Wartość bezwzględna – co to takiego?

Wartość bezwzględna
Definicja: Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej a nazywamy liczbę a, gdy a0 lub liczbę -a, gdy a<0.

Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy a.

Zatem:

a=a, gdy a0
a=-a, gdy a<0
Przykład 1

Zapiszemy w najprostszej postaci podane wyrażenia.

  • 2-1=2-1, bo 2>12-1>0

  • 1-2=2-1, bo 2>11-2<0

  • 4-3+3-4+23=4-3-3+4+23=8

Liczby przeciwne a-a mają równe wartości bezwzględne, czyli:

a=-a

W szczególności

a-b=b-a
Przykład 2

Rozwiążemy równanie x2-3x+2x=3x-x2+2.

Przenosimy wyrażenia ze zmienną na lewą stronę równania.

x2-3x+2x-3x-x2=2

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej

a-b=b-a

x2-3x+2x-x2-3x=2

2x=2

x=1

Na osi liczbowej wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a jest odległością tej liczby od zera.

Przykład 3

Obliczmy odległość na osi liczbowej punktu P=-9 od zera.

Na osi liczbowej odległość punktu P=-9 od punktu 0 jest równa -9=9.

Łatwo można uzasadnić, że odległość na osi liczbowej punktów A=aB=b jest równa różnicy ich współrzędnych.

dAB=a-b=b-a
Przykład 4

Obliczymy odległość punktów P=2+33R=-2+33 na osi liczbowej.

dPR=-2+33-2-33=-4=4.

Wartość bezwzględnawartość bezwzględnaWartość bezwzględna pomocna jest też w obliczeniach związanych z pierwiastkami.

a2=a
Przykład 5

Zapiszemy wyrażenie Wx=4x2-20x+25 bez użycia pierwiastka.

Wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy w postaci kwadratu różnicy, a następnie z wykorzystaniem wartości bezwzględnej.

Wx=4x2-20x+25

Wx=2x-52

Wx=2x-5

Wx=-2x+5,x<2,52x+5,x2,5

Przykład 6

Zapoznaj się z trudniejszymi przykładami obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających wartość bezwzględnąwartość bezwzględnawartość bezwzględną.

Rm4gZGtyQZhnW
Film nawiązujący do treści materiału o tajemnicach wartości bezwzględnej.

Własności wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna ma wiele ciekawych własności, poznamy niektóre z nich.

Własność
a, b, c – dowolne liczby rzeczywiste

Nazwa własności

a0

nieujemność

a=0a=0

dodatnia określoność

a·b=a·b

multiplikatywność

ab=ab, dla b0

zachowanie dzielenia

a+ba+b
a-ba-b

podaddytywność

-a=a

symetria

a-b=0a=b

identyczność nierozróżnialnych

a-ba-c+c-b

nierówność trójkąta

W kolejnym przykładzie jeszcze kilka własności wartości bezwzględnej i ich zastosowania.

Przykład 7
  • Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, xx.

    Na przykład:

    77=7

    -7-7=7

  • Jeśli x0 to xx=1 lub xx=-1.

    Na przykład:

    99=1

    -9-9=-1

  • Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, x2=x2.

    Na przykład:

    -82=-8·-8=8·8=64=-8·-8=-82

Przykład 8

Wykażemy prawdziwość nierówności x+yx+y.

Skorzystamy z podanych wyżej własności wartości bezwzględnej.

x+y2=x+y2=x2+2xy+y2x2+2xy+y2

x2+2xy+y2=x+y2

Stąd

x+y2x+y2

x+yx+y

Przykład 9

Wykażemy, że dla każdych liczb rzeczywistych a, b, jeżeli a2+b22 to a+b2.

a2+b22

Mnożymy przez 2 obie strony nierówności.

2a2+2b24

Zauważmy teraz, że 2a2+2b2=a+b2+a-b2, zatem

a+b2+a-b24

Ponieważ

a+b2a+b2+a-b24

zatem

a+b24

Obie strony nierówności są nieujemne.

a+b24

a+b2.

Słownik

wartość bezwzględna
wartość bezwzględna

wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej a nazywamy liczbę a, gdy a0 lub liczbę -a, gdy a<0