The teacher informs the students that during this class they will apply the properties of congruent trianglescongruent trianglescongruent triangles in geometric problems.
The students recollect the concept of congruent figures and the properties of congruent trianglescongruent trianglescongruent triangles.
- The figures with the same shape and size are called congruent figurescongruent figurescongruent figures. The properties of congruent trianglescongruent trianglescongruent triangles.
- Criterion ASA: Two triangles are congruent only when the length of the side of one triangle and two adjacent angles are equal to the length of the side and the two adjacent angles of the corresponding triangle.
The students work in groups using the snowball technique. The task of every group is to formulate the properties of congruent right triangles.
The first group writes one of the discovered properties on the poster and passes the poster to another group. This group adds another property and passes the poster on. The poster goes between groups. The last group presents the results. If the students managed to discover 5 properties, they finish this stage of the class. If not, they start discussion leading to the discovery of the missing properties.
Task The students work individually to solve the following problem: Two equilateral triangles CBF and ABE were built on sides AB and BC of square ABCD. Prove that DF = DE. Hint: Prove that triangles EAD and DCF are congruent.
Task The students work in pairs analysing their proofs. Next, using their computers, they compare their ideas to the ones presented in the applet. They cooperate to consider if line segments DF and DE will be equal also when quadrangle ABCD will be a rectangle.
[Geogebra applet]
The pair nominated by the teacher presents their ideas and findings.
The students still work in pairs, trying to use the simplest ways of solving the tasks, which require applying the properties of congruent trianglescongruent trianglescongruent triangles.
Task Prove that two isosceles triangles are congruent if their bases and altitudes are of the same length.
Task The sum of areas of two congruent trianglescongruent trianglescongruent triangles equals 60. The lengths of the sides of these triangles are expressed with natural numbers. What is the length of the shortest side in these triangles?
Task The centre of side AB in isosceles trapezoid ABCD is point E. In which case triangles ADE, CDE and BCE are congruent?
An extra task: Applying a selected property of congruent trianglescongruent trianglescongruent triangles, justify that the lengths of the diagonals in an isosceles trapezoid are equal.
Then they cooperate to summarize the class and formulate conclusions to memorize.
- The properties of congruent trianglescongruent trianglescongruent triangles are used in geometric proofs, for example to prove that given line segments have the same length.
Selected words and expressions used in the lesson plan
Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.
Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.
m0b39c5751cc8be61_1528449000663_0
Przystawanie trójkątów
m0b39c5751cc8be61_1528449084556_0
Trzeci
m0b39c5751cc8be61_1528449076687_0
VIII. Planimetria. Uczeń:
12) przeprowadza dowody geometryczne.
m0b39c5751cc8be61_1528449068082_0
45 minut
m0b39c5751cc8be61_1528449523725_0
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
m0b39c5751cc8be61_1528449552113_0
1. Zastosowanie cech przystawania trójkątów, także w zadaniach na dowodzenie.
2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m0b39c5751cc8be61_1528450430307_0
Uczeń:
- stosuje cechy przystawania trójkątów,
- przeprowadza dowody geometryczne z wykorzystaniem cech przystawania trójkątów.
m0b39c5751cc8be61_1528449534267_0
1. Dyskusja.
2. Śnieżna kula.
m0b39c5751cc8be61_1528449514617_0
1. Praca indywidualna.
2. Praca grupowa.
m0b39c5751cc8be61_1528450127855_0
Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji wykorzystają cechy przystawania trójkątów w zadaniach geometrycznych.
Uczniowie przypominają pojęcie figur przystających oraz cechy przystawania trójkątów.
Definicja - figury przystające.
- Figury, które mają ten sam kształt i wielkość nazywamy figurami przystającymi.
Cechy przystawania trójkątów:
- Cecha BBB: Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta.
- Cecha BKB: Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta..
- Cecha BKK: Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długość boku i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe długości boku i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta.
m0b39c5751cc8be61_1528446435040_0
Uczniowie pracują w grupach metodą śnieżnej kuli. Zadaniem każdej grupy jest sformułowanie cech przystawania trójkątów prostokątnych.
Pierwsza grupa zapisuje na kartonie jedną z odkrytych przez siebie cech i przekazuje karton drugiej grupie. Druga grupa dopisuje odkrytą przez siebie cechę, ale inną niż już zapisana i przekazuje karton dalej. W ten sposób karton krąży od grupy do grupy. Ostatnia z grup prezentuje wyniki. Jeśli uczniom udało się odkryć 5 cech, uczniowie kończą ten etap zajęć. Jeśli nie – następuje dyskusja prowadząca do odkrycia brakujących cech.
Polecenie Uczniowie pracują indywidualnie rozwiązując następujący problem: Na bokach AB i BC kwadratu ABCD zbudowano dwa trójkąty równoboczne CBF oraz ABE. Udowodnij, że DF = DE. Wskazówka: Wykaż, że trójkąty EAD oraz DCF są przystające.
Polecenie Uczniowie w parach analizują swoje dowody. Następnie, korzystając z komputerów, porównują swoje rozważania z przedstawionymi w aplecie. Wspólnie zastanawiają się, czy odcinki DF i DE będą równe także w przypadku, gdy czworokąt ABCD będzie prostokątem.
[Geogebra aplet]
Wybrana przez nauczyciela para prezentuje swoje pomysły i ustalenia.
Uczniowie nadal pracują w parach, starając się jak najprostszymi sposobami rozwiązać zadania, wymagające wykorzystania cech przystawania trójkątów.
Polecenie Wykaż, że dwa trójkąty równoramienne są przystające, gdy mają równe podstawy i ich wysokości są tej samej długości.
Polecenie Suma pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych jest równa 60. Długości boków tych trójkątów wyrażają się liczbami naturalnymi. Jaką długość ma najkrótszy bok w tych trójkątach?
Polecenie W trapezie równoramiennym ABCD, środkiem boku AB jest punkt E. W jakim przypadku trójkąty ADE, CDE i BCE są przystające?
Polecenie dla chętnych: Wykorzystując wybraną cechę przystawania trójkątów, uzasadnij, że długości przekątnych w trapezie równoramiennym są równe.
m0b39c5751cc8be61_1528450119332_0
Uczniowie wykonują zadania utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułują wniosek do zapamiętania.
- Cechy przystawania trójkątów wykorzystuje się w dowodach geometrycznych, między innymi do wykazania, że pewne odcinki są tej samej długości.