2x+1$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadanie utrwalające i podsumowują lekcję formułując najważniejsze informacje do zapamiętania:

- Warunek równoległości prostych $k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2:k\left|\right|l$ wtedy i tylko wtedy,
gdy $a_1=a_2$.

- Warunek prostopadłości prostych $k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2:k\perp l$ wtedy i tylko wtedy,
gdy $a_1·a_2=-1$.