Rozwiązywanie równań: $\sin x=1,\sin x=-1$

Rozpocznijmy rozwiązywanie równańrozwiązanie równania z jedną niewiadomąrozwiązywanie równań postaci $\sin x=a$ od następującej obserwacji: ponieważ zbiorem wartości funkcji $y=\sin x$ jest przedział $⟨-1,1⟩$, zatem dla liczb $a\notin ⟨-1,1⟩$ równanie $\sin x=a$ nie ma rozwiązańzbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Na początek rozwiążemy równanie $\sin x=1$.

R1daNZ9LoEIE0

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X opisaną od $\left(-2\mathrm{\pi };4\mathrm{\pi }\right)$ oraz z pionową osią Y opisaną $\left(-2;2\right)$ . Na płaszczyźnie narysowany jest wykres sinus X oraz zaznaczona jest pozioma prosta o równaniu Y równa się jeden.

Zauważmy, że w przedziale $⟨0,2\pi )$ funkcja $y=\sin x$ przyjmuje wartość 1 tylko dla argumentu $x=\frac{\pi }{2}$. Funkcja $y=\sin x$ jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T=2\pi$, zatem wszystkie rozwiązania równania mają postać: $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Postępując analogicznie rozwiązujemy równanierozwiązanie równania z jedną niewiadomąrównanie $\sin x=-1$.

RTBb1QkMAQ14K

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X opisaną od $\left(-2\mathrm{\pi };4\mathrm{\pi }\right)$ oraz z pionową osią Y opisaną $\left(-2;2\right)$ . Na płaszczyźnie narysowany jest wykres sinus X oraz zaznaczona jest także pozioma prosta o równaniu Y równa się minus jeden

Rozwiązaniemzbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomąRozwiązaniem równania $\sin x=-1$ jest każda liczba postaci $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiązywanie równań: $\sin x=a$

Aby rozwiązać równanie $\sin x=a$ wykorzystamy wykresy funkcji $y=\sin x$ i $y=a$. Na aplecie możemy poruszać suwakiem. Zwróćmy uwagę, że prosta $y=a$ przecina wykres w dwóch typach punktów; jedne z nich są pokolorowane na czerwono, pozostałe na pomarańczowo. Zauważmy, że punkty pokolorowane na czerwono są w stałych odległościach równych $2\pi$. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku punktów pokolorowanych na pomarańczowo. Zatem będą istnieć dwie serie rozwiązań.

R45Jga3thKwUm

W aplecie przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X opisaną $\left(-2\mathrm{\pi };3\mathrm{\pi }\right)$ oraz z pionową osią Y opisaną $\left(-2;3\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres sinus X oraz zaznaczona jest także pozioma prosta, której położeniem można manipulować za pomocą suwaka zamieszczonego w lewym górnym rogu układu współrzędnych. Suwak ma postać poziomego odcinka z naniesionym punktem, który można przesuwać pod całej długości odcinka. Suwak wyznacza wartość parametru A, która waha się od minus dziewięciu dziesiątych (punkt na suwaku najbardziej na lewo) do dziewięciu dziesiątych (punkt na suwaku najbardziej na prawo), zmieniając się co jedną dziesiątą. Przedstawiona prosta przechodzi przez punkty, które zaznaczone są na sinusoidzie. Wyznaczając parametr A, wybieramy wysokość, na jakiej położone są dane punkty, co oznacza, że A jest współrzędną igrekową wszystkich zaznaczonych na sinusoidzie punktów. Załóżmy wartość startową dla A równą minus dziewięć dziesiątych. Wtedy punkty znajdują się na wysokości minus dziewięć dziesiątych wokół miejsc sinusoidy, w których przyjmuje ona najniższą wartość, czyli minus jeden, przy czym po lewej stronie tego miejsca znajduje się punkt pomarańczowy, a po prawej czerwony. Są one blisko siebie, natomiast odległość między pomarańczowymi punktami wynosi dwa pi i tak samo jest w przypadku punktów czerwonych. Przesuwając punkt po suwaku w prawo, czyli wybierając coraz większe wartości parametru A, przesuwamy też punkty na sinusoidzie, a wraz z nimi poziomą prostą, która przez nie przechodzi. Punkty oddalają się od siebie, przesuwając się wzdłuż wykresu w stronę największej wartości sinusa z zachowaniem stałej odległości od siebie w obrębie danego koloru równej dwa pi.

W aplecie przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X opisaną $\left(-2\mathrm{\pi };3\mathrm{\pi }\right)$ oraz z pionową osią Y opisaną $\left(-2;3\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres sinus X oraz zaznaczona jest także pozioma prosta, której położeniem można manipulować za pomocą suwaka zamieszczonego w lewym górnym rogu układu współrzędnych. Suwak ma postać poziomego odcinka z naniesionym punktem, który można przesuwać pod całej długości odcinka. Suwak wyznacza wartość parametru A, która waha się od minus dziewięciu dziesiątych (punkt na suwaku najbardziej na lewo) do dziewięciu dziesiątych (punkt na suwaku najbardziej na prawo), zmieniając się co jedną dziesiątą. Przedstawiona prosta przechodzi przez punkty, które zaznaczone są na sinusoidzie. Wyznaczając parametr A, wybieramy wysokość, na jakiej położone są dane punkty, co oznacza, że A jest współrzędną igrekową wszystkich zaznaczonych na sinusoidzie punktów. Załóżmy wartość startową dla A równą minus dziewięć dziesiątych. Wtedy punkty znajdują się na wysokości minus dziewięć dziesiątych wokół miejsc sinusoidy, w których przyjmuje ona najniższą wartość, czyli minus jeden, przy czym po lewej stronie tego miejsca znajduje się punkt pomarańczowy, a po prawej czerwony. Są one blisko siebie, natomiast odległość między pomarańczowymi punktami wynosi dwa pi i tak samo jest w przypadku punktów czerwonych. Przesuwając punkt po suwaku w prawo, czyli wybierając coraz większe wartości parametru A, przesuwamy też punkty na sinusoidzie, a wraz z nimi poziomą prostą, która przez nie przechodzi. Punkty oddalają się od siebie, przesuwając się wzdłuż wykresu w stronę największej wartości sinusa z zachowaniem stałej odległości od siebie w obrębie danego koloru równej dwa pi.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfIlfNzML

Pozostaje ustalić, jakie są zależności między punktami czerwonymi i pomarańczowymi.

Wykorzystajmy poniższy aplet.

R1J2VanPVRMZD

W aplecie przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X opisaną $\left(-\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right)$ oraz z pionową osią Y opisaną $\left(-1;1\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres sinus X oraz zaznaczona jest także pionowa prosta opisana równaniem x równa się pi pół. Punkt przecięcia prostej z sinusoidą jest zaznaczony. Na osi X zaznaczone są dwa punkty opisane jako X jeden oraz X dwa, a także dwa punkty na sinusoidzie, które są z nimi połączone pionowymi przerywanymi liniami odpowiednio: punkt czerwony z punktem X jeden, pomarańczowy z X 2. Przez punkty na sinusoidzie przechodzi pozioma prosta o równaniu Y równa się A. Położeniem tych czterech punktów można manipulować za pomocą umieszczonego po prawej stronie w układzie współrzędnych suwaka, który przedstawia wartości dla parametru A takie same, jak w poprzednim aplecie: od minus dziewięciu dziesiątych do dziewięciu dziesiątych. W położeniu startowym dla A równego minus dziewięć dziesiątych, mamy następujące położenie punktów: Czerwony na sinusoidzie jest w trzeciej ćwiartce, po prawej stronie najniższego punktu sinusoidy, a X jeden na osi X nad punktem czerwonym. Punkt pomarańczowy natomiast znajduje się w czwartej ćwiartce po lewej stronie najniższego punktu sinusoidy, a punkt X dwa nad nim na osi X. Przy zwiększaniu wartości parametru A, punkty X jeden, X dwa przesuwają się coraz bliżej siebie po osi X, punkt pomarańczowy i czerwony przesuwają się po sinusoidzie również zbliżając się do siebie. Wszystkie cztery punkty zbliżają się do pionowej prostej o równaniu X równa się pi pół.

W aplecie przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X opisaną $\left(-\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right)$ oraz z pionową osią Y opisaną $\left(-1;1\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres sinus X oraz zaznaczona jest także pionowa prosta opisana równaniem x równa się pi pół. Punkt przecięcia prostej z sinusoidą jest zaznaczony. Na osi X zaznaczone są dwa punkty opisane jako X jeden oraz X dwa, a także dwa punkty na sinusoidzie, które są z nimi połączone pionowymi przerywanymi liniami odpowiednio: punkt czerwony z punktem X jeden, pomarańczowy z X 2. Przez punkty na sinusoidzie przechodzi pozioma prosta o równaniu Y równa się A. Położeniem tych czterech punktów można manipulować za pomocą umieszczonego po prawej stronie w układzie współrzędnych suwaka, który przedstawia wartości dla parametru A takie same, jak w poprzednim aplecie: od minus dziewięciu dziesiątych do dziewięciu dziesiątych. W położeniu startowym dla A równego minus dziewięć dziesiątych, mamy następujące położenie punktów: Czerwony na sinusoidzie jest w trzeciej ćwiartce, po prawej stronie najniższego punktu sinusoidy, a X jeden na osi X nad punktem czerwonym. Punkt pomarańczowy natomiast znajduje się w czwartej ćwiartce po lewej stronie najniższego punktu sinusoidy, a punkt X dwa nad nim na osi X. Przy zwiększaniu wartości parametru A, punkty X jeden, X dwa przesuwają się coraz bliżej siebie po osi X, punkt pomarańczowy i czerwony przesuwają się po sinusoidzie również zbliżając się do siebie. Wszystkie cztery punkty zbliżają się do pionowej prostej o równaniu X równa się pi pół.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfIlfNzML

Poruszajmy suwakiem. Zauważmy, że punkt czerwony w czasie przesuwania suwaka jest położony symetrycznie do punktu pomarańczowego względem prostej o równaniu $x=\frac{\pi }{2}$. Podobnie zachowują się pierwsze współrzędne tych punktów, co oznacza, że spełniają zależność: $\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{\pi }{2}$. Stąd dostajemy, że $x_1=\pi -x_2$.

Uwaga:

W przypadku równań $\sin x=1,\sin x=-1$ jest tylko jedna seria rozwiązań.

A teraz pokażemy, jak można rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem.

Słownik