Rozpocznijmy rozwiązywanie równańrozwiązanie równania z jedną niewiadomąrozwiązywanie równań postaci od następującej obserwacji: ponieważ zbiorem wartości funkcji jest przedział , zatem dla liczb równanie nie ma rozwiązańzbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Na początek rozwiążemy równanie .
R1daNZ9LoEIE0
Zauważmy, że w przedziale funkcja przyjmuje wartość 1 tylko dla argumentu . Funkcja jest funkcją okresową o okresie zasadniczym , zatem wszystkie rozwiązania równania mają postać: , gdzie .
Postępując analogicznie rozwiązujemy równanierozwiązanie równania z jedną niewiadomąrównanie .
RTBb1QkMAQ14K
Rozwiązaniemzbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąRozwiązaniem równania jest każda liczba postaci , gdzie .
Rozwiązywanie równań:
Aby rozwiązać równanie wykorzystamy wykresy funkcji i . Na aplecie możemy poruszać suwakiem. Zwróćmy uwagę, że prosta przecina wykres w dwóch typach punktów; jedne z nich są pokolorowane na czerwono, pozostałe na pomarańczowo. Zauważmy, że punkty pokolorowane na czerwono są w stałych odległościach równych . Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku punktów pokolorowanych na pomarańczowo. Zatem będą istnieć dwie serie rozwiązań.
R45Jga3thKwUm
Pozostaje ustalić, jakie są zależności między punktami czerwonymi i pomarańczowymi.
Wykorzystajmy poniższy aplet.
R1J2VanPVRMZD
Poruszajmy suwakiem. Zauważmy, że punkt czerwony w czasie przesuwania suwaka jest położony symetrycznie do punktu pomarańczowego względem prostej o równaniu . Podobnie zachowują się pierwsze współrzędne tych punktów, co oznacza, że spełniają zależność: . Stąd dostajemy, że .
o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego
Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego
Możemy zatem zapisać algorytm szukania rozwiązań równania .
Znajdujemy jedno rozwiązanie takie, że .
Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: , gdzie .
Znajdujemy drugie rozwiązanie .
Zapisujemy drugą serię rozwiązań: , gdzie .
Uwaga:
W przypadku równań jest tylko jedna seria rozwiązań.
Przykład 1
Rozwiążemy w zbiorze liczb rzeczywistych równanie: .
Najpierw wyznaczymy jedno rozwiązanie równania . Ponieważ , korzystając z nieparzystości funkcji sinus, otrzymujemy: . Zatem poszukiwanym jest liczba . Wobec tego rozwiązaniami równania są: lub , gdzie .
Przykład 2
Rozwiążemy równanie: w przedziale .
Korzystając z rozwiązania przykładu 1 poszukamy rozwiązań, które znajdują się w przedziale . Są to:
Przykład 3
Rozwiążemy równanie w przedziale . Przekształcamy równanie do postaci: . Podstawiamy , czyli otrzymujemy równanie . Znajdujemy jedno rozwiązanie: . Zatem rozwiązaniami równania są: lub , gdzie . Ponieważ , wówczas rozwiązaniami równania są lub , gdzie . Pozostaje wybrać rozwiązania z przedziału : .
A teraz pokażemy, jak można rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem.
Przykład 4
Dla jakich wartości parametru równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie?
Ponieważ zbiorem wartości funkcji jest przedział , zatem muszą być spełnione dwie nierówności: i . Wówczas i . Wobec tego otrzymujemy i , skąd otrzymujemy odpowiedź: .
Słownik
rozwiązanie równania z jedną niewiadomą
rozwiązanie równania z jedną niewiadomą
liczba spełniająca równanie, czyli liczba, która po podstawieniu za zmienną daje równość liczby po prawej i lewej stronie równania