Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań

Metoda przeciwnych współczynników polega na tym, aby po dodaniu lub odjęciu równań stronami wyeliminować jedną z niewiadomych i otrzymać równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

RXisuiqUjikpr1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Omawiana metoda rozwiązywania układów równań nazywa się metodą przeciwnych współczynników, ponieważ gdy współczynniki przy wybranej niewiadomej są liczbami przeciwnymi, wystarczy dodać równania stronami w celu zredukowania jednej zmiennej i otrzymania równania z jedną niewiadomą.

Przykład 1

RX1RdGUAnQTl01

Przykład 2

R14esn5902MrI1

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą przeciwnych współczynników, równanie, które otrzymaliśmy w wyniku dodawania równań stronami, okaże się równaniem sprzecznym, to układ równań nie ma rozwiązania, jest układem sprzecznym.

Przykład 3

RlcIzAln56QYc1

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą przeciwnych współczynników, równanie, które otrzymaliśmy w wyniku dodawania równań stronami, okaże się równaniem tożsamościowym, to układ równań ma nieskończenie wiele par liczb spełniających ten układ, czyli jest to układ nieoznaczony.

Przykład 4

Nie zawsze współczynniki przy niewiadomych $x$ lub $y$ są liczbami przeciwnymi. Czasami trzeba obie strony jednego z równań pomnożyć lub podzielić przez odpowiednią liczbę różną od zera, aby otrzymać przeciwne współczynniki przy wybranej niewiadomej.

R5PvjvPXvLbTZ1

Przykład 5

RUqq6vlrwl5Uc1

iGL1KWHvYq_d5e525

Ćwiczenie 1

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.
$\{\begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = - 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x + y = 1 \\ x - y = 3 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x + 2 y = - 4 \\ x - 2 y = 0 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 2 x + y = 0 \\ 2 x - y = 2 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = - 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 0,5 \\ y = - 1 \end{matrix}$

Ćwiczenie 2

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\{\begin{matrix} 2 x + 2 y = - 4 \\ x - y = 0 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x + 2 y = 0 \\ 2 x + y = - 3 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 2 x + y = 3 \\ x - 3 y = 5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x + 2 y = 3 \\ 3 x - y = - 5 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \end{matrix}$

Ćwiczenie 3

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\{\begin{matrix} 2 x + 2 y = 2 \\ 3 x - 3 y = - 9 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = 4 \\ 2 x + 3 y = 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 2 x + 5 y = - 3 \\ 3 x - 2 y = 5 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} 4 x + 3 y = - 4 \\ 3 x - 5 y = - 3 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \end{matrix}$
$\{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 0 \end{matrix}$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Dodając stronami równania układu $\{\begin{matrix} 5 x + 7 y = 12 \\ 2 x - 7 y = 2 \end{matrix}$ , otrzymamy równość

REKdSy4wPEfwj

$7 x = 10$
$7 x = 14$
$x = 2$
$7 y = 14$

static

Ćwiczenie 4

Dodając stronami równania układu $\{\begin{matrix} 5 x + 7 y = 12 \\ 2 x - 7 y = 2 \end{matrix}$ , otrzymamy równość

RHEMFpqSl8HbB

$7 x = 10$
$7 x = 14$
$x = 2$
$7 y = 14$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Aby zredukować zmienną $x$ z układu równań $\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 6 \\ x + 4 y = 1 \end{matrix}$ , należy drugie równanie pomnożyć przez

R15ZxXdqzv13o

$3$
$2$
$- 3$
$2$

static

Ćwiczenie 5

Aby zredukować zmienną $x$ z układu równań $\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 6 \\ x + 4 y = 1 \end{matrix}$ , należy drugie równanie pomnożyć przez

RSWZsK2AJ2PNC

$3$
$2$
$- 3$
$2$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Aby zredukować zmienną $x$ z układu równań $\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 1 \\ 2 x + 5 y = 3 \end{matrix}$ , należy pierwsze i drugie równanie pomnożyć odpowiednio przez

RLL64TzwoHIgM

$2$ i $- 3$
$2$ i $3$
$5$ i $2$
$5$ i $2$

static

Ćwiczenie 6

Aby zredukować zmienną $x$ z układu równań $\{\begin{matrix} 3 x - 2 y = 1 \\ 2 x + 5 y = 3 \end{matrix}$ , należy pierwsze i drugie równanie pomnożyć odpowiednio przez

R1LI5zAP3uc5U

$2$ i $- 3$
$2$ i $3$
$5$ i $2$
$5$ i $2$

Ćwiczenie 7

RQoFcIG2PTKh71

Przeciągnij i upuść tak, aby utworzyć kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą przeciwnych współczynników.

$- 26$ , $4 x$ , 2x+3y=134x-y=-9

1. Etap
$2 x + 3 y = 13 | \cdot (- 2)$
$4 x - y = - 9$
2. Etap
{ $- 4 x$ , $- 7$ , $5$ , $15$ , $7$ , $- 2$

$................................................................................................................- 6 y =................................................................................................................4 x- y = - 93. Etap................................................................................................................y = - 35y =................................................................................................................4. Etap2 x + 3 \cdot 5 = 132 x +................................................................................................................= 132 x =................................................................................................................x = - 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iGL1KWHvYq_d5e796

Ćwiczenie 8

R1a1amMWzGGJn1

Przeciągnij i upuść tak, aby utworzyć kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą przeciwnych współczynników.

$- 6 x$ , $- 2$ , $7 y$ , $- 10$ , $- 6$ , $2$ , $- 3 x$ , $- 3$ , -3x+5y=-162x-y=6

1. Etap
$- 3 x + 5 y = - 16 | \cdot 2$
$2 x - y = 6 | \cdot$ { $3$ , $6 x$ , $- 32$ , $- 3 y$

$..................................................................................................2. Etap..................................................................................................+10 y =....................................................................................................................................................................................................+..................................................................................................= 183. Etap..................................................................................................= - 14y =..................................................................................................4. Etap..................................................................................................+ 5 \cdot (- 2) = - 16- 3 x +..................................................................................................= - 16- 3 x =..................................................................................................x =..................................................................................................$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RfPKsy81gYxKd1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RUMfNZOP47Wit1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 11

Dodając równania stronami w metodzie przeciwnych współczynników, otrzymujemy równanie $2 x = 0$ . Oznacza to, że układ jest

RZeS7BFXYBlTn

nieoznaczony
sprzeczny
oznaczony

static

Ćwiczenie 11

Dodając równania stronami w metodzie przeciwnych współczynników, otrzymujemy równanie $2 x = 0$ . Oznacza to, że układ jest

R3lCP36j54Bci

nieoznaczony
sprzeczny
oznaczony

classicmobile

Ćwiczenie 12

Dodając równania stronami w metodzie przeciwnych współczynników, otrzymujemy równanie $0 x = 5$ . Oznacza to, że układ jest

Rh3KXS6bPEjDi

oznaczony
sprzeczny
nieoznaczony

static

Ćwiczenie 12

Dodając równania stronami w metodzie przeciwnych współczynników, otrzymujemy równanie $0 x = 5$ . Oznacza to, że układ jest

R1cehmi3m7sin

oznaczony
sprzeczny
nieoznaczony

classicmobile

Ćwiczenie 13

Dodając równania stronami w metodzie przeciwnych współczynników, otrzymujemy równanie $0 x = 0$ . Oznacza to, że układ jest

R1N48HUqKtgxF

sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony

static

Ćwiczenie 13

Dodając równania stronami w metodzie przeciwnych współczynników, otrzymujemy równanie $0 x = 0$ . Oznacza to, że układ jest

R17mtU7mnZZXD

sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony

classicmobile

Ćwiczenie 14

Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{matrix} 2 x - y = 4 \frac{1}{2} \\ - x + y = - 3 \frac{1}{2} \end{matrix}$ jest para liczb:

RkWZJuSubnuVX

$x = 1 y = - 4 \frac{1}{2}$
$x = 1 y = - 2 \frac{1}{2}$
$x = 4 \frac{1}{2} y = 1$
$x = - 1 y = - 2$

static

Ćwiczenie 14

Rozwiązaniem układu równań $\{\begin{matrix} 2 x - y = 4 \frac{1}{2} \\ - x + y = - 3 \frac{1}{2} \end{matrix}$ jest para liczb:

R19y6JifRkHhZ

$x = 1 y = - 4 \frac{1}{2}$
$x = 1 y = - 2 \frac{1}{2}$
$x = 4 \frac{1}{2} y = 1$
$x = - 1 y = - 2$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Zaznacz zdanie prawdziwe.

RNyWHi5Aziht5

static

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Rozwiązywanie układów równań

Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań