Rozwiążemy równanie: $\cos x·\cos 2x·\cos 3x=-1$. Ponieważ funkcja kosinus x ma wartości w przedziale nawias ostry, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu ostrego, zatem iloczyn funkcji kosinus x, przecinek, kosinus dwa x, przecinek, kosinus trzy x przyjmuje co najmniej wartość nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Możliwe są następujące cztery przypadki. Przypadek pierwszy: kosinus x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, minus, jeden. Przypadek drugi: kosinus x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, jeden. Przypadek trzeci: kosinus x, równa się, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, jeden. Przypadek czwarty: kosinus x, równa się, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, minus, jeden. Na ilustracji przedstawiono trzy wykresy funkcji: y, równa się, kosinus x, przecinek, y, równa się, kosinus dwa x, przecinek, y, równa się, kosinus trzy x. Rysunke przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwóch pi oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden z podziałką co ćwierć. Znany nam wykres y, równa się, kosinus x przebiega standardowo. Jego punkty charakterystyczne to: nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, PI, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa PI, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, a jego okres to dwa PI. Wykres funkcji y, równa się, dwa kosinus x jest bardziej ściśnięty, niż standardowy wykres funkcji cosinus i przebiega przez następujące punkty charakterystyczne: nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, PI, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa PI, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, a jego okres to PI. Wykres funkcji y, równa się, trzy kosinus x jest jeszcze bardziej ściśnięty, niż standardowy wykres funkcji cosinus i przebiega przez następujące punkty charakterystyczne: nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, PI, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, PI, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa PI, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, a jego okres to początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, PI. Z rysunku możemy postawić hipotezę, że równanie nie ma rozwiązań. Dalej udowodnimy tę hipotezę. Rozważmy przypadek pierwszy, czyli kosinus x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, minus, jeden. Tutaj mamy, że kosinus x, równa się, minus, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, PI, plus, dwa k PI, następnie kosinus dwa x, równa się, minus, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI oraz kosinus trzy x, równa się, minus, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, k PI. Zatem nie istnieją ementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: kosinus x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, minus, jeden. W przypadku drugim, dla kosinus x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, jeden mamy następujące rozwiązania: kosinus x, równa się, minus, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, PI, plus, dwa k PI, następnie kosinus dwa x, równa się, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, k PI oraz kosinus trzy x, równa się, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, k PI. Zatem nie istnieją elementy, które spełniają każde z następujących równań: kosinus x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, jeden. W przypadku trzecim, gdzie kosinus x, równa się, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, jeden, mamy następujące rozwiązania: kosinus x, równa się, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, dwa k PI, następnie kosinus dwa x, równa się, minus, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, k PI oraz kosinus trzy x, równa się, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, k PI. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: kosinus x, równa się, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, minus, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, jeden. W przypadku czwartym, gdzie kosinus x, równa się, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, minus, jeden mamy następujące rozwiązania: kosinus x, równa się, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, dwa k PI, następnie kosinus dwa x, równa się, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, k PI oraz kosinus dwa x, równa się, jeden wtedy i tylko wtedy, gdy x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, k PI. Zatem nie istnieją elementy, które jednocześnie spełniają każde z równań: kosinus x, równa się, jeden, przecinek, kosinus dwa x, równa się, jeden, przecinek, kosinus trzy x, równa się, minus, jeden. Zatem równanie kosinus x, razy, kosinus dwa x, razy, kosinus trzy x, równa się, minus, jeden nie ma żadnych rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.