Przeczytaj
Wartość bezwzględna – co to takiego?
Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej nazywamy liczbę , gdy lub liczbę , gdy .
Wartość bezwzględną liczby oznaczamy .
Zatem:
Zapiszemy w najprostszej postaci podane wyrażenia.
, bo i
, bo i
Liczby przeciwne i mają równe wartości bezwzględne, czyli:
W szczególności
Rozwiążemy równanie .
Przenosimy wyrażenia ze zmienną na lewą stronę równania.
Korzystamy z własności wartości bezwzględnej
Na osi liczbowej wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera.
Obliczmy odległość na osi liczbowej punktu od zera.
Na osi liczbowej odległość punktu od punktu jest równa .
Łatwo można uzasadnić, że odległość na osi liczbowej punktów i jest równa różnicy ich współrzędnych.
Obliczymy odległość punktów i na osi liczbowej.
.
Wartość bezwzględnaWartość bezwzględna pomocna jest też w obliczeniach związanych z pierwiastkami.
Zapiszemy wyrażenie bez użycia pierwiastka.
Wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy w postaci kwadratu różnicy, a następnie z wykorzystaniem wartości bezwzględnej.
Zapoznaj się z trudniejszymi przykładami obliczania wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających wartość bezwzględnąwartość bezwzględną.
Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DoFYNh6Cf
Film nawiązujący do treści materiału o tajemnicach wartości bezwzględnej.
Własności wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna ma wiele ciekawych własności, poznamy niektóre z nich.
Własność | Nazwa własności |
---|---|
nieujemność | |
dodatnia określoność | |
multiplikatywność | |
, dla | zachowanie dzielenia |
podaddytywność | |
symetria | |
identyczność nierozróżnialnych | |
nierówność trójkąta |
W kolejnym przykładzie jeszcze kilka własności wartości bezwzględnej i ich zastosowania.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej , .
Na przykład:
Jeśli to lub .
Na przykład:
Dla dowolnej liczby rzeczywistej , .
Na przykład:
Wykażemy prawdziwość nierówności .
Skorzystamy z podanych wyżej własności wartości bezwzględnej.
Stąd
Wykażemy, że dla każdych liczb rzeczywistych , , jeżeli to .
Mnożymy przez obie strony nierówności.
Zauważmy teraz, że , zatem
Ponieważ
zatem
Obie strony nierówności są nieujemne.
.
Słownik
wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej nazywamy liczbę , gdy lub liczbę , gdy