3. Identifies angles between line segments in prisms and pyramids (for example, between edges, edges and diagonals) and angles between sides and calculates these angles;
5. Identifies the figure of the given cross‑section of the prism by a plane;
6. Calculates the volume and the total surface area of prisms, pyramids, cylinders, cones and spheres, using trigonometry and learnt theorems.
1. Identifying angles between line segments in prisms and pyramids (for example, between edges, edges and diagonals) and angles between sides and calculating these angles; identifying the figure of the given cross‑section of the prism by a plane.
2. Calculating the volume and the total surface area of prisms, also using trigonometry and learnt theorems.
3. Communicating in English, developing basic mathematical, computer and scientific competences, developing learning skills.
- identifies angles between line segments in prisms and pyramids (for example, between edges, edges and diagonals) and angles between sides and calculates these angles; identifies the figure of the given cross‑section of the prism by a plane,
- calculates the volume and the total surface area of prisms, also using trigonometry and learnt theorems.
The teacher divides students into four groups. The task of each group is to present information prepared at home.
Task for groups
Based on information prepared earlier, make a poster illustrating information about the following subject.
Group 1
Right prismright prismRight prism – built, properties, kinds.
Group 2
Line segments and angles in prisms.
Group 3
Cross‑sections of prisms.
Group 4
The total surface area and volume of the prism.
Information that should be in groups’ presentations:
Group 1
Right prism – built, properties, kinds.
- the right prismright prismright prism is such polyhedron whose two congruent sides (bases) are located in parallel planes and the other sides are rectangles.
- if the base of the prism is a regular polygon, then we say that the prism is a right regular prismright regular prismright regular prism.
[Illustration]
Group 2
Line segments in prisms.
[Illustration]
base edges: AB, BC, CD, AD, A’B’, B’C’, C’D’, A’D’ face edges: AA’, BB’, CC’, DD’ diagonals of bases: AC, BD, A’C’, B’D’ diagonals of faces AB’, BA’, BC’, B’C, CD’, C’D, AD’, A’D diagonal of the solid figure: AC’, BD’, CA’, DB’
Angles in prisms.
[Illustration]
The angle of inclination of the diagonal of the prism to the plane of the base .
Group 3
Cross‑setions of prisms.
[Illustration]
The cross‑section is a polygon obtain as a result of cutting the prism with any plane.
Group 4
The total surface area and the volume of a prismvolume of a prismvolume of a prism
PIndeks dolny cc = 2· PIndeks dolny pp + PIndeks dolny bb, V = PIndeks dolny pp· H
where:
PIndeks dolny cc – total surface area of the prism
PIndeks dolny pp – base surface area of the prism
PIndeks dolny bb – lateral face surface area of the prism
V – volume of the prism
H – altitude of the prism
Students work individually, using computers. Their task is to analyse the solution of the exemplary task presented in the applet.
[Geogebra applet]
Students work in two‑persons groups. They do exercises using obtained knowledge.
Task 1
Draw a right regular prismright regular prismright regular prism. Mark the angle between the diagonal of the lateral face and the plane of the base.
Draw a cuboid and mark a cross‑section done by the plane that goes through diagonals of bases. Calculate the area of this cross‑section, knowing that dimensions of the cuboid are equal to: 5 cm, 6 cm, 7 cm.
The teacher evaluates the students’ work and clarifies doubts.
An extra task:
Calculate the volume of the cube in which after increasing the length of its edges by 1 cm, the total surface area increased by 66 cmIndeks górny 22.
- graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami, - jeżeli podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny, to mówimy, że taki graniastosłup jest prawidłowy, - przekrój, to wielokąt otrzymany w wyniku przecięcia prostopadłościanu dowolna płaszczyzną, - PIndeks dolny cc = 2· PIndeks dolny pp + PIndeks dolny bb, V = PIndeks dolny pp· H
Oblicz objętość prostopadłościanu, w którym przekątna o długości 9 cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wykonaj odpowiedni rysunek.
m0b529835e6fd5261_1528449000663_0
Graniastosłup prosty i jego własności. Związki miarowe w graniastosłupach
m0b529835e6fd5261_1528449084556_0
Trzeci
m0b529835e6fd5261_1528449076687_0
X. Stereometria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
3. Rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
5. Określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
6. Oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.
m0b529835e6fd5261_1528449068082_0
45 minut
m0b529835e6fd5261_1528449523725_0
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
m0b529835e6fd5261_1528449552113_0
1. Rozpoznawanie i wskazywanie w graniastosłupach kątów między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kątów między ścianami, obliczanie miary tych kątów; określanie, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną.
2. Oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.
3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.
m0b529835e6fd5261_1528450430307_0
Uczeń:
- rozpoznaje i wskazuje w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów oraz określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną,
- oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.
m0b529835e6fd5261_1528449534267_0
1. Metoda odwróconej klasy.
2. Analiza sytuacyjna.
m0b529835e6fd5261_1528449514617_0
1. Praca w parach.
2. Praca grupowa.
m0b529835e6fd5261_1528450135461_0
m0b529835e6fd5261_1528450127855_0
Uczniowie będą pracować metodą odwróconej klasy. W tym celu, w domu przypominają sobie informacje dotyczące graniastosłupów. Mogą skorzystać z informacji zamieszczonych na stronie www.epodreczniki.pl.
m0b529835e6fd5261_1528446435040_0
Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy. Zadaniem każdej grupy jest prezentacja przygotowanych w domu informacji.
Polecenie dla grup
Na podstawie przygotowanych wcześniej informacji, przygotuj plakat obrazujący informacje na podany temat.
- graniastosłup prosty, to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami.
- jeżeli podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny, to mówimy, że taki graniastosłup jest prawidłowy.
Kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy .
Grupa 3
Przekroje prostopadłościanu.
[Ilustracja]
Przekrój, to wielokąt otrzymany w wyniku przecięcia prostopadłościanu dowolną płaszczyzną.
Grupa 4
Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.
PIndeks dolny cc = 2· PIndeks dolny pp + PIndeks dolny bb, V = PIndeks dolny pp· H
gdzie:
Pc – pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
Pp – pole powierzchni podstawy graniastosłupa
Pb – pole powierzchni bocznej graniastosłupa
V – objętość graniastosłupa
H – wysokość graniastosłupa
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest analiza rozwiązania przykładowego zadania przedstawionego w aplecie.
[Geogebra aplet]
Uczniowie pracują w dwuosobowych grupach. Rozwiązują zadania, wykorzystując poznaną wiedzę.
Polecenie 1
Narysuj graniastosłup prawidłowy czworokątny. Zaznacz w nim kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.
Polecenie 2
Oblicz objętość prostopadłościanu, w którym przekątna o długości 9 cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wykonaj odpowiedni rysunek.
Polecenie 3
Narysuj prostopadłościan i zaznacz w nim przekrój płaszczyzną przechodzącą przez przekątne podstaw. Oblicz pole tego przekroju, wiedząc, że wymiary prostopadłościanu są równe: 5 cm, 6 cm, 7 cm.
Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę grup, wyjaśnia wątpliwości.
Polecenie dla chętnych:
Oblicz objętość sześcianu, w którym po zwiększeniu długości jego krawędzi o 1 cm, pole powierzchni całkowitej zwiększyło się o 66 cmIndeks górny 22.
m0b529835e6fd5261_1528450119332_0
Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.
Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania.
- graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami, - jeżeli podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny, to mówimy, że taki graniastosłup jest prawidłowy, - przekrój, to wielokąt otrzymany w wyniku przecięcia prostopadłościanu dowolną płaszczyzną, - PIndeks dolny cc = 2· PIndeks dolny pp + PIndeks dolny bb, V = PIndeks dolny pp· H.