Temat

Przystawanie trójkątów

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.

Cele szczegółowe

1. Zastosowanie cech przystawania trójkątów, także w zadaniach na dowodzenie.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje cechy przystawania trójkątów,

- przeprowadza dowody geometryczne z wykorzystaniem cech przystawania trójkątów.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Śnieżna kula.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji wykorzystają cechy przystawania trójkątów w zadaniach geometrycznych.

Uczniowie przypominają pojęcie figur przystających oraz cechy przystawania trójkątów.

Definicja - figury przystające.

- Figury, które mają ten sam kształt i wielkość nazywamy figurami przystającymi.

Cechy przystawania trójkątów:

- Cecha BBB:
Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta.

- Cecha BKB:
Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zawartemu drugiego trójkąta..

- Cecha BKK: 
Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy długość boku i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są odpowiednio równe długości boku i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąta.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują w grupach  metodą śnieżnej kuli. Zadaniem każdej grupy jest sformułowanie cech przystawania trójkątów prostokątnych.

Pierwsza grupa zapisuje na kartonie jedną z odkrytych przez siebie cech i przekazuje karton drugiej grupie. Druga grupa dopisuje odkrytą przez siebie cechę, ale inną niż już zapisana i przekazuje karton dalej. W ten sposób karton krąży od grupy do grupy. Ostatnia z grup prezentuje wyniki. Jeśli uczniom udało się odkryć 5 cech, uczniowie kończą ten etap zajęć. Jeśli nie – następuje dyskusja prowadząca do odkrycia brakujących cech.

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie rozwiązując następujący problem:
Na bokach AB i BC kwadratu ABCD zbudowano dwa trójkąty równoboczne CBF oraz ABE. Udowodnij, że DF = DE. Wskazówka: wykaż, że trójkąty EAD oraz DCF są przystające.

Polecenie
Uczniowie w parach analizują swoje dowody. Następnie, korzystając z komputerów, porównują  swoje rozważania z przedstawionymi w aplecie. Wspólnie zastanawiają się, czy odcinki DF i DE będą równe także w przypadku, gdy czworokąt ABCD będzie prostokątem.

[Geogebra aplet]

Wybrana przez nauczyciela para prezentuje swoje pomysły i ustalenia.

Uczniowie nadal pracują w parach, starając się jak najprostszymi sposobami rozwiązać zadania, wymagające wykorzystania cech przystawania trójkątów.

Polecenie 
Wykaż, że dwa trójkąty równoramienne są przystające, gdy mają równe podstawy i ich wysokości są tej samej długości.

Polecenie 
Suma pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych jest równa 60. Długości boków tych trójkątów wyrażają się liczbami naturalnymi. Jaką długość ma najkrótszy bok w tych trójkątach?

Polecenie 
W trapezie równoramiennym ABCD, środkiem boku AB jest punkt E. W jakim przypadku trójkąty ADE, CDE i BCE są przystające?

Polecenie dla chętnych:
Wykorzystując wybraną cechę przystawania trójkątów, uzasadnij, że długości przekątnych w trapezie równoramiennym są równe.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułują wniosek  do zapamiętania:

- Cechy przystawania trójkątów wykorzystuje się w dowodach geometrycznych, między innymi do wykazania, że pewne odcinki są tej samej długości.