Square inequality

R1SI3r42jhkfA

Nierówność kwadratowa

Learning objectives

You will learn how to solve square inequalities.

You will learn how to determine a set of solutions for square inequalities.

Learning effect

You will learn to solve square inequalities.
You will learn to determine a set of solutions for square inequality.

RCEWytXpc0eqi1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Review what you remember about solving inequalities with one unknown. Give examples of equivalent inequalities, inequalities that do not have a solution and inequalities in which the set of solutions is a closed interval, etc.

R1Pvh7Jm2im091

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The aim of the lesson is to solve square inequalities. Formulate the definition of square inequalitySquare inequalitysquare inequality, based on the known definition of linear inequality.

The square inequality

Definition: The square inequality

RFFJC4QTJKoFR1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The square inequalitySquare inequalitysquare inequality (with the unknown $x$ ) is any inequality, which can be reduced to the form

a x^{2} + b x + c > 0

a x^{2} + b x + c \geq 0

a x^{2} + b x + c < 0

a x^{2} + b x + c \leq 0

a x^{2} + b x + c \leq 0,

where $a, b, c$ are fixed real numbers and $a \neq 0$ .

Rei10tEayF25C1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Analyze the applet presenting a graphical way to solve square inequalities. Formulate the conclusions.

Task 1

RinkWpO2EIeBH1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Analyze the material contained in the applet carefully. What do you notice? Formulate the appropriate conclusions.

Roq4WmAkaIrTC1

Rv5AepYXQtoor1

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. W układzie narysowana jest parabola, której ramiona skierowane są do góry, parabola ma dwa punkty wspólne z poziomą osią OX. Pierwsze współrzędne tych punktów oznaczone są odpowiednio x, indeks dolny jeden, oraz x, indeks dolny dwa. Na osi OX zaznaczone jest rozwiązanie nierówności. Pod wykresem znajduje się zapis – jeden pomnożone przez x kwadrat odjąć trzy, kropka, siedem pomnożone przez x dodać zero, kropka dwa większe od zera wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do przedziału otwartego minus nieskończoność, przecinek, x indeks dolny jeden w sumie, przedział otwarty x, indeks dolny dwa, przecinek, nieskończoność. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R16sFJrnBASxf1

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. W układzie narysowana jest parabola, której ramiona skierowane są do góry, parabola nie ma punktów wspólnych z poziomą osią OX. Pod wykresem znajduje się zapis – jeden pomnożone przez x kwadrat dodać zero, kropka, pięć pomnożone przez x dodać jeden większe od zera wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do zbioru pustego. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RvTFaCENpx5Cs1

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. W układzie narysowana jest parabola, której ramiona skierowane są w dół, parabola nie ma punktów wspólnych z poziomą osią OX. Pod wykresem znajduje się zapis – minus x kwadrat dodać zero, kropka, pięć pomnożone przez x odjąć jeden większe od zera wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do zbioru pustego. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RNAeQ6ReFZFEC1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Conclusion
To solve a square inequalitySquare inequalitysquare inequality you must:

find zeros of the appropriate square functionSquare functionsquare function (if any exist),
sketch the function graph,
read from the graph for which arguments the function takes positive (negative) values.

Use new skills to solve tasks.

Task 2

Rl2NeN0pDnBE41

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Solve the inequality graphically - sketch a graph of the appropriate function and read the solution.

$- x^{2} + x + 2 \leq 0$
$2 x^{2} - 2 x - 4 \geq 0$
$3 x^{2} - 3 x - 6 < 0$

RPkjOPZAgpRiH1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Think

How can you solve a square inequalitySquare inequalitysquare inequality written in the form of a product?
Which product property should you use?
Make hypotheses. Formulate their conclusions.

Task 3

R18p5LxCdzrAg1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Solve the inequality. What kind of product property will you use? Formulate the conclusion.

$(x - 2) (2 x + 6) < 0$
$x (x + 5) > 0$
${(2 x - 8)}^{2} < 0$

R9K7rwLeB8H5N1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Conclusion:
To solve the square inequalitySquare inequalitysquare inequality written in product form, we use the product's properties.

The product sign depends on the sign of individual factors.
If both factors are the same characters, then the product is positive.
If both factors are opposite signs, then the product is negative.

Task 4

RpujKvwHNsBk51

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Check your assumptions by analyzing Slideshow presenting the method of solving square inequalities.

RPZb3NiFIA0UG1

Task 5

RWk9Hhnb31Hyn1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Find the domain of the function $y = - \frac{1}{\sqrt{(3 x - x^{2})}}$ .

Task 6

R1XPAoxsMJuHp1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

There is a square inequalitySquare inequalitysquare inequality $(3 x - 3) (2 x - a) < 0$ z with the unknown $x$ . Calculate the $a$ number, for which the set of solutions for this inequality is the interval (1, 4).

Task 7

Rc6bM19j09Inl1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

A square inequalitySquare inequalitysquare inequality $(3 x - 3) (2 x - a) < 0$ is given with an unknown $x$ . Determine the $a$ number, for which the only solution of inequality is the number $1 \frac{1}{2}$ .

Task 8

RoqaMDeVuRbVS1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Task for volunteers

Calculate the value of the number $m$ so that the domain of the function $y = \sqrt{2 x^{2} - m x + 2}$ is the set of real numbers.

R1PIJHEoPGVtS1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Do the revision exercises.

Remember
To solve a square inequalitySquare inequalitysquare inequality:

calculate zeros of the corresponding square functionSquare functionsquare function (if they exist),
sketch the function graph,
read from the graph for which arguments the function takes positive (negative) values.

Exercises

Exercise 1

RMJwckyIEMSDy

Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The solution of inequality

x^{2} - 4 x > 0

is the set

(- \infty, 0) \cup (4, \infty)

., 2. The number (-5) belongs to the set of inequality solutions

2 x^{2} - 6 x < 0

., 3. The set of inequality solutions

x^{2} \leq 8

are numbers belonging to the range

〈 - 8, 8 〉

., 4. Number 4 belongs to the set of inequalities

(x - 2) (x + 3) > 0

., 5. The number

2 \frac{1}{2}

belongs to the set of inequalities

(x - 3) (2 - x) < 0

., 6. The set of inequalities

3 \cdot (x^{2} + 2) > 5 x

are all real numbers.

Determine which sentences are true.

The solution of inequality $x^{2} - 4 x > 0$ is the set $(- \infty, 0) \cup (4, \infty)$ .
The number (-5) belongs to the set of inequality solutions $2 x^{2} - 6 x < 0$ .
The set of inequality solutions $x^{2} \leq 8$ are numbers belonging to the range $〈 - 8, 8 〉$ .
Number 4 belongs to the set of inequalities $(x - 2) (x + 3) > 0$ .
The number $2 \frac{1}{2}$ belongs to the set of inequalities $(x - 3) (2 - x) < 0$ .
The set of inequalities $3 \cdot (x^{2} + 2) > 5 x$ are all real numbers.

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Exercise 2

Give an example of a square inequality whose set of solutions is the union of intervals

$(- \infty, - 1> \cup <4, \infty)$ .

Exercise 3

Describe in English the way in which the following inequality is solved

${(2 x - 3)}^{2} > {(x + 2)}^{2}$ .

Exercise 4

Rxt8ThgxnFVxC

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

funkcja kwadratowa - square function
miejsca zerowe funkcji kwadratowej - zero points of a square function
nierówność kwadratowa - square inequality
zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej - set of solutions of square inequalities
zbiór pusty - domain of the function
dziedzina funkcji - empty set

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

R3pvnKRcTbi6W1

Match Polish terms with their English equivalents.

funkcja kwadratowa
square function
numerical interval
miejsca zerowe funkcji kwadratowej
zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej
zero points of a square function
square inequality
zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej
nierówność kwadratowa
przedział liczbowy

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

a domain of the function

dziedzina funkcji

R1B0LbvSAfHya1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: a domain of the function

a set of solutions of square inequalities

zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej

RUMdueMA2fIrA1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: a set of solutions of square inequalities

an empty set

zbiór pusty

R1ekDH3hfwy9M1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: an empty set

numerical interval

przedział liczbowy

ROxSXfxwB3HT91

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: numerical interval

square function

funkcja kwadratowa

Run6TTpY60q7B1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: square function

square inequality

nierówność kwadratowa

RYoUNVZEomyeK1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: square inequality

the sum of numerical intervals

suma przedziałów liczbowych

RwdIIS0bENRPx1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: the sum of numerical intervals

zeros of a square function

miejsca zerowe funkcji kwadratowej

R1RYewT1UM4ww1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: zeros of a square function

Keywords

square functionsquare functionsquare function

zeros of a square functionzeros of a square functionzeros of a square function

square inequalitysquare inequalitysquare inequality

a set of solutions of square inequalitiesa set of solutions of square inequalities

numerical intervalnumerical intervalnumerical interval

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords