In which of the following cases triangles $ABC$ and $PQR$ are similar?

A)
$\angle A={40}^{\circ },\angle B={60}^{\circ },\angle C={80}^{\circ },\angle P={40}^{\circ },\angle Q={60}^{\circ },\angle R={80}^{\circ }$

B)
$\angle A={40}^{\circ },\angle B={70}^{\circ },\angle C={70}^{\circ },\angle P={50}^{\circ },\angle Q={65}^{\circ },\angle R={65}^{\circ }$

C)
$\left|AB\right|=2,5 cm, \left|BC\right|=4,5 cm, \left|CA\right|=3,5 cm, \left|PQ\right|=5 cm, \left|QR\right|=9 cm, \left|RP\right|=7 cm$

D)
$\left|AB\right|=3 cm, \left|BC\right|=5 cm, \left|CA\right|=5 cm, \left|PQ\right|=4,5 cm, \left|QR\right|=7,5 cm, \left|RP\right|=6 cm$

Open Geogebra applet - „Examples of similar trianglessimilar trianglessimilar triangles” and observe three examples of similar trianglessimilar trianglessimilar triangles, which are commonly used in geometry tasks.

R6Bq13g80cPCV1

Geogebra aplet - Przykłady trójkątów podobnych. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Geogebra aplet - Przykłady trójkątów podobnych. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dmb57mpoA

RBGB1OR0kwhpT1

Rysunek przedstawia trójkąt ABC, w którym poprowadzono odcinek DE równoległy do podstawy AB. Odcinek ten odcina trójkąt DEC. Kąty CAB oraz CDE oznaczono jako α, kąty CBA oraz CED oznaczono jako β. Długość podstawy AB = 9, długość odcinka DE = 6. Trójkąty DEC i ABC są podobne, ze względu na cechę kąt-kąt-kąt. Skala podobieństwa to iloraz długości podstaw obu trójkątów. Na rysunku podana jest skala podobieństwa k = 1,5. 

R1OXB0iFTOLYR1

Rysunek przedstawia trapez ABCD, w którym poprowadzono przekątne AC i BD, które przecinają się w punkcie S. Na rysunku odpowiednimi kolorami zaznaczone kąty, które mają te same miary: CDS i ABC, DCS i SAB, DSC i ASB. Trójkąty ABS oraz CDS są podobne ze względu na cechę kąt-kąt-kąt. Skala podobieństwa to iloraz długości odcinków AB i CD. Rysunek przedstawia przykład, gdy długość podstaw trapezu to odpowiedni 3,9 oraz 7,8. Skala podobieństwa k = 2.

RT1gq5zecDHO81

Rysunek przedstawia szczególny przypadek, gdy trapez ABCD ma równe podstawy, czyli jest równoległobokiem. Wtedy trójkąty powstałe przez przecięcie się przekątnych ASB oraz CDS są przystające, skala podobieństwa jest równa 1.

RiZgiU76FfX2e1

Rysunek przedstawia dwa trójkąty prostokątne ABC. Z wierzchołka kąta prostego C opuszczono wysokość do boku AB. Trójkąty CDB i ADC są podobne ze względu na cechę kąt-kąt-kąt. Trójkąty ADC i CDB są prostokątne. Kolorem zaznaczono kąty tej samej miary: DBC i ACD oraz DCB i CAD. Skala podobieństwa tych trójkątów jest równa ilorazowi długości przeciwprostokątnych trójkątów CDB i ADC. Rysunek po lewej stronie przedstawia sytuację, gdy CB = 5, AC = 10, a skala podobieństwa wynosi 0,5. Rysunek po prawej stronie przedstawia sytuację, gdy BC = 9, AC = 6, a skala podobieństwa k = 1,5.

Do the following tasks.

1. A line parallel to the baseparallel to the baseparallel to the base of triangle ABC cuts off a triangle similar to triangle ABC. Analyse the diagram in the applet. Which criterion of similarity can you use to justify that triangles ABC and DEC are similar? Move segment DE parallelly to base AB. How does the similarity ratiosimilarity ratiosimilarity ratio of triangles change? Pay special attention to case k = 2.

2. The triangles formed by diagonals of a trapezoid and including its bases are similar. Analyse the diagram in the applet. Which criterion of similarity can you use to justify that triangles ASB and DSC are similar? Change the position of the vertices of the trapezoid and check when the triangles including the arms of the trapezoid are similar. Change the position of the vertices so as to form a parallelogram. Which triangles are similar?

3. The altitude of a right triangle dropped from the vertex of the right angle divides the triangle into two similar trianglessimilar trianglessimilar triangles. Analyse the diagram in the applet. Which criterion of similarity can you use to justify that triangles ADC and CDB are similar? Are these triangles also similar to triangle ABC? Why?

In triangle ABC segment DE parallel to base AB was drawn. Find the length of segment BC if |EF| = 10, |AB| = 15, |EB| = 9.

In trapezoid ABCD diagonals AC and BD intersect at point S. Find the length of segment DS, if |AB| = 18, |DC| = 6, |DB| = 16.

In right triangle ABC altitude CD was dropped from the vertex of the right angle. Calculate the length of leg AC, if |CD| = 4, |BD| = 3.

An extra task:

Trapezoid $ABCD$ with bases $\left|AB\right|=a$ and $\left|CD\right|=b$ is given. The line going through the intersection point of the diagonals of the trapezoid intersects the sides of the trapezoid in points $M$ and $N$. Prove that $\left|MN\right|=\frac{2ab}{a+b}$.

R1WyY5YDvaXJ61

Rysunek trójkąta A B C. Na boku AC zaznaczono punkt D, który podzielił go na dwa odcinki AD i DC =2. Punkt E zaznaczony na boku BC podzielił go na dwa odcinki. Odcinek AB =9, odcinek DE =3.

In triangle ABC segment DE parallel to AB was drawn, as show in the diagram. Find the length of segment AD.

The midsegment in a trapezoid connects the centres of its arms. Prove that the midsegment in the trapezoid is parallel to each of its bases.

Present your reasoning in English.