Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Learning objectives

• You will learn to calculate terms of the sequence defined by the explicit formula or by the recursive formula and to determine monotonicity of the sequence.

Learning effect

• You calculate terms of the sequence defined by the explicit formula or by the recursive formula and determine monotonicity of the sequence.

Revise the concept of a function, especially functions whose domain is the set of natural numbers. Revise also terms connected to monotonicity of the function. Prepare information about sequences. See if your material contain following information.

Task 1

RAK0T4w41sY6k1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Open the applet and move points on the plot so that they create a sequencesequencesequence.

R8Wy5wnLMu4Ir1

Aplet geogebry: Kolejne wyrazy ciągu. Poniżej znajduje się galeria ilustracji stanowiących alternatywę dla apletu.

Aplet geogebry: Kolejne wyrazy ciągu. Poniżej znajduje się galeria ilustracji stanowiących alternatywę dla apletu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DizYQCUdz

RRjX7zGc4Fkmb1

Na rysunku przedstawiony jest prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie. Zaznaczono na nim punkty na osi x o odciętych: jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem i osiem.

R1YHxgeLQIJ771

Na rysunku przedstawiony jest prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie. Zaznaczono na nim punkty, które są wykresem ciągu określonego wzorem n-ty wyraz jest równy cztery odjąć n.

Task 3

Rej64rdecF0iU1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Look at plots and give properties of sequences that they represent.

R15cXNJMJM7WR1

Rysunek przedstawia wykres ciągu rosnącego. Wyrazy ciągu są w postaci punktów w układzie współrzędnych. Każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oznaczono współrzędne dwóch punktów. Punkt pierwszy ma współrzędne n oraz a w indeksie dolnym n, koniec indeksu dolnego. Drugi punkt ma współrzędne n dodać jeden oraz a w indeksie dolnym n dodać jeden, koniec indeksu dolnego.

RULyWFVXUcOVx1

Rysunek przedstawia wykres ciągu malejącego. Wyrazy ciągu są w postaci punktów w układzie współrzędnych. Każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oznaczono współrzędne dwóch punktów. Punkt pierwszy ma współrzędne n oraz a w indeksie dolnym n, koniec indeksu dolnego. Drugi punkt ma współrzędne n dodać jeden oraz a w indeksie dolnym n dodać jeden, koniec indeksu dolnego.

RFigDaweZqG6K1

Rysunek przedstawia wykres ciągu stałego. Wyrazy ciągu są w postaci punktów w układzie współrzędnych. Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Oznaczono współrzędne dwóch punktów. Punkt pierwszy ma współrzędne n oraz a w indeksie dolnym n, koniec indeksu dolnego. Drugi punkt ma współrzędne n dodać jeden oraz a w indeksie dolnym n, koniec indeksu dolnego.

• Ask the expert how such sequences are called.

• Formulate definitions of these sequences.

Task 5

RxUGe8L97Qtr11

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Look at plots and give properties of sequences that they represent.

RnqRE3l5lFNDk1

Rysunek przedstawia wykres ciągu niemalejącego. Wyrazy ciągu są w postaci punktów w układzie współrzędnych. Każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie mniejszy (większy lub równy) od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oznaczono współrzędne dwóch punktów. Punkt pierwszy ma współrzędne n oraz a w indeksie dolnym n, koniec indeksu dolnego. Drugi punkt ma współrzędne n dodać jeden oraz a w indeksie dolnym n dodać jeden, koniec indeksu dolnego.

R1Y9QwiVhS2l41

Rysunek przedstawia wykres ciągu nierosnący. Wyrazy ciągu są w postaci punktów w układzie współrzędnych. Każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest nie większy (mniejszy lub równy) od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oznaczono współrzędne dwóch punktów. Punkt pierwszy ma współrzędne n oraz a w indeksie dolnym n, koniec indeksu dolnego. Drugi punkt ma współrzędne n dodać jeden oraz a w indeksie dolnym n dodać jeden, koniec indeksu dolnego.

RCLJZOBnKWEbQ1

Rysunek przedstawia wykres ciągu mieszanego (niemonotonicznego). Wyrazy ciągu są w postaci punktów w układzie współrzędnych. Każdy wyraz ciągu może być większy, równy lub mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. W przykładzie na rysunku wyraz ciągu jest naprzemiennie większy lub mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Zapisany jest wzór ciągu. a w indeksie dolnym n, koniec indeksu dolnego równa się w nawiasie minus jeden, zamknąć nawias, w indeksie górnym n, koniec indeksu górnego, razy n.

• How such sequences are called?

• Formulate definitions of these sequences.

After having completed exercises, present results of your work and conclusions. Are they similar to the following ones?

• A sequencesequencesequence is called increasing if each one of its terms, starting from the second one, is greater than the directly preceding term, so for each positive integer n there is the inequality aIndeks dolny n+1_n+1 > aIndeks dolny n_n.

• A sequence is called decreasing if each one of its terms, starting from the second one, is smaller than the directly preceding term, so for each positive integer n there is the inequality aIndeks dolny n+1_n+1 < aIndeks dolny n_n.

• A sequence is called constant if all terms of this sequencesequencesequence are equal so for any each positive integer n there is the equality aIndeks dolny n+1_n+1 = aIndeks dolny n_n.

• A sequencesequencesequence is called non‑decreasing if each one of its terms, starting from the second one, is not smaller than the directly preceding term, so for each positive integer n there is the inequality n $a_{n+1}\ge a_n$.

• A sequence is called non‑increasing if each one of its terms, starting from the second one, is not greater than the directly preceding term, so for each positive integer n there is the inequality $a_{n+1}\le a_n$.

• If a sequence is increasing, decreasing, non‑increasing, non‑decreasing or constant, then we say that this sequencesequencesequence is monotonic. Other sequence are non‑monotonic.

Do the revision exercises.

A sequencesequencesequence is a function defined in the set of natural, positive numbers. Values of this function for consecutive natural numbers are terms of the sequenceterms of the sequenceterms of the sequence. A sequence is monotonic if it is increasing, decreasing, non‑increasing, non‑decreasing or constant:

• The sequencesequencesequence (aIndeks dolny n_n) is increasing, if $a_{n+1}>a_n$.

• The sequence (aIndeks dolny n_n) is decreasing, if $a_{n+1}<a_n$.

• The sequencesequencesequence (aIndeks dolny n_n) is constant, if $a_{n+1}=a_n$.

• The sequence (aIndeks dolny n_n) is non‑decreasing, if $a_{n+1}\ge a_n$.

• The sequencesequencesequence (aIndeks dolny n_n) is non‑increasing, if $a_{n+1}\le a_n$.

Exercises

Glossary

Keywords

decreasing sequencedecreasing sequencedecreasing sequence

increasing sequenceincreasing sequenceincreasing sequence

monotonic sequencemonotonic sequencemonotonic sequence – ciąg rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały

sequencesequencesequence – funkcja, określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich

terms of the sequenceterms of the sequenceterms of the sequence – wartości funkcji ciągu dla kolejnych liczb naturalnych