Przeczytaj

Wartość bezwzględna – co to takiego?

Wartość bezwzględna

Definicja: Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej $a$ nazywamy liczbę $a$ , gdy $a \geq 0$ lub liczbę $(- a)$ , gdy $a < 0$ .

Wartość bezwzględną liczby $a$ oznaczamy $|a|$ .

Zatem:

|a| = a

, gdy

a \geq 0

|a| = - a

, gdy

a < 0

Przykład 1

Zapiszemy w najprostszej postaci podane wyrażenia.

$|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$ , bo $\sqrt{2} > 1$ i $\sqrt{2} - 1 > 0$

$|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$ , bo $\sqrt{2} > 1$ i $1 - \sqrt{2} < 0$

$|4 - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - 4| + |2 \sqrt{3}| = 4 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 4 + 2 \sqrt{3} = 8$

Liczby przeciwne $a$ i $(- a)$ mają równe wartości bezwzględne, czyli:

|a| = |- a|

W szczególności

|a - b| = |b - a|

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 3 x| + 2 x = |3 x - x^{2}| + 2$ .

Przenosimy wyrażenia ze zmienną na lewą stronę równania.

$|x^{2} - 3 x| + 2 x - |3 x - x^{2}| = 2$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej

$|a - b| = |b - a|$

$|x^{2} - 3 x| + 2 x - |x^{2} - 3 x| = 2$

$2 x = 2$

$x = 1$

Na osi liczbowej wartość bezwzględna liczby rzeczywistej $a$ jest odległością tej liczby od zera.

Przykład 3

Obliczmy odległość na osi liczbowej punktu $P = (- 9)$ od zera.

Na osi liczbowej odległość punktu $P = (- 9)$ od punktu $0$ jest równa $|- 9| = 9$ .

Łatwo można uzasadnić, że odległość na osi liczbowej punktów $A = (a)$ i $B = (b)$ jest równa różnicy ich współrzędnych.

d (A B) = |a - b| = |b - a|

Przykład 4

Obliczymy odległość punktów $P = (2 + \sqrt[3]{3})$ i $R = (- 2 + \sqrt[3]{3})$ na osi liczbowej.

$d (P R) = |- 2 + \sqrt[3]{3} - 2 - \sqrt[3]{3}| = |- 4| = 4$ .

Wartość bezwzględnawartość bezwzględnaWartość bezwzględna pomocna jest też w obliczeniach związanych z pierwiastkami.

\sqrt{a^{2}} = |a|

Przykład 5

Zapiszemy wyrażenie $W (x) = \sqrt{4 x^{2} - 20 x + 25}$ bez użycia pierwiastka.

Wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy w postaci kwadratu różnicy, a następnie z wykorzystaniem wartości bezwzględnej.

$W (x) = \sqrt{4 x^{2} - 20 x + 25}$

$W (x) = \sqrt{{(2 x - 5)}^{2}}$

$W (x) = |2 x - 5|$

$W (x) = \{\begin{cases} - 2 x + 5, & x < 2, 5 \\ 2 x + 5, & x \geq 2, 5 \end{cases}$

Przykład 6

Zapoznaj się z trudniejszymi przykładami obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających wartość bezwzględnąwartość bezwzględnawartość bezwzględną.

Rm4gZGtyQZhnW

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DoFYNh6Cf

Film nawiązujący do treści materiału o tajemnicach wartości bezwzględnej.

Własności wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna ma wiele ciekawych własności, poznamy niektóre z nich.

Własność $a$ , $b$ , $c$ – dowolne liczby rzeczywiste	Nazwa własności
$\|a\| \geq 0$	nieujemność
$\|a\| = 0 \Leftrightarrow a = 0$	dodatnia określoność
$\|a \cdot b\| = \|a\| \cdot \|b\|$	multiplikatywność
$\|\frac{a}{b}\| = \frac{\|a\|}{\|b\|}$ , dla $b \neq 0$	zachowanie dzielenia
$\|a + b\| \leq \|a\| + \|b\|$ $\|a - b\| \geq \|\|a\| - \|b\|\|$	podaddytywność
$\|- a\| = a$	symetria
$\|a - b\| = 0 \Leftrightarrow a = b$	identyczność nierozróżnialnych
$\|a - b\| \leq \|a - c\| + \|c - b\|$	nierówność trójkąta

W kolejnym przykładzie jeszcze kilka własności wartości bezwzględnej i ich zastosowania.

Przykład 7

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ , $x \leq |x|$ .
Na przykład:
$7 \leq |7| = 7$
$- 7 \leq |- 7| = 7$

Jeśli $x \neq 0$ to $\frac{|x|}{x} = 1$ lub $\frac{|x|}{x} = - 1$ .
Na przykład:
$\frac{|9|}{9} = 1$
$\frac{|- 9|}{- 9} = - 1$

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ , ${|x|}^{2} = x^{2}$ .
Na przykład:
${|- 8|}^{2} = |- 8| \cdot |- 8| = 8 \cdot 8 = 64 = (- 8) \cdot (- 8) = {(- 8)}^{2}$

Przykład 8

Wykażemy prawdziwość nierówności $|x + y| \leq |x| + |y|$ .

Skorzystamy z podanych wyżej własności wartości bezwzględnej.

${|x + y|}^{2} = {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \leq x^{2} + |2 x y| + y^{2}$

$x^{2} + |2 x y| + y^{2} = {(|x| + |y|)}^{2}$

Stąd

${|x + y|}^{2} \leq {(|x| + |y|)}^{2}$

$|x + y| \leq |x| + |y|$

Przykład 9

Wykażemy, że dla każdych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , jeżeli $a^{2} + b^{2} \leq 2$ to $|a + b| \leq 2$ .

$a^{2} + b^{2} \leq 2$

Mnożymy przez $2$ obie strony nierówności.

$2 a^{2} + 2 b^{2} \leq 4$

Zauważmy teraz, że $2 a^{2} + 2 b^{2} = {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}$ , zatem

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} \leq 4$

Ponieważ

${(a + b)}^{2} \leq {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} \leq 4$

zatem

${(a + b)}^{2} \leq 4$

Obie strony nierówności są nieujemne.

$\sqrt{{(a + b)}^{2}} \leq \sqrt{4}$

$|a + b| \leq 2$ .

Słownik

wartość bezwzględna

wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej $a$ nazywamy liczbę $a$ , gdy $a \geq 0$ lub liczbę $(- a)$ , gdy $a < 0$

Wprowadzenie

Animacja

Wartość bezwzględna – co to takiego?

Własności wartości bezwzględnej

Słownik