Do you remember how to inscribe a circle into a triangle? Where does the center of this circle lie?
The triangle incenterincenterincenter is an intersection point of the triangle angle bisectors. The incenterincenterincenter is an equidistant point from the sides of the triangle.
Open the applet. Observe the consecutive circumscribed polygons. Polygons were divided into triangles with a common vertex in the center of the circle.
RSL3hYYaqy0gh1
Aplet przedstawia n-kąty opisane na okręgu, podzielone na trójkąty. Wspólnym wierzchołkiem trójkątów jest środek okręgu, a ich wysokościami są promienie okręgu. Pole takiego wielokąta jest równe sumie pól tych trójkątów. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.
Aplet przedstawia n-kąty opisane na okręgu, podzielone na trójkąty. Wspólnym wierzchołkiem trójkątów jest środek okręgu, a ich wysokościami są promienie okręgu. Pole takiego wielokąta jest równe sumie pól tych trójkątów. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.
Rysunek przedstawia trójkąt ABC, w który wpisano okrąg o środku S i promieniu r. Boki trójkąta mają długości a, b i c. Ze środka okręgu do wierzchołków trójkąta poprowadzono odcinki: SA, SB, SB. Powstały trójkąty ASC, BSC, BSA. Wysokościami tych trójkątów, opuszczonymi do boków trójkąta ABC są promienie okręgu. Pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów ASC, BSC, BSA. Pole trójkąta jest równe połowie jego obwodu pomnożonej przez promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Poniżej zapisano tę własność wzorem. Jedna druga razy a razy r dodać jedna druga razy b razy r dodać jedna druga razy c razy r równa się ułamek w mianowniku a dodać b dodać c, w mianowniku 2, poza ułamkiem razy r.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R176UgVqmAb8C1
Rysunek przedstawia pięciokąt, w który wpisano okrąg o środku S i promieniu r. Boki pięciokąta mają długości a, b, c, d i e. Ze środka okręgu do wierzchołków pięciokąta poprowadzono odcinki, które podzieliły pięciokąt na pięć trójkątów. Wysokościami tych trójkątów, opuszczonymi do boków pięciokąta są promienie okręgu. Pole pięciokąta jest równe sumie pól trójkątów. Pole pięciokąta opisanego na okręgu jest równe połowie jego obwodu pomnożonej przez promień tego okręgu. Poniżej zapisano tę własność wzorem. Jedna druga razy a razy r dodać jedna druga razy b razy r dodać jedna druga razy c razy r dodać jedna druga razy d razy r dodać jedna druga razy e razy r równa się ułamek w mianowniku a dodać b dodać c dodać d dodać e, w mianowniku 2, poza ułamkiem razy r.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Note that the radii of the circle are the altitudes of these triangles, from the incenterincenterincenter to the sides of the polygon. Answer the following questions:
How many triangles has the polygon been divided into?
How to calculate the area of a polygon described on a circle with the radius r, if we know the length of its sides?
How to calculate the area of a polygon described on a circle with the radius r, if we know the perimeter of this polygon?
The area of the circumscribed polygoncircumscribed polygoncircumscribed polygon is equal to its semiperimetersemiperimetersemiperimeter (a half of its perimeter) multiplied by the radius of its incircle.
A trapezoid with perimeter of 54 cm is circumscribed on the circle with the radius of 4 cm. One of its bases is eight times longer than other base. Find the lengths of both bases of this trapezoid.
Hint
Compare the area of the trapezoid calculated with the following formulas and .
The area of the circumscribed polygoncircumscribed polygoncircumscribed polygon is equal to its semiperimetersemiperimetersemiperimeter (a half of its perimeter) multiplied by the radius of its incircle.
The area of a triangle with the sides a, b, c circumscribed on the circle with the radius r can be calculated with the following formula:
Exercises
Exercise 1
RUhkdBN7FKhdd
Wersja alternatywna ćwiczenia: A regular n-gon is circumscribed on a circle with the radius r, n = 3, 4, 5,… Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The greater the n, the larger the area of the regular circumscribed n-gon. , 2. The greater the n, the smaller the area of the regular circumscribed n-gon., 3. The area of a regular circumscribed n-gon is always smaller than ., 4. The area of a regular circumscribed n-gon is always greater than .
Wersja alternatywna ćwiczenia: A regular n-gon is circumscribed on a circle with the radius r, n = 3, 4, 5,… Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The greater the n, the larger the area of the regular circumscribed n-gon. , 2. The greater the n, the smaller the area of the regular circumscribed n-gon., 3. The area of a regular circumscribed n-gon is always smaller than ., 4. The area of a regular circumscribed n-gon is always greater than .
A regular n-gon is circumscribed on a circle with the radius r, n = 3, 4, 5,… Determine which sentences are true.
The greater the n, the larger the area of the regular circumscribed n-gon.
The greater the n, the smaller the area of the regular circumscribed n-gon.
The area of a regular circumscribed n-gon is always smaller than .
The area of a regular circumscribed n-gon is always greater than .
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
The two triangles have the same perimeters: an equilateral triangle with the side of 4 cm and a right triangle with the legs of 3 cm and 4 cm. The circles were inscribed in each triangle. Which radius is longer and by how many times?
The radius of a circle inscribed in an equilateral triangle is longer by times.
Exercise 3
RgOZMSDFD9CVj1
Rysunek przedstawia trójkąt ACB o bokach a, b, c oraz okrąg wpisany w ten trójkąt o środku S i promieniu r. Trójkąt podzielona na mniejsze trójkąty o wspólnym wierzchołku S. W tych trójkątach poprowadzono wysokości.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
On the basis of the figure, carry out the reasoning leading to the formula for the area of the triangle when its perimeter and the radius of its incircle is known. Write your reasoning in English. For simplicity, the beginnings of the sentences are given:
a) The bisectors of the angles of a triangle intersect [tu uzupełnij]. b) The bisectors of the angles of a triangle divide the triangle [tu uzupełnij]. c) The altitude in each of these triangles is equal [tu uzupełnij]. d) The sum of the areas of triangles BSC, ASC, ASB is equal to [tu uzupełnij]. e) So, [tu uzupełnij].
a) The bisectors of the angles of a triangle intersect [tu uzupełnij]. b) The bisectors of the angles of a triangle divide the triangle [tu uzupełnij]. c) The altitude in each of these triangles is equal [tu uzupełnij]. d) The sum of the areas of triangles BSC, ASC, ASB is equal to [tu uzupełnij]. e) So, [tu uzupełnij].
The bisectors of the angles of a triangle intersect ………………………
The bisectors of the angles of a triangle divide the triangle ………………………
The altitude in each of these triangles is equal ………………………
The sum of the areas of triangles BSC, ASC, ASB is equal to ………………………
So, ………………………
The bisectors of the angles of a triangle intersect at point S, which is the incenter of this triangle.
The bisectors of the angles of a triangle divide the triangle into three triangles:
∆ASC, ∆ASB, ∆BSC.
The height in each of these triangles is equal to r, where r is the radius of the incircle.
The sum of the areas of triangles ∆BSC, ∆ASC, ∆ASB is equal to the area of triangle ∆ABC.
So, .
Exercise 4
R1d3uiiR5WjwQ
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. wysokość trójkąta - altitude of triangle, 2. okrąg wpisany w trójkąt - incircle of a triangle, 3. wielokąt opisany na okręgu - circumscribed polygon, 4. punkty równoodległe - equidistant points, 5. wyprowadzenie wzoru - semiperimeter, 6. okrąg wpisany w trójkąt - circumscribed polygon
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. wysokość trójkąta - altitude of triangle, 2. okrąg wpisany w trójkąt - incircle of a triangle, 3. wielokąt opisany na okręgu - circumscribed polygon, 4. punkty równoodległe - equidistant points, 5. wyprowadzenie wzoru - semiperimeter, 6. okrąg wpisany w trójkąt - circumscribed polygon
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
wysokość trójkąta - altitude of triangle
okrąg wpisany w trójkąt - incircle of a triangle
wielokąt opisany na okręgu - circumscribed polygon
punkty równoodległe - equidistant points
wyprowadzenie wzoru - semiperimeter
okrąg wpisany w trójkąt - circumscribed polygon
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1Q8lwl3B09RX1
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
formula for area of a triangle
trójkąt opisany na okręgu
wzór na pole trójkąta
okrąg wpisany w trójkąt
incenter
wielokąt opisany na okręgu
środek okręgu wpisanego
circumscribed polygon
circumscribed triangle
incircle of a triangle
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
