Sinus i cosinus kąta ostrego

Learning objectives

You will develop the following competences: communicating in English, mathematical, IT and basic scientific and technical competence, your learning skills.

You will get to know the definition of the sine and cosine functions of an acute angle in a right triangle.

You will get to know the method of calculating the value of the sine and cosine functions of acute angles in a right triangle.

Learning effect

• You will learn the definition of the sine and cosine functions of an acute angle in a right triangle.

• You will learn to calculate the value of the sine and cosine functions of acute angles in a right triangle.

Put your knowledge about the similarity of right triangles in order.

The aim of the lesson – getting to know two trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions called the sinesinesine and cosinecosinecosine.

Look for the information about the names of the ratio of the lengths of the sides of a right triangleright triangleright triangle in the available sources. Write down their definitions.

The definition.

R1dHA5DV4HGAn1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c. Kąt ostry alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a.

Using the definition above, solve the task.

Discussion – what may be the values of the sinesinesine and cosinecosinecosine of an acute angle?

Task 2

RHjf2IAQY7JAs1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Analyse the material presented in the applet. Change the measures of the angle and observe the changes of the value of the sinesinesine and cosinecosinecosine functions. What do you notice? Write down your conclusions.

R167gLFjGgktt1

Geogebra aplet - Wartości funkcji sinus i cosinus. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Geogebra aplet - Wartości funkcji sinus i cosinus. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DoN722RmH

R15bt43fD2I3F1

Na rysunku znajduje się trójkąt prostokątny, w którym zaznaczony jest kąt ostry alfa równa się sześćdziesiąt stopni. Przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma długość równą ułamek, w liczniku pierwiastek z trzech, w mianowniku dwa. Przyprostokątna leżąca obok tego kąta ma długość równą ułamek, w liczniku jeden, w mianowniku dwa. Przeciwprostokątna ma długość jeden.

RDciXdqyoEj5N1

Na rysunku znajduje się trójkąt prostokątny, w którym zaznaczony jest kąt ostry alfa równa się siedemdziesiąt pięć stopni. Przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma długość równą zero, kropka dziewięćset sześćdziesiąt sześć. Przyprostokątna leżąca obok tego kąta ma długość równą zero, kropka dwieście pięćdziesiąt dziewięć. Przeciwprostokątna ma długość jeden.

R82qXE2VYYxIw1

Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest literą x, a oś pionowa literą y. W układzie współrzędnych narysowany jest okrąg o środku w początku układu i promieniu równym jeden. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany jest trójkąt prostokątny, w którym zaznaczony jest kąt ostry alfa równa się sześćdziesiąt stopni. Wierzchołek tego kąta znajduje się w początku układu współrzędnych. Przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma długość równą ułamek, w liczniku pierwiastek z trzech, w mianowniku dwa. Przyprostokątna leżąca obok tego kąta ma długość równą ułamek, w liczniku jeden, w mianowniku dwa. Przeciwprostokątna ma długość jeden.

Conclusion:

• With the increase of the measure of an acute angle, the value of the cosinecosinecosine decreases.

• For any acute angle α the inequalities are true:

  0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.

Task 3

R1RSmWurDFNcl1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Find the sinesinesine and cosinecosinecosine functions of both acute angles in the right triangleright triangleright triangle presented in the diagram. What do you notice? Write down your conclusions.

RLsNMioWJunFz1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a, b i przeciwprostokątnej długości c oraz kątach ostrych alfa (naprzeciwko boku a) i 90 stopni minus alfa.

Conclusion:

• For any acute angle α the equalities are true:

  sin (90° - α) = cos α

  cos (90° - α) = sin α

Using the new information, solve the tasks.

Task 7

An extra task:

Using the data in the diagram below, calculate the value of $\frac{cos\alpha +sin\alpha }{sin\alpha -cos\alpha }$.

REQ4xwm6u13G21

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i b oraz przeciwprostokątnej długości 9. Kąt ostry alfa leży naprzeciw przyprostokątnej długości 3.

Having finished all the tasks, do the consolidation tasks. Formulate the conclusions to memorize.

• In a right triangleright triangleright triangle the ratio of the length of leglegleg opposite angle α and the length of the hypotenuse is called the sinesinesine of an acute angle α. It is indicated as sin α.

• In a right triangleright triangleright triangle the ratio of the length of the leglegleg adjacent to angle α and the length of the hypotenuse is called the cosinecosinecosine of an acute angle α. It is indicated as cos α.

• With the increase of the measure of an acute angle, the value of the cosinecosinecosine decreases.

• For any acute angle α the inequalities are true:

  0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.

• For any acute angle α the equalities are true:

  sin (90° - α) = cos α

  cos (90° - α) = sin α

Exercises

Glossary

Keywords

cosinecosinecosine

leglegleg

right triangleright triangleright triangle

sinesinesine

trigonometric functionstrigonometric functionstrigonometric functions