Applications of the line equation: altitudes, medians, side perpendicular bisectors in a triangle

R1SI3r42jhkfA

Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta

Learning objectives

You will learn to find equations of lines that contain altitudes, medians, perpendicular bisectors of sides of a triangle.

Learning effect

You find equations of lines that contain altitudes, medians, perpendicular bisectors of sides of a triangle.

ReD855zFKFMY51

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Revise the following facts: altitudes of a triangle intersect in one point – the orthocentre of a triangle, medians of a triangle intersect in one point – the centroidcentroidcentroid of a triangle and perpendicular bisectors of a triangle intersect in one point that is the centre of a circle circumscribed about this triangle.

Check your knowledge by doing the following exercises.

Task 1

RGYWhCRFFK81K1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Open the applet: „Triangle, its altitudes, medians and perpendicular bisectors”. One by one, choose options ‘altitudes of a triangle’, ‘medians of a triangle’, ‘perpendicular bisectors of a triangle’. Change the location of vertices of the triangle and observe how altitudes of the triangle, lines that contain them and points of intersection of these lines in relation to the triangle change.

R1eGOScsIpdnY1

RR7Hr8vCbIEiE1

Rysunek przedstawia układ współrzędnych oraz trójkąt ABC o wierzchołkach w punktach A = (-6, 4), B = (3, 3), C = (0, -4). — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R16ipg2oCNMSJ1

Rysunek przedstawia układ współrzędnych, trójkąt ABC o wierzchołkach w punktach A = (-6, 4), B = (3, 3), C = (0, -4), proste zawierające wysokości trójkąta ABC oraz punkt H ich przecięcia, czyli ortocentrum tego trójkąta. Współrzędne punktu H: ułamek dziewiętnaście trzydziestych trzecich i ułamek trzynaście jedynastych. Zaznaczone są kąty proste między bokami i wysokościami trójkąta ABC. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

ReRoNPXR1KZwY1

Rysunek przedstawia układ współrzędnych, trójkąt ABC o wierzchołkach w punktach A = (-6, 4), B = (3, 3), C = (0, -4), środkowe trójkąta ABC oraz punkt M = (-1, 1) ich przecięcia, czyli środek ciężkości tego trójkąta. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R1WMrt8Y7WufI1

Rysunek przedstawia układ współrzędnych, trójkąt ABC o wierzchołkach w punktach A = (-6, 4), B = (3, 3), C = (0, -4), symetralne boków trójkąta ABC oraz punkt S ich przecięcia, czyli środek okręgu opisanego na tym trójkącie. Współrzędne punktu S: minus ułamek pięćdziesiąt dziewięć trzydziestych trzecich i dziesięć jedynastych. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RPqweRtllC9791

R1Z6LrdU9Qdjc1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

In the following exercises, you will learn to find equations of lines containing altitudes, medians and perpendicular bisectors of sides of a triangle.

Task 2

RVcF21ijiuwkF1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Open the applet from the task above: “Triangle, its altitudes, medians and perpendicular bisectors” and set the location of vertices of the ABC triangle so that $A = (- 3, 2)$ , $B = (2, - 3)$ , $C = (5, 6)$ . Find:

a. the equation of a line that contains the altitude of the ABC triangle that starts at the A vertex,

b. the line equation that contains the medianmedianmedian BBIndeks dolny 1 of the triangle ABC,

c. the line equation of the perpendicular bisector of the AB side.

a. $h_{A} : y = - \frac{1}{3} x + 1$

b. $p r B B_{1} : y = - 7 x + 13$

cc $s y m_{A C} : y = - 2 x + 6$

R8X8OoTSXyMsT1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

How did you find the line $h_{A}$ ? Compare your way with the following algorithm:

calculate the slopeslopeslope of the line $BC$ : $a_{B C} = \frac{6 - (- 3)}{5 - 2} = 3$ ,
write the equation of the line $BC$ in the form $BC$ : $y = 3 x + b$ ,
insert coordinatescoordinatescoordinates of the point $B = (2, - 3)$ to this equation: $- 3 = 3 \cdot 2 + b$ and calculate $b = - 9$ ,
write the equation of the line $BC$ : $y = 3 x - 9$ ,
calculate the slopeslopeslope of the line $h_{a}$ , knowing that it is perpendicular to the line $BC$ : $a_{h_{A}} = - \frac{1}{3}$ ,
write the line equation $h_{A}$ in the form $h_{A}$ : $y = - \frac{1}{3} x + b$ ,
insert coordinatescoordinatescoordinates of the point $A = (- 3, 2)$ to this equation: $2 = - \frac{1}{3} \cdot (- 3) + b$ and calculate $b = 1$ ,
write the equation of the line $h_{A}$ : $y = - \frac{1}{3} x + 1$ .

Notice that it can be simplified:

RuUjaTQNJ4RNQ1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

calculate the slopeslopeslope of the line $BC$ : $a_{B C} = \frac{6 - (- 3)}{5 - 2} = 3$ ,
calculate the slope of the line $h_{A}$ , knowing that it is perpendicular to the line $BC$ : $a_{h_{A}} = - \frac{1}{3}$ ,
write the line equation $h_{A}$ , using the equation:

$y = a (x - x_{A}) + y_{A}$ of a line of a given slopeslopeslope a going through a given point $A = (x_{A}, y_{A})$ :

$h_{A} : y = - \frac{1}{3} (x - (- 3)) + 2$ , that is $y = - \frac{1}{3} x + 1$ .

R1OlGqz8cCk0h1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

We can find the line containing the medianmedianmedian $B B_{1}$ in a similar way:

calculate coordinatescoordinatescoordinates of the midpoint $B_{1}$ of the side $AC$ : $B_{1} = (\frac{- 3 + 5}{2}, \frac{2 + 6}{2}) = (1, 4)$ ,
calculate the slopeslopeslope of the line $B B_{1}$ : $a_{B B_{1}} = \frac{4 - (- 3)}{1 - 2} = - 7$ ,
calculate the equation of the line $B B_{1}$ , using the equation:

$y = a (x - x_{A}) + y_{A}$ of a line of a given slopeslopeslope a and going through a given point $A = (x_{A}, y_{A})$ :

$B B_{1} : y = - 7 (x - 2) + (- 3)$ , that is $y = - 7 x + 11$ .

R19jpkMpUr1nY1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Similarly, we can find equation of the perpendicular bisector of the side $AC$ :

calculate coordinatescoordinatescoordinates of the midpoint $B_{1}$ of the side $AC$ : $B_{1} = (\frac{- 3 + 5}{2}, \frac{2 + 6}{2}) = (1, 4)$ ,
calculate the slopeslopeslope of the line $AC$ : $a_{A C} = \frac{6 - 2}{5 - (- 3)} = \frac{1}{2}$ ,
calculate the slope of the line $s y m_{A C}$ , knowing that it is perpendicular to the line $AC$ : $a_{s y m_{A C}} = - 2$ ,
write the equation of the line $s y m_{A C}$ , using the equation:

$y = a (x - x_{A}) + y_{A}$ of a line of a given slopeslopeslope a and going through a given point $A = (x_{A}, y_{A})$ :

$s y m_{A C} : y = - 2 (x - 1) + 4$ , that is $y = - 2 x + 6$ .

Task 3

R1IVjqfbbBn3r1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

In the $ABC$ triangle from the previous exercise, find:

a) equations of lines that contain altitudes of the $ABC$ triangle that start at the $B$ and $C$ vertices,

b) line equations that contain medians $A A_{1}$ and $C C_{1}$ of the triangle $ABC$ ,

c) line equations of the perpendicular bisectors of sides $AB$ and $BC$ .

Verify each obtained equation by using the applet: „Equation of a line that goes through two given points” (M403).

R1X3ekK3Spn2u1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Do the following exercises.

Task 4

RLn3mUoSNfrDy1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Point $D = (2, 0)$ is the midpoint of the side $BC$ of the triangle $ABC$ , in which $A = (- 6, 1)$ ), $B = (- 1, - 4)$ . Find the equation:

a. of a line that contains the altitude of the $ABC$ triangle that starts at the $C$ vertex,

b. the line equation that contains the medianmedianmedian $AC$ and $BC$ of the triangle $ABC$ ,

c. the line equation of the perpendicular bisector of the $AC$ side of the triangle $ABC$ .

Task 5

An extra task:

RAclAQkXIj1C11

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Point $P = (6, 9)$ is the midpoint of the point $CD$ of the rhombus $ABCD$ , in which $A = (- 10, - 6)$ i $B = (6, - 4)$ . Find equations of lines containing sides $BC$ and $DC$ of this rhombus.

Remember:

R1ZraV8z3T3M91

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Formulas for calculating coordinatescoordinatescoordinates of the midpoint of a line segment and condition for perpendicularity of lines are basic information necessary while finding equations of lines containing medians, altitudes and perpendicular bisectors of sides of a triangle.

Exercises

Exercise 1

RvpuK8NDZzuOd

Wersja alternatywna ćwiczenia: There is a triangle ABC in which A = (-5, 3), B = (5, -1), C = (3, 7). Możliwe odpowiedzi: 1. The line whose equation is y = 2x + 1 contains one of the altitudes of the ABC triangle, 2. The perpendicular bisector BC of the triangle ABC is the line whose equation is

y = \frac{1}{4} x + 2

., 3. The line whose equation is

y = - \frac{6}{7} x + \frac{29}{7}

contains the median

B B_{1}

of the ABC triangle., 4. The line containing the altitude starting at the vertex A contains the median of the ABC triangle

There is a triangle ABC in which A = (-5, 3), B = (5, -1), C = (3, 7).

The line whose equation is y = 2x + 1 contains one of the altitudes of the ABC triangle
The perpendicular bisector BC of the triangle ABC is the line whose equation is $y = \frac{1}{4} x + 2$ .
The line whose equation is $y = - \frac{6}{7} x + \frac{29}{7}$ contains the median $B B_{1}$ of the ABC triangle.
The line containing the altitude starting at the vertex A contains the median of the ABC triangle

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Exercise 2

Points $A = (- 1, - 3)$ and $B = (6, - 2)$ are vertices of the $A B C$ triangle. Altitudes $AD$ and $BD$ of this triangle contain in lines whose equations are $y = \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$ and $y = - \frac{1}{3} x$ . Find the equation of a line containing the altitude $BD$ of this triangle.

Searched line $CF$ is perpendicular to the line of the side $AB$ and since the slope of the line $AB$ is equal $a_{A B} = \frac{- 2 - (- 3)}{6 - (- 1)} = \frac{1}{7}$ , then slope of the line $CF$ is equal $a_{C F} = - 7$ .

Lines containing altitudes of a triangle intersect in one point $H$ , whose coordinates can be calculated by solving the system of equations:

$y = \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$ and $y = - \frac{1}{3} x$

Therefore

$\frac{1}{2} x - \frac{5}{2} = \frac{1}{3} x$ ,

$3 x - 15 = - 2 x$ ,

$5 x = 15$ ,

$x = 3$ ,

Therefore

$y = - \frac{1}{3} \cdot 3 = - 1$ , so $H = (3, - 1)$ .

The equation of the line $CF$ has the form $y = - 7 (x - 3) - 1$ , that is $y = - 7 x + 20$ .

Exercise 3

There are vertices of a triangle $A = (- 2, 1)$ , $B = (4, - 2)$ and $C = (3, 6)$ . Find the equation of a line containing the median $CD$ of this triangle.

Write down your line of reasoning in English.

Use formulas for coordinates of the midpoints of a line segment

$D = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ , where $D$ – the midpoint $AB$ , $A = (x_{A}, y_{A})$ and $B = (x_{B}, y_{B})$ .

We insert coordinates of points $A$ and $B$ into these formulas and we obtain

$D = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{1 + (- 2)}{2}) = (1, - \frac{1}{2})$ .

We calculate the slope of the line $CD$ using the formula

$a_{C D} = \frac{y_{D} - y_{C}}{x_{D} - c_{C}}$ .

We insert coordinates of points $C$ and $C$ into this formula and we obtain

$a_{C D} = \frac{- \frac{1}{2} - 6}{1 - 3} = \frac{- \frac{13}{2}}{- 2} = \frac{13}{4}$ .

We use the equation $y = a (x - x_{A}) + y_{A}$ of a line of a given slope a and going through a given point $A = (x_{A}, y_{A})$ . We choose either $C$ or $D$ point and insert coordinates of this point and calculates slope to this equation:

$y = \frac{13}{4} (x - 3) + 6$ , that is $y = \frac{13}{4} x - \frac{15}{4}$ .

Exercise 4

RVxE4KpSf9x3I

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

środek ciężkości - centroid
środek okręgu opisanego - circumcenter
współczynnik kierunkowy prostej - slope
symetralna boku - perpendicular bisector of side
środkowa - coordinates
współrzędne - median

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R1L3QgYRIvvhW1

Match Polish terms with their English equivalents.

współrzędne
symetralna boku
perpendicular bisector of side
środkowa
środek okręgu opisanego
środek ciężkości
coordinates
centroid
circumcenter
median

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

centroid

środek ciężkości

ReD6mVyVuoaB91

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: centroid

circumcenter

środek okręgu opisanego

RMKTdytRJr6Sc1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: circumcenter

coordinates

współrzędne

RnkbvzDuCIdLH1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: coordinates

median

środkowa

RqlqkVHKO5WIb1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: median

perpendicular bisector of side

symetralna boku

RpI5o0g1RiAPE1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: perpendicular bisector of side

slope

współczynnik kierunkowy prostej

R1IYanrooTsNR1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: slope

Keywords

centroidcentroidcentroid - w trójkącie - punkt przecięcia środkowych trójkąta

circumcentercircumcentercircumcenter

coordinatescoordinatescoordinates

medianmedianmedian - w trójkącie - odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

perpendicular bisector of sideperpendicular bisector of sideperpendicular bisector of side

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords